problema di Matematica..Basi

[Squall - Dev]

ho un problema
definito cosa è una base
se uno mi fa la domanda,fammi l'esempio di una base con vettori indipendenti..io rimango lì a guardarlo

ed infatti sono stato a guardare l'assistente

sulle proprietà di una base ci siamo..ma come faccio a crearne una così su due piedi?

[Johnn]

Basta che trovi n vettori linearmente indipendenti per avere una base in R^n.

Pensa ad R^2, il piano cartesiano, per dirla in parole povere. Ad esempio i vetttori (1,0) (0,1) sono linearmente indipendenti e sono una base per R^2. Li puoi vedere come strumento minimo per esprimere tutti gli altri.

Spero di essere stato chiaro e corretto in quello che ho detto.

[Squall - Dev]

no
quello lo avevo letto anche su wikipedia..ma il fatto è che come faccio a dire su due piedi quali sono due vettori indipendenti..
una volta che so che due vettori sono indipendenti mi faccio la base..ma come lo faccio a stabilire lì su 2 piedi..anzi seduto ..se sono indipendenti?

cioè se uno mi chiede:"fammi un esempio di base composto da vettori indipendenti"..che gli rispondo?

[Johnn]

Siccome non è che con le basi vada tanto d'accordo, ma ho dovuto far di necessità virtù, risponderei con la matrice identità con n colonne per R^n.

[pietro84]

Originariamente inviato da Squall - Dev

no
quello lo avevo letto anche su wikipedia..ma il fatto è che come faccio a dire su due piedi quali sono due vettori indipendenti..
una volta che so che due vettori sono indipendenti mi faccio la base..ma come lo faccio a stabilire lì su 2 piedi..anzi seduto ..se sono indipendenti?

cioè se uno mi chiede:"fammi un esempio di base composto da vettori indipendenti"..che gli rispondo?

impostare un sistemino lineare se vuoi dimostrarlo in maniera rigorosa.

a(1,0)+b(0,1)=0 da questa equazione vettoriale si ricava un sistema di due equazioni scalari

a=0
b=0

da cui segue che i vettori (1,0) e (0,1) sono linearmente indipendenti. Infatti per annullare quella comb lineare deve necessariamente essere a=0 e b=0

[danilo@12]

Originariamente inviato da Squall - Dev

ho un problema
definito cosa è una base
se uno mi fa la domanda,fammi l'esempio di una base con vettori indipendenti..io rimango lì a guardarlo
sulle proprietà di una base ci siamo..ma come faccio a crearne una così su due piedi?

Prima di tutto ti servono n vettori linearmente indipendenti. L' indipendenza lineare è verificata quando l' unica combinazione lineare dei vettori uguale al vettore nullo è quella a coefficenti nulli. Altrimenti, si parla di dipendenza lineare.
Per determinarli cosi su due piedi guardi prima di tutto se non esistono scalari per i quali i due vettori sono proporzionali; (1,2,3) e (2,4,6) si vede al volo che sono proporzionali per 2, quindi linearmente dipendenti. Dopodichè, se non riconosci al volo la dipendenza lineare, utilizzi il metodo descritto da pietro81, che è utile sopratutto quando hai a che fare con più vettori.
Per esempio, v1=(1,4,7) v2=(0,2,3) v3=(5,1,3). Come capisco se sono dipendenti o indipendenti lineari? In questo caso si capisce senza fare alcun calcolo, ma ignoriamolo per il momento. Prima di tutto, di sicuro v2 è indipendente da v1 e v3 presi singolarmente, in quanto nessun scalare diverso da 0 mi darà mai 0 come primo termine. Ma questo non esclude il fatto che tal vettore, così come gli altri, possano derivare dalla somma dei restanti due vettori. Impostiamo un equazione del tipo

v3 = άv1 + βv2

Nel caso esistessero questi scalari ά e β, allora il vettore al primo termine (v3) risulterà lineramente dipendente dai due a secondo termine (v1 e v2).

Quindi: (5,1,3) = ά(1,4,7) + β(0,2,3)

Utilizziamo i termini i,j,k per indicare le componenti dei vettori

(5,1,3) = ά(1i,4j,7k) + β(0i,2j,3k)

Raccogliamo secondo le componenti

= i(ά), j(4ά+2β), k(7ά+3β)

Per essere verificata la dipendenza lineare, i=5 ; j=1 ; k=3;

Quindi { ά=5
4ά+2β=1
7ά+3β=3 }

Ovviamente il sistema non è verificato, quindi il vettore v3 è linearmente indipendente da v1 e v2. Ripeti il medesimo ragionamento, ovviamente semplificato nel caso di due vettori, e verifichi la dipendenza o indipendenza lineare.

Per trovare una base di R^n senza che avere definito un applicazione lineare, trova n vettori linearmente indipendenti, e la combinazione lineare di questi genererà sicuramente tutti i vettori di R^n. Ricorda solo che, in R^n, n+1 vettori sono sempre linearmenti dipendenti.

[Scoperchiatore]

Se ti chiede una base a memoria vorrà la base ortonormale.
Se stai in R7, la base ortonormale è fatta di 7 vettori.
Come si costruisce?
Il primo vettore ha 1 sulla prima componente, 0 sulle altre
Il sedonco vettore ha 0 sulla prima componente, 1 sulla seconda e 0 sulle altre,
Il terzo vettore ha 0 sulle prime due componente, 1 sulla terza e 0 sulle altre
e via dicendo.

Ora, costruire sta base è una cazzata. Quindi mi rifiuto di credere che tu non lo abbia saputo fare
I casi sono 2:
1) O non sapevi che c'era questa possibilità e ti volevi complicare la vita con vettori "strani" come (7,5,8,2,6,3,4,0)
2) Oppure sapevi che esisteva, ma il concetto di "linearmente indipendenti" o di "base" non li hai ancora chiari.

Nel secondo caso, fatteli spiegare bene dal prof, nel primo, studia meglio la prossima volta