Quesito matemetico

[misterx]

Originariamente inviato da filippom
img(f)=Y è la suriettività

Cmq ora mi sono ricordato, l'iniettività riguarda le applicazioni, una applicazione non iniettiva non può essere una funzione, hai ragione

una applicazione è ancora una relazione ?

[misterx]

Originariamente inviato da filippom
Cosa intendi per relazione? Una applicazione è costituita da due insiemi con le freccette ( )

X={1,2,3}

Y={a,b,c}

questa è una relazione
r={(1,a),(2,b)}

[Scoperchiatore]

Originariamente inviato da misterx
una applicazione è ancora una relazione ?

sono sinonimi

Una relazione (o applicazione) è un sottoinsieme del prodotto cartesiano dei due insiemi

[misterx]

Originariamente inviato da Scoperchiatore
sono sinonimi

Una relazione (o applicazione) è un sottoinsieme del prodotto cartesiano dei due insiemi

concordo, ma non è detto che sia una funzione vero ?

[Scoperchiatore]

Originariamente inviato da misterx
concordo, ma non è detto che sia una funzione vero ?

Esatto, le funzioni sono particolari relazioni in cui n-1 elementi della ennupla individuano univocamente l'n-esimo elemento.

Dato che è così, si cambia la notazione, e invece di scrivere <x1,x2,...,xn-1,xn> si scrive f(x1,x2,...,xn-1) = xn , ma è solo per comodità

[misterx]

Originariamente inviato da filippom
Ah, la geometria

pensa ad un insieme delle relazioni da X a Y e dimmi come lo scriveresti

X={1,2,3,4,5}
Y={a,b,c,d,e}

dalla definizione dei due insiemi (X,Y) si possono ottenere n*m relazioni (e non tutte sono funzioni ) come ad esempio:

r = {(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,e)}

s = {(1,a),(2,a),(3,a),(4,d),(5,e)}

g = {(1,a),(2,b),(3,c)}

etc.....

se volessi ragruppare tutte le relazioni in un unico insieme di relazioni si scrive:

R(X) = {r,s,g,......} ???

[Scoperchiatore]

Originariamente inviato da misterx
pensa ad un insieme delle relazioni da X a Y e dimmi come lo scriveresti

X={1,2,3,4,5}
Y={a,b,c,d,e}

dalla definizione dei due insiemi (X,Y) si possono ottenere n*m relazioni (e non tutte sono funzioni ) come ad esempio:

r = {(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,e)}

s = {(1,a),(2,a),(3,a),(4,d),(5,e)}

g = {(1,a),(2,b),(3,c)}

etc.....

se volessi ragruppare tutte le relazioni in un unico insieme di relazioni si scrive:

R(X) = {r,s,g,......} ???

Ne fai l'unione:

r U s U g = {(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,e), (2,a),(3,a),(5,e)}

La definizione di unione è proprio questa: tutte le coppie dell'una e dell'altra, cancellando le coppie "doppioni".

[misterx]

Originariamente inviato da Scoperchiatore
Ne fai l'unione:

r U s U g = {(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,e), (2,a),(3,a),(5,e)}

La definizione di unione è proprio questa: tutte le coppie dell'una e dell'altra, cancellando le coppie "doppioni".

ci credi se ti dico che nn ci avevo pensato ?

quindi è corretto scrivere:

p(x)=...... per una delle tante relazioni e, P(X)=..... l'insieme di tutte le relazioni ottenibili ?

[Scoperchiatore]

Originariamente inviato da misterx
ci credi se ti dico che nn ci avevo pensato ?

quindi è corretto scrivere:

p(x)=...... per una delle tante relazioni e, P(X)=..... l'insieme di tutte le relazioni ottenibili ?

L'insieme delle parti di un insieme (P(x)) è diverso dall'insieme di tutte le possibili relazioni.

Cioè: l'insieme delle parti lo ottieni combinando tutti gli elementi di un insieme fra di loro, quindi se l'insieme aveva 5 elementi, l'insieme delle parti ne ha 2 alla 5 (32).

Una relazione per definizione è fra due insiemi, non può coinvolgere solo un insieme.

Al massimo puoi avere una relazione che coinvolga 2 volte lo stesso insieme (da R a R)

Una relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano dei due (o più) insiemi: il prodotto cartesiano prende a coppie (o triple, a seconda del numero di insiemi) ordinate gli elementi dell'uno e dell'altro (o degli altri):

ad esempio se A = {1,2} e B = {a,b,c} il prodotto cartesiano A x B (diverso da B x A) è A x B = { (1,a) , (1,b) , (1,c) , (2,a) , (2,b) , (2,c)}

Ogni relazione esprimibile (anche le funzioni) che va da A in B prende alcune (al più tutte) quelle coppie.

Il prodotto cartesiano fra A (2 elementi) e B (3 elementi) ha 6 elementi.

