help convergenza asintotica

[tommyk750i]

potrei cortesemente sapere che cos'è la convergenza asintotica ad esempio per il calcolo di un integrale o il calcolo di uno zero di funzione grazie mille

[pietro84]

Originariamente inviato da tommyk750i

potrei cortesemente sapere che cos'è la convergenza asintotica ad esempio per il calcolo di un integrale o il calcolo di uno zero di funzione grazie mille

quando vuoi calcolare un integrale di una funzione da -infinito a +infinito (per esempio) devi assicurarti che all'infinito questa funzione si annulli,cioè valga zero. solo in questo caso l'integrale definito della funzione esiste ed è finito.

ti faccio due esempi:

f(x)=2x
non converge asintoticamente perchè se fai il limite per x---->inf
ti viene infinito(non puoi integrare fino a inf questa funzione)

g(x)= 10^(-x)
converge asintoticamente perchè se fai il limite per x-->inf ottieni zero
e se vai a integrare fino all'infinito questa funzione ottieni un numero finito

[AleX_ZeTa]

piccola precisazione: il fatto che a +-inf il limite sia zero NON implica che la funzione sia integrabile: f(x) = 1/x non è integrabile in [1,+inf) eppure lim(x->+inf) 1/x = 0

altresì, il fatto che sia integrabile non implica che lim(x->+inf) f(x) = 0

f(x) = n per x intero
f(x) = 0 altrimenti

il suo integrale su tutto R è zero, ma il limite a +-inf non esiste

credo non sia vero neanche nel caso di funzioni continue: prendiamo una funzione che vale 1 su tutti i naturali !=0 e che fa un triangolino di area 1/2^n per ogni naturale n... il suo integrale in [0, +inf) è 1 (è la serie di 1/2^n), ma il limite non esiste

[AleX_ZeTa]

per convergenza asintotica comunque credo si parli di un'altra cosa... è quando si dice f(x) "va come" quest'altra funzione... ad esempio sen(x) per x->0 va come x, oppure cos(x) va come 1-1/2x^2.

Alcune volte questo viene indicato con: f(x) = O(g(x)) per x->a (a € [-inf,+inf]) che significa che il limsup e il liminf di f(x) / g(x) sono finiti (e che il limsup è !=0)

se entrambi sono zero (quindi lim(x->a) f(x) / g(x) = 0) si indica f(x) = o(g(x)) per x->a

(alcuni testi forse richiedono che il limite esista e non che limsup e liminf siano finiti)

è utile quando studi il comportamento o l'integrabilità in una singolarità: se hai sen x / x^3 e vuoi sapere se è integrabile in [0,1] devi capire cosa fa in zero... ma senx = O(x) per x->0, quindi sen x / x^3 va circa come x/x^3 = 1/x^2 che non è integrabile. Stessa cosa per limiti a +- inf

[tommyk750i]

grazie mille per le risposte fa sempre piacere imparare cose nuove anche se sono ancora fuori dalla mia portata ,almeno per il momento .
credo che AleX_ZeTa hai centrato proprio il punto, scusatemi allora se la domanda era imprecisa, ma mi fanno fare cose che se ne è solo parlato per max 30min e mai viste prima.

[pietro84]

Originariamente inviato da AleX_ZeTa

piccola precisazione: il fatto che a +-inf il limite sia zero NON implica che la funzione sia integrabile: f(x) = 1/x non è integrabile in [1,+inf) eppure lim(x->+inf) 1/x = 0

hai ragione su questo....mi sono espresso male,è più giusto dire che la primitiva della funzione deve essere convergente asintoticamente... 1/x non è integrabile in [1,inf) perchè log(x),che è una primitiva di 1/x,non è asintoticamente convergente.

altresì, il fatto che sia integrabile non implica che lim(x->+inf) f(x) = 0
f(x) = n per x intero
f(x) = 0 altrimenti

il suo integrale su tutto R è zero, ma il limite a +-inf non esiste

qui non sono d'accordo,l'integrale in questo caso non ha molto senso perchè è possibile integrare solo funzioni continue o con un insieme limitato di punti di discontinuità. questa funzione ha un insime non limitato di punti di discontinuità.

credo non sia vero neanche nel caso di funzioni continue: prendiamo una funzione che vale 1 su tutti i naturali !=0 e che fa un triangolino di area 1/2^n per ogni naturale n... il suo integrale in [0, +inf) è 1 (è la serie di 1/2^n), ma il limite non esiste

sinceramente qui non ho capito la funzione da te proposta...com se ne calcoli una primitiva sicuramente non convergerà asintoticamente

[AleX_ZeTa]

Originariamente inviato da pietro84

qui non sono d'accordo,l'integrale in questo caso non ha molto senso perchè è possibile integrare solo funzioni continue o con un insieme limitato di punti di discontinuità. questa funzione ha un insime infinito di punti di discontinuità.

