combinazione lineare

[misterx]

per combinazione lineare, si intende semplicemente uno scalare s per un vettore v più altro scalare s per altro vettore v ?

esempio

A = s1*V1 + s2*V2 * ........

ma che significava ?


http://www.crema.unimi.it/didattica/...ettori1_6.html

[*nicola*]

Originariamente inviato da misterx

per combinazione lineare, si intende semplicemente uno scalare s per un vettore v più altro scalare s per altro vettore v ?

esempio
A = s1*V1 + s2*V2 * ........
ma che significava ?
http://www.crema.unimi.it/didattica/...ettori1_6.html

E' quasi come hai detto tu, solo che i vettori moltiplicati per uno scalare non li devi sommare alla fine ma ottieni un'altro gruppo ordinato di componenti.
In pratica hai N vettori di uno spazio vettoriale V e una n-upla di scalari (un insieme ordinato di numeri) . La combinazione lineare di questo spazio vettoriale (che si indica con SPAN) è

[misterx]

quindi di sicuro è una proprietà importante

sbaglio o si poteva fare il medesimo conto con le matrici ?

se avevi il det = 0 linearmente indipendenti, se det != 0 indipendenti o viceversa


edit: non è il determinante a stabilirlo ma il rango della matrice

[*nicola*]

La combinazione lineare è un concetto base dell'algebra lineare sì e si può fare anche con le matrici essendo formate dall'unione di più vettori (che sono le colonne o le righe).
Sinceramente la dipendenza/indipendenza lineare con il determinante non la ho mai vista (ma questo non vuol certo dire che sia sbagliata o non esista), io per provare l'indipendenza lineare ho sempre usato il teorema secondo il quale dei vettori sono linearmente indipendenti se e solo se la somma delle componenti del vettore span combinazione lineare è = 0 sse gli scalari della n-upla per i quali li hai moltiplicati è il vettore nullo (mi sembra, sono passati alcuni mesi dall'esame di geometria).
Prova a vedere se in biblioteca trovi il libro "100 pagine di algebra lineare" di Greco (e altri autori che non ricordo) è spiegato tutto in poche pagine e abbastanza semplicemente senza cose strane e troppo teoriche.

[pietro84]

Originariamente inviato da misterx

quindi di sicuro è una proprietà importante

sbaglio o si poteva fare il medesimo conto con le matrici ?

se avevi il det = 0 linearmente indipendenti, se det != 0 indipendenti o viceversa

probabilmente la proprietà che ricordi tu riguarda i sistemi lineari di equazioni.
se det(A)=0, dove A è la matrice è associata al sistema, ci sono delle equazioni che dipendono linearmente da altre.

[misterx]

uhm.....

se io prendo due vettori

A(1,2)
B(2,5)

posso tracciare graficamente la risultante, giusto ?

Ma il prof a lezione ha detto, se non ho capito male, che la risultante è ottenuta come combinazione lineare dei due vettori A e B: ho capito male ?

[shake]

DEf di combinazione lineare: Sia dato uno spazio vettoriale V su un qualunque campo K, Sia dato un insieme di vettori generatori di V {v,u,..,w}. una loro combinazione lineare è un'espressione del tipo av+bu+...+cw,
quindi posso dire che il vettore x è combinazione lineare del sistema di generatori di prima se x=av+bu+...+cw dove a,b,c prendono il nome di coefficienti della combinazione lineare o pesi (linguaggio da fisici se non erro).
Poi partendo dal fatto che un vettore è linearmente indipendente se è diverso dal vettore nullo, si arriva a che due vettori sono fra loro indipendenti se la loro unica combinazione lineare nulla è quella banale, cioè se l'equazione au+bw=0 ammette come unica soluzione a=b=0
Scusa se ti correggo Nicola, ma penso che hai fatto un errore sulla storia dello span (anche se è + probabile che usiamo diciture diverse ).
Lo Span(u,v,...w) = {av+bu+...+cw : al variare degli scalari in R} insomma l'insieme di tutte le loro possibili combinazioni lineari.

Per la storia del rango penso funzioni, anche se anche io per l'indipendenza risolvevo la combinazione lineare nulla, ma d'altronde se li metti per riga o colonna e ad occhio o con Gauss trovi quelli dipendenti poco cambia.

ps l'ho fatto 2 giorni fa Geometria 1

[shake]

Originariamente inviato da misterx

uhm.....

se io prendo due vettori

A(1,2)
B(2,5)

posso tracciare graficamente la risultante, giusto ?

Ma il prof a lezione ha detto, se non ho capito male, che la risultante è ottenuta come combinazione lineare dei due vettori A e B: ho capito male ?

