Endo/Iso/Omo - Morfismo

[cagnaluia]

santantoniodapadova! Ho un dubbio...

Nel contesto dell algebra lineare... trattasi di sinonimia dialettica?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da cagnaluia

Nel contesto dell algebra lineare... trattasi di sinonimia dialettica?

No.

Un omomorfismo --- dal greco "hòmoios", che significa "simile" --- è un'applicazione che "conserva la forma": ossia, porta una struttura algebrica (sia essa un gruppo, un anello, un campo, uno spazio vettoriale, un'algebra di Boole, o che altro) in una struttura algebrica dello stesso tipo, e lo fa in modo tale che l'immagine del risultato di un'operazione, sia uguale al risultato tra le immagini delle operazioni.

Un isomorfismo --- dal greco "hìsos", che significa "uguale" --- è un omomorfismo invertibile, tale che l'applicazione inversa sia ancora un omomorfismo.

Un endomorfismo è un omomorfismo il cui codominio coincide con il dominio.

[cagnaluia]

ah.. limpido!


T un endomorfismo di uno spazio vettoriale V.
B una base di V.
A la matrix associata a B rispetto a questa base.

allora:

1. se B è una base di autovettori, allora A è diagonale.
2. se A non è invertibile, allora T è suriettiva.
3. se A è quadrata, allora T non è iniettiva.
4. se A è triangolare inf., allora T è un isomorfismo.


quindi se parliamo di endomorfismi.. cioè applicazioni T da uno spazio vett V in sé stesso.. devono per forza essere suriettivi e anche iniettivi!
Per cui la 2 e la 3 ma anche la 4 sono fallate?
Che sia la 1. la risposta corretta?

buff.. che casino.. a me serve un dizionario..

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da cagnaluia

T un endomorfismo di uno spazio vettoriale V.
B una base di V.
A la matrix associata a B rispetto a questa base.

allora:

1. se B è una base di autovettori, allora A è diagonale.

Vero, perché su ciascun vettore della base, l'applicazione T si comporta come se fosse una moltiplicazione.

2. se A non è invertibile, allora T è suriettiva.

Falso, perché un'applicazione lineare tra spazi vettoriali di uguale dimensione finita è suriettiva se e solo se è iniettiva, e un'applicazione lineare è invertibile se e solo se è invertibile la sua matrice associata.

3. se A è quadrata, allora T non è iniettiva.

Falso, perché la matrice identità è quadrata ed è associata all'applicazione identica, che è invertibile.

4. se A è triangolare inf., allora T è un isomorfismo.

Falso, perché il determinante di una matrice triangolare è uguale al prodotto degli elementi sulla sua diagonale principale, e T è un isomorfismo se e solo se det A non è zero.

[matiaij]

cagnaluia, c'è un esame di geometria analitica/algebra lineare in vista o sbaglio? se si in bocca al lupo!
ah, quanto mi piaceva la diagonalizzabilità degli endomorfismi...

[cagnaluia]

Originariamente inviato da matiaij

cagnaluia, c'è un esame di geometria analitica/algebra lineare in vista o sbaglio? se si in bocca al lupo!
ah, quanto mi piaceva la diagonalizzabilità degli endomorfismi...

NOOOOOO!!!!

NON ME LO RICORDARE NOOOOO!!!!

del tipo: per un punto martin perse la cappa!

Esercizi... 1 foglio protocollo, 2 di bruta copia.. tutto perfetto! TUTTO!! esercizi da LODE! confrontati con gli altri.

Domande di teoria: 1 DOMANDA .. 1 DOMANDA sbagliata! e da scemo.. mamma che scemo... quando ho rivisto il testo mi sono fucilato da quanto banale era quella domanda..

Totale: se rivedemo el prossimo appello!

Praticamente eravamo tanti a fare quell esame e il prof per far presto.. ha vincolato la correzione del compito previa risposta corretta a 4 domande teoriche a crocette...



sing.. mi tocca rifarlo.. che bale.. volevo proprio metterlo via.. che sfiga...

cattivo.. me l hai fatto tornare in mente....

[ironmanu]

Originariamente inviato da cagnaluia

NOOOOOO!!!!

NON ME LO RICORDARE NOOOOO!!!!

del tipo: per un punto martin perse la cappa!

Esercizi... 1 foglio protocollo, 2 di bruta copia.. tutto perfetto! TUTTO!! esercizi da LODE! confrontati con gli altri.

Domande di teoria: 1 DOMANDA .. 1 DOMANDA sbagliata! e da scemo.. mamma che scemo... quando ho rivisto il testo mi sono fucilato da quanto banale era quella domanda..

Totale: se rivedemo el prossimo appello!

Praticamente eravamo tanti a fare quell esame e il prof per far presto.. ha vincolato la correzione del compito previa risposta corretta a 4 domande teoriche a crocette...



sing.. mi tocca rifarlo.. che bale.. volevo proprio metterlo via.. che sfiga...

cattivo.. me l hai fatto tornare in mente....

ma martin nn perse la caPa???

[matiaij]

Per caso studi a Padova, cagnaluia?

[cagnaluia]

Originariamente inviato da matiaij

Per caso studi a Padova, cagnaluia?

sempre evitata come la morte.. Padoua..

la conosco come le mie scarselle... ma nn l ho mai preferita come città studio.
Prima Venezia e adesso sto a Trento...

[r_howie]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Un isomorfismo --- dal greco "hìsos"

Senza la h poiché in greco ha spirito dolce, non aspro.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da r_howie

Senza la h poiché in greco ha spirito dolce, non aspro.

Vero! Chiedo scusa.

[pietro84]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Vero! Chiedo scusa.

quindi un'applicazione che associa elementi di R^3 a elementi di R^10(per esempio) è un omomorfismo, giusto?
perchè entrambe le strutture algebriche sono spazi vettoriali sul campo dei numeri reali.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da pietro84

quindi un'applicazione che associa elementi di R^3 a elementi di R^10(per esempio) è un omomorfismo, giusto?

Non è detto: l'applicazione che manda ogni vettore di R^3 nel vettore (1,0,0,0,0,0,0,0,0,0) di R^10 non è un omomorfismo, perché non rispetta la regola per cui l'immagine del multiplo deve essere il multiplo dell'immagine.

[pietro84]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Non è detto: l'applicazione che manda ogni vettore di R^3 nel vettore (1,0,0,0,0,0,0,0,0,0) di R^10 non è un omomorfismo, perché non rispetta la regola per cui l'immagine del multiplo deve essere il multiplo dell'immagine.

quindi come faccio a stabilire se una funzione è un omomorfismo?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da pietro84

quindi come faccio a stabilire se una funzione è un omomorfismo?

Devi applicare la definizione: un omomorfismo è una mappa che preserva la struttura.
Per cui, se V e W sono spazi vettoriali sul campo K, allora f : V --> W è un omomorfismo se e solo se, per ogni coppia di vettori v1, v2 in V e ogni coppia di scalari a, b in K risulta f(av1+bv2) = af(v1)+bf(v2).

[ChristinaAemiliana]

Spostato in Scienza e Tecnica