no. L'integrale di Riemann è definito come l'inf sulle partizioni dell'intervallo delle somme superiori di Riemann (o il sup delle somme inferiori). E' facile vedere che l'integrale di quella funzione è zero: comunque prendi la partizione di (-inf, +inf), se A è un intervallo della partizione che contiene n € Z, allora esiste una palla aperta di raggio r<1 e centro n. Quindi esiste un aperto di punti in cui f(x) = 0. Quindi TUTTE le somme inferiori, qualunque sia la partizione, sono 0.
Ora le somme superiori: copriamo l'n-esimo intero con una palla di centro n e raggio a/2^n. E poi completiamo ad una partizione di (-inf,+inf). Sugli intervalli del completamento la funzione è nulla. Quindi la somma superiore di questa partizione è Sum(n=1->+inf) a/2^n = a. Questo per ogni a € R. Se ora a->0, la somma di Riemann -> 0, quindi il suo inf sarà 0.
Somma sup = Somma inf = 0 ==> integrale = 0

Alternativamente si può fare con Lebesgue: questa è una funzione semplice (assume un numero finito di valori). Allora il suo integrale è la somma di ogni valore per la misura della controimmagine. Ma gli interi (come ogni insieme numerabile) hanno misura nulla in R, quindi l'integrale è 1 * 0 + 0 = 0

Inoltre NON è vero che una funzione è integrabile secondo Riemann solo se ha un numero finito di discontinuità. E' integrabile secondo Riemann SE E SOLO SE le discontinuità hanno misura di Lebesgue nulla (Teroema di Riemann-Lebesgue).

Un esercizio abbastanza classico:
sia f(x) così definita:
f(x) = 1/q per x € Q, x = p/ q (p,q € Z)
f(x) = 0 per x irrazionale
f(x) = 0 per x = 0
qual è la cardinalità dei punti di discontinuità di f(x)?
f(x) è Riemann integrabile? (in [a,b] qualunque... e dimostrarlo senza usare Riemann-Lebesgue)

sinceramente qui non ho capito la funzione da te proposta...com se ne calcoli una primitiva sicuramente non convergerà asintoticamente

Si mi sono spiegato male... Comunque prendi la funzione nulla. Ora in ongi n€ N la fai valere uno. Poi fai un triangolino isoscele di vertice (n,1) con la base sulle ascisse (di centro n) e di area 1/2^n. Hai una sorta di sega tra [0,+inf). Ora l'integrale è banalmente la somma (serie) delle aree... e la serie delle aree è la serie di 1/2^n = 1. Tra l'altro questa funzione è continua quindi ha sicuramente una primitiva... che non ho voglia di calcolare^^ (cmq non è difficile... farà delle specie di paraboline attorno a ogni intero)

[pietro84]

. L'integrale di Riemann è definito come l'inf sulle partizioni dell'intervallo delle somme superiori di Riemann (o il sup delle somme inferiori). E' facile vedere che l'integrale di quella funzione è zero: comunque prendi la partizione di (-inf, +inf), se A è un intervallo della partizione che contiene n € Z, allora esiste una palla aperta di raggio r<1 e centro n. Quindi esiste un aperto di punti in cui f(x) = 0. Quindi TUTTE le somme inferiori, qualunque sia la partizione, sono 0.

beh queste cose le ho studiate tempo fa quindi non ti posso rispondere per il momento...cmq quando ho un po di tempo mi rivedo meglio queste nozioni.
cmq è probabile che tu abbia ragione

Si mi sono spiegato male... Comunque prendi la funzione nulla. Ora in ongi n€ N la fai valere uno. Poi fai un triangolino isoscele di vertice (n,1) con la base sulle ascisse (di centro n) e di area 1/2^n. Hai una sorta di sega tra [0,+inf). Ora l'integrale è banalmente la somma (serie) delle aree... e la serie delle aree è la serie di 1/2^n = 1. Tra l'altro questa funzione è continua quindi ha sicuramente una primitiva... che non ho voglia di calcolare^^ (cmq non è difficile... farà delle specie di paraboline attorno a ogni intero)

cmq visto che(da quanto ho capito) è una funzione periodica e il limite non esiste per x---->inf non ha molto senso parlare di convergenza asintotica in questo caso

[AleX_ZeTa]

no non è periodica... i triangolini si "stringono" alla base, visto che la loro area converge a zero... che non abbia senso parlare di conv. asintotica sono d'accordo... infatti era un controesempio all'affermazione che l'integrale converge solo se lim f(x) = 0.

per la def. di integrale è quella, la trovi su un qualunque libro di analisi 1.

[pietro84]

Originariamente inviato da AleX_ZeTa

no non è periodica... i triangolini si "stringono" alla base, visto che la loro area converge a zero... che non abbia senso parlare di conv. asintotica sono d'accordo... infatti era un controesempio all'affermazione che l'integrale converge solo se lim f(x) = 0.

per la def. di integrale è quella, la trovi su un qualunque libro di analisi 1.

fatto.... ho rivisto un po la teoria degli integrali.... su quella funzione che hai descritto hai ragione tu,l'integrale esiste ed è nullo.

queste nozioni di teoria le avevo un po messe da parte col tempo,e ho com a calcolare intuitivamente gli integrali.
com fa sempre bene una ripassata

ciao