Semplicemente ti prendi un riferimento ortonormale (O,i,j,k), disegni il primo vettore ottenendo così un segmento orientato OP, disegni ora il secondo vettore partendo dal punto P, ottenendo cosi il segmento orientato PX, semplicemente la tua risultante è il segmento orientato OX che rappresenta il vettore A+B applicato al punto O.

Se può esserti utile qui ci sono degli appunti del mio professore di geometria http://www.mat.uniroma2.it/~ghione/T...o1/Indice.html

[misterx]

Originariamente inviato da shake

Semplicemente ti prendi un riferimento ortonormale (O,i,j,k), disegni il primo vettore ottenendo così un segmento orientato OP, disegni ora il secondo vettore partendo dal punto P, ottenendo cosi il segmento orientato PX, semplicemente la tua risultante è il segmento orientato OX che rappresenta il vettore A+B applicato al punto O.

quello è chiaro, ma posso dire che la risultante è ottenuta come combinazione lineare dei vettori A e B ?

[shake]

Originariamente inviato da misterx

quello è chiaro, ma posso dire che la risultante è ottenuta come combinazione lineare dei vettori A e B ?

Beh se la tua risultante è ugale a (3,7) certo perchè è combinazione lineare di A,B usando a=b=1.

[misterx]

Originariamente inviato da shake

Beh se la tua risultante è ugale a (3,7) certo perchè è combinazione lineare di A,B usando a=b=1.

con la regola del parallelogramma viene sì un vettore C(3,7)


a questo punto ed in questo caso specifico, ha senso parlare di dipendenza/indipendenza dei 3 vettori ?

[pietro84]

Originariamente inviato da misterx

con la regola del parallelogramma viene sì un vettore C(3,7)


a questo punto ed in questo caso specifico, ha senso parlare di dipendenza/indipendenza dei 3 vettori ?

è semplice. un vettore v è dipendente (linearmente) da altri vettori v1,v2....vn
se può essere ottenuto mediante combinazione lineare di v1...vn.
quindi se hai un vettore (3,7) ed un insieme di due vettori B={(1,0),(0,1)}
(3,7) è dipendente dai due vettori dell'insieme B perchè:
(3,7)=3(1,0)+7(0,1)

[misterx]

Originariamente inviato da pietro84

è semplice. un vettore v è dipendente (linearmente) da altri vettori v1,v2....vn
se può essere ottenuto mediante combinazione lineare di v1...vn.
quindi se hai un vettore (3,7) ed un insieme di due vettori B={(1,0),(0,1)}
(3,7) è dipendente dai due vettori dell'insieme B perchè:
(3,7)=3(1,0)+7(0,1)

ok, fino a qui mi è chiaro, ma il concetto di dipendenza/idipendenza ?

[pietro84]

Originariamente inviato da misterx

ok, fino a qui mi è chiaro, ma il concetto di dipendenza/idipendenza ?

se un vettore può essere ottenuto come comb lineare da altri vettori si dice dipendente, altrimenti si dice indipendente.

nell'esempio di sopra (3,7) era dipendente da (1,0) (0,1) perchè ottenuto come comb lineare di quei due vettori.

(0,4) è dipendente dai vettori di S={(1,0) (4,0)}?
no perchè se facciamo la combinazione lineare otteniamo:

(0,4)=c1(1,0)+c2(4,0)
per nessun valore di c1 e c2 possiamo ottenere (0,4) quindi il vettore (0,4) è indipendente da (1,0) e (4,0)

[shake]

Originariamente inviato da misterx

ok, fino a qui mi è chiaro, ma il concetto di dipendenza/idipendenza ?

partiamo da un vettore: il vettore u è linearmente indipendente se è diverso dal vettore nullo 0. cio+ se au=0 se e solo se a=0
perchè pe come è definito il vettore nullo (vettore con mudulo 0) e per come è definito il prodotto di un vettore per uno scalare (vettore v per scalare a uguale a vettore av che è un vettore multiplo di v che ha stesso verso di v se a è positivo, verso inverso se a è negativo, stessa direzione di v e modulo uguale al valore assoluto di a per il modulo di v) hai che deve essere per forza a =0 essendo v diverso dal vettore nullo per ipotesi.

