[Matematica] Dubbi sugli integrali multipli

[*nicola*]

Sto facendo esercizi sugli integrali multipli (ovvero doppi e tripli) ma mi sfugge una cosa abbastanza basilare: Il significato!
Ho capito che fare l'integrale doppio di 1 in dxdy equivale a calcolare l'area del dominio e che fare l'integrale triplo di 1 in dxdydz equivale a calcolare il volume del dominio; ma quando la funzione è diversa dal semplice 1 che cosa significa calcolare l'integrale doppio o triplo (apparte la storia delle decomposizioni, finezza e cose del genere che sono troppo astratte e mi pare facciano solo casino).

Ad esempio calcolare l'integrale (singolo) della funzione f(x) da a a b significava calcolare l'area sotto la funzione f(x) dal punto a al punto b.

Grazie

[thotgor]

Parti dagli integrali semplici...ti calcoli il "valore" (inteso come area o volume) di una certa funzione delimitata da un dominio piano (integralidoppi) oppure da un dominio in 3D (tripli..).

[*nicola*]

Scusa ma non ho capito bene. Prendiamo il caso degli integrali doppi. L'integrale doppio sul dominio D di 1 è l'area di D. E l'integrale doppio sul dominio D della funzione senxy allora cos'é? Non credo sia ancora l'area di D altrimenti non avrebbe alcuna utilità calcolare l'integrale di senxy...

[fabio80]

Originariamente inviato da *nicola*

Scusa ma non ho capito bene. Prendiamo il caso degli integrali doppi. L'integrale doppio sul dominio D di 1 è l'area di D. E l'integrale doppio sul dominio D della funzione senxy allora cos'é? Non credo sia ancora l'area di D altrimenti non avrebbe alcuna utilità calcolare l'integrale di senxy...

il significato fisico come lo chiami tu dipende dalla funzione che sta integrando. può rappresentare una massa, una carica, puoi impostarlo per calcolare baricentri o momenti di inerzia e così via

[uC.ArTaX]

Per esempio data la funzione che rappresenta la distribuzione di densità di massa di un corpo, se la integri in un dato volume ottieni la massa.
Se la funzione rappresenta la distribuzione di densità di carica ottieni la carica.
Se la funzione rappresenta l'andamento della portata attraverso una superficie, se la integri su una superficie ottieni la portata totale (ottenendo che la portata in volume è pari al flusso attraverso la superficie del campo di velocità)

Come diceva il mio prof di Fisica A (in modo molto sintetico), un integrale è una somma infinita di termini infinitesimi.
Tornando all'esempio della massa, se tu consideri un volumetto infinitesimo dV, in tale volumetto la densità si può considerare costante e assume un certo valore ro. La massa di tale volume è pari a:
ro * dV (densità * volume)
In generale però la densità è variabile, ed è una funzione dello spazio (i corpi omogenei hanno una densità che si può considerare costante). Per ottenere la massa totale di un corpo, sommi la massa di infiniti volumetti infinitesimi, e questo si ottiene integrando la funzione densità sul volume del corpo.

[leox@mitoalfaromeo]

Originariamente inviato da uC.ArTaX

Per esempio data la funzione che rappresenta la distribuzione di densità di massa di un corpo, se la integri in un dato volume ottieni la massa.
Se la funzione rappresenta la distribuzione di densità di carica ottieni la carica.
Se la funzione rappresenta l'andamento della portata attraverso una superficie, se la integri su una superficie ottieni la portata totale (ottenendo che la portata in volume è pari al flusso attraverso la superficie del campo di velocità)

Come diceva il mio prof di Fisica A (in modo molto sintetico), un integrale è una somma infinita di termini infinitesimi.
Tornando all'esempio della massa, se tu consideri un volumetto infinitesimo dV, in tale volumetto la densità si può considerare costante e assume un certo valore ro. La massa di tale volume è pari a:
ro * dV (densità * volume)
In generale però la densità è variabile, ed è una funzione dello spazio (i corpi omogenei hanno una densità che si può considerare costante). Per ottenere la massa totale di un corpo, sommi la massa di infiniti volumetti infinitesimi, e questo si ottiene integrando la funzione densità sul volume del corpo.

10+

[Lucrezio]

Guarda, per queste cose non è molto indicata la risposta di un chimico... magari faccio un messaggio ad alexzeta che dovrebbe essere in grado di rispondere esaustivamente. Comunque ci provo:
Puoi vedere l'operazione di integrazione come un'operazione di misura. Ad esempio integrando semplicemente 1 sul dominio se ne trova la misura (in generale questo dipende dalla teoria di integrazione che utilizzi... quando si parla di misura è abbastanza spontaneo parlare di integrale di Lebesgue, sebbene per domini non eccessivamente patologici l'integrale di riemann funzioni benissimo!); integrando una funzione su un dominio puoi trovare la misura di una proprietà espressa dalla funzione (come ti facevano notare, ad esempio, integrando la densità ottieni la massa, oppure, integrando la densità per x^2 + y^2 trovi il momento d'inerzia rispetto all'asse z e così via).
Un particolare significato dell'integrazione di una funzione su un dominio può essere la valutazione della probabilità di un evento, una volta introdotta una misura di probabilità.

[lowenz]

Originariamente inviato da Lucrezio

Guarda, per queste cose non è molto indicata la risposta di un chimico... magari faccio un messaggio ad alexzeta che dovrebbe essere in grado di rispondere esaustivamente. Comunque ci provo:
Puoi vedere l'operazione di integrazione come un'operazione di misura. Ad esempio integrando semplicemente 1 sul dominio se ne trova la misura (in generale questo dipende dalla teoria di integrazione che utilizzi... quando si parla di misura è abbastanza spontaneo parlare di integrale di Lebesgue, sebbene per domini non eccessivamente patologici l'integrale di riemann funzioni benissimo!); integrando una funzione su un dominio puoi trovare la misura di una proprietà espressa dalla funzione (come ti facevano notare, ad esempio, integrando la densità ottieni la massa, oppure, integrando la densità per x^2 + y^2 trovi il momento d'inerzia rispetto all'asse z e così via).
Un particolare significato dell'integrazione di una funzione su un dominio può essere la valutazione della probabilità di un evento, una volta introdotta una misura di probabilità.

Direi che ci siamo, come hai ben espresso è fondamentalmente un problema di misura

[*nicola*]

Da quanto ho capito in base alla funzione che "metto dentro" l'integrale ottengo una cosa diversa ma sempre relativa al dominio. Devo assolutamente riguardarmi le funzioni più importanti. Grazie a tutti cmq per l'aiuto.

[Lucrezio]

Originariamente inviato da *nicola*

Da quanto ho capito in base alla funzione che "metto dentro" l'integrale ottengo una cosa diversa ma sempre relativa al dominio. Devo assolutamente riguardarmi le funzioni più importanti. Grazie a tutti cmq per l'aiuto.

Beh, direi di sì
Il dominio di integrazione stabilisce i confini del tuo universo... quindi ti occupi comunque di qualcosa al suo interno