Teorema dei punti critici

[desmosedici]

All'esame di matematica di agraria mi verrà richiesto (fra gli altri) anche il teorema dei punti critici, sul testo consigliato ovviamente non è presente e non riesco a trovarlo.
Mi servirebbero enunciato e dimostrazione, qualcuno sa dove reperirli su internet? Un link o qualcosa?


Grazie mille

[gtr84]

cosa sarebbero questi punti critici?

[desmosedici]

A saperlo .... per questo non trovo nulla

[Mixmar]

Forse i "punti critici" sono questi?

[r_howie]

Penso siano i punti singolari isolati.

[Lucrezio]

Penso che tu ti riferisca ai punti di massimo e minimo per una funzione - in questo caso è il teorema di fermat che ti serve. Afferma che la derivata in un punto di massimo o di minimo è zero...
In alternativa ( ma mi sembra difficile che sia nel programma di analisi I ad agraria...) ti potresti riferire ai punti critici di un sistema di equazioni differenziali e al teorema di linearizzazione... boh?

[desmosedici]

Abbiamo trattato equazioni differenziali, ma a livello di base... è più probabile sia quello che dice che nei punti di max e min la derivata è uguale a 0.
Come lo si dimostra?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da desmosedici

è più probabile sia quello che dice che nei punti di max e min la derivata è uguale a 0.

Casomai, che nei punti di massimo relativo e minimo relativo ove la funzione è derivabile la derivata prima si annulla.
(L'origine è punto critico per la funzione valore assoluto, che non è ivi derivabile.)

Come lo si dimostra?

Vediamo: supponiamo che la funzione f sia di una sola variabile, e che x sia un punto di massimo relativo in cui f è derivabile.
Sia r tale che f(y)<=f(x) per ogni y in (x-r,x+r).
Per t in (0,r), (f(x+t)-f(x))/t è rapporto di una quantità non positiva e una positiva, quindi è <=0. Quindi non può essere f'(x)>0.
Per t in (-r,0), (f(x+t)-f(x))/t è rapporto di una quantità non positiva e una negativa, quindi è >=0. Quindi non può essere f'(x)<0.
Per la legge di tricotomia, deve essere f'(x)=0.

La dimostrazione per i punti di minimo relativo è analoga.

Nel caso di funzione a più variabili la dimostrazione è simile, ma quello che si annulla è il gradiente.

Per inciso: il teorema dice che i punti di massimo relativo e quelli di minimo relativo sono punti critici.
Il viceversa non è vero, ossia non è vero che un punto critico è anche punto di massimo relativo o di minimo relativo. Come controesempio, basta prendere f(x)=x^3, x0=0.