2 vettori:
dico che v dipende linearmente da u se posso scriver v=au appunto se v è combinazione lineare di u. Il che mi porta al concetto di indipendenza lineare fra 2 vettori e dico che:
due vettori sono linearmente indipendenti se la loro unica combinazione lineare nulla è quella banale cioè se scrivo au+bv=0 che è una combinazione lineare nulla, deve essere a=b=0 poichè (come nel caso con un vettore ) u e v sono diversi dal vettore nullo e quindi per azzerarmi quell'equazione devono essere i pesi a,b ad essere 0; altrimenti sfruttando le proprietà della somma fra vettori e del prodotto di un vettore per uno scalare facendo vari passaggi se a e b non fossero 0 potrei arrivare ad una scrittura del tipo v= (-a/b)u

esattamente come dice pietro per vedere se un vettore C dipende linearmente da A e B ti risolvi il sistema che ha come incognite i coefficienti della combinazione fra c1A+c2B=C (quindi c1 e c2), come coefficienti delle equazioni le componenti dei vettori A, B; e come termini noti i componenti di C.
Se il sistema è compatibile bene C è combinazione linbeare di A e B e le soluzioni del sistema sono i coefficienti c1 e c2, se è incompatibile alloa C non dipende linearmente da A e B

[misterx]

Originariamente inviato da pietro84

se un vettore può essere ottenuto come comb lineare da altri vettori si dice dipendente, altrimenti si dice indipendente.

nell'esempio di sopra (3,7) era dipendente da (1,0) (0,1) perchè ottenuto come comb lineare di quei due vettori.

(0,4) è dipendente dai vettori di S={(1,0) (4,0)}?
no perchè se facciamo la combinazione lineare otteniamo:

(0,4)=c1(1,0)+c2(4,0)
per nessun valore di c1 e c2 possiamo ottenere (0,4) quindi il vettore (0,4) è indipendente da (1,0) e (4,0)

ok, stavo cercando di fare questo ragionamento nell'ambito della fisica

se ho 2 vettori, la risultante è la combinazione lineare dei due però, mi stavo chiedendo se potrebbe esistere il caso in cui dati 2 vettori, accade che la risultante è ottenuta solo da uno dei due vettori di partenza quindi, una sola dipendenza.
A questo punto è come se il vettore indipendente fosse superfluo al fine del calcolo della risultante

[pietro84]

Originariamente inviato da misterx

ok, stavo cercando di fare questo ragionamento nell'ambito della fisica

se ho 2 vettori, la risultante è la combinazione lineare dei due però, mi stavo chiedendo se potrebbe esistere il caso in cui dati 2 vettori, accade che la risultante è ottenuta solo da uno dei due vettori di partenza quindi, una sola dipendenza.
A questo punto è come se il vettore indipendente fosse superfluo al fine del calcolo della risultante

proprio per definizione di dipendenza e combinazione lineare il vettore risultante dipende da entrambi i vettori addendi.

[shake]

Originariamente inviato da misterx

ok, stavo cercando di fare questo ragionamento nell'ambito della fisica

se ho 2 vettori, la risultante è la combinazione lineare dei due però, mi stavo chiedendo se potrebbe esistere il caso in cui dati 2 vettori, accade che la risultante è ottenuta solo da uno dei due vettori di partenza quindi, una sola dipendenza.
A questo punto è come se il vettore indipendente fosse superfluo al fine del calcolo della risultante

certamente che può succedere se tu consideri sempre che il vettore C è uguale ad aA+bB può succedere benissimo che C sia guale ad 2A +0B per esempio se A=(2,3) B=(5,0) abbiamo che 2A+0B è uguale al vettore C=(4,6), e anche se a conti fatti dipende solo da A non puoi dire semplicemente C=2A perchè in genere si parla di insieme di generatori e non puoi omettere così facilmente lil coefficiente 0 di B, soprattutto quando userai i coefficienti di combinazioni lineari per comporre matrici.

[pietro84]

Originariamente inviato da shake

certamente che può succedere se tu consideri sempre che il vettore C è uguale ad aA+bB può succedere benissimo che C sia guale ad 2A +0B per esempio se A=(2,3) B=(5,0) abbiamo che 2A+0B è uguale al vettore C=(4,6), e anche se a conti fatti dipende solo da A non puoi dire semplicemente C=2A perchè in genere si parla di insieme di generatori e non puoi omettere così facilmente lil coefficiente 0 di B, soprattutto quando userai i coefficienti di combinazioni lineari per comporre matrici.

sta ragionando nell'ambito della fisica.
se sommi due forze la risultante dipende sempre dai vettori sommati, in parole povere non puoi mettere 0 come coefficiente

ps: inoltre se C=c1A+c2B
con c2=0 C dipende comunque dalla coppia di vettori {A,B}

[shake]

Originariamente inviato da pietro84

sta ragionando nell'ambito della fisica.
se sommi due forze la risultante dipende sempre dai vettori sommati, in parole povere non puoi mettere 0 come coefficiente

sorry
ho studiato i vettori e spazi geometrici come mondi a sè stanti, non ci interessava molto che tipo di elementi erano, quanto se erano o meno vettori e cosa facevano nel loro mondo.
Grandiosa la definizione degli spazi vettoriali:
Uno spazio vettoriale è un insieme, i cui elementi sono detti vettori (della cui natura poco sappiamo ), etc etc