Il prodotto cartesiano di B per se stesso ha 9 elementi, mentre il suo insieme delle parti ha 8 (2 alla 3) elementi. Sono cose diverse, insomma.

Ma era questo che volevi sapere, perchè non credo di aver capito il senso della domanda

[misterx]

Originariamente inviato da Scoperchiatore

Ma era questo che volevi sapere, perchè non credo di aver capito il senso della domanda

hai aggiunto anche dell'altro ma tutto molto interessante, abbonda pure finchè vuoi


ma.....

Originariamente inviato da Scoperchiatore
L'insieme delle parti di un insieme (P(x)) è diverso dall'insieme di tutte le possibili relazioni.

questo era ciò che ti chiedevo ma che non ho ancora ben compreso; riesci a spiegarmelo in modo un po più chiaro ?

[Scoperchiatore]

Originariamente inviato da misterx
hai aggiunto anche dell'altro ma tutto molto interessante, abbonda pure finchè vuoi


ma.....



questo era ciò che ti chiedevo ma che non ho ancora ben compreso; riesci a spiegarmelo in modo un po più chiaro ?

Esemplifico, che è meglio:

prendere l'insieme delle parti di un insieme equivale a costuire tutti i possibili sottoinsiemi delle combinazioni dei suoi elementi, MA SOLO I SUOI.

Mentre costruire una relazione fra insiemi equivale a prendere UN UNICO insieme formato da n-uple degli elementi degli insiemi presi combinati in qualche modo.

Forse con l'esempio è più chiaro:

Prendiamo l'insieme A = {1,2,3}

P(A) = {{1}{2}{3}{1,2}{1,3}{1,2,3}}

mentre per definire una relazione, inanzitutto non basta dire "definisco una relazione su A", in quanto non vuol dire nulla: devo definire il "tipo" della relazione (equivalente al tipo delle variabili nei linguaggi di programmazione, se la cosa può aiutarti)

Il tipo lo definisco dicendo a che insieme apparterranno le n-uple della relazione. Parlo di n-uple perchè decido IO stesso di fare coppie, terne, quaterne, etc... mentre nell'insieme delle parti, la scelta degli elementi e del loro tipo è obbligata.

Tornando alla relazione potrei decidere di fare una relazione in A x A x A: una relazione definita sul prodotto cartesiano di A per se stesso 3 volte sarebbe un sottoinsieme (una relazione è pur sempre un insieme) del prodotto cartesiano di A per se stesso 3 volte, ovvero:

AxAxA =
{(1,1,1) (1,1,2)(1,1,3),(1,2,1) (1,2,2)(1,2,3),(1,3,1) (1,3,2)(1,3,3),
(2,1,1) (2,1,2)(2,1,3),(2,2,1) (2,2,2)(2,2,3),(2,3,1) (2,3,2)(2,3,3),
(3,1,1) (3,1,2)(3,1,3),(3,2,1) (3,2,2)(3,2,3),(3,3,1) (3,3,2)(3,3,3) }

Anche se sembra una cosa complicata, in realtà il prodotto cartesiano l'ho costruito in questo modo: ho preso tutte le possibili combinazioni di tre elementi di A.
Posso anche fare un prodotto cartesiano di AxBxC (dove B e C sono due altri insiemi), RxR (dove R sono i numeri reali, ottenendo così l'insieme dei numeri complessi), RxRxR (ottenendo così i vettori a tre dimensioni, cioè qualunque segmento nello spazio tridimensionale), etc...

Fatto il prodotto cartesiano, è come se avessi stabilito il limite della tua relazione: oltre lì non può andare (logicamente lasciando definito il tipo: se da AxAxA passi a AxAxAxA, cambia tutto).
Ora la relazione la decidi tu prendendo alcune n-uple di quel prodotto cartesiano: ad esempio, tornando all'esempio di A posso chiamare una relazione k = {(1,1,1,),(2,2,2),(3,3,3)}. Quella è una relazione definita su AxAxA.

K è anche una funzione: la posso vedere anche in questo modo:
a 1 associa (1,1)
a 2 associa (2,2)
a 3 associa (3,3)
quindi ad ogni elemento di A è associato un altro elemento (di AxA, se la metto così).

Quindi posso scrivere che K è una funzione che va da A a AxA definendo il tipo della funzione (analogo a quello della relazione, solo che stavolta ci metto la freccina, per indicare dominio, a sinistra, e codominio, a destra della freccia)
K: A -> AxA

Quindi P(A) e relazioni su AxAx...xA sono cose decisamente diverse.

Le funzioni sono una sottoclasse interessantissima delle relazioni, ma vi sono molte relazioni interessantissime per l'algebra che non sono funzioni: ad esempio la relazione di congruenza modulo n.

Due numeri sono congruenti modulo 5, ad esempio, se il loro resto della divisione per 5 è lo stesso. 13 e 18 sono congruenti modulo 5:
difatti
13 : 5 = 10 con resto 3
18 : 5 = 15 con resto 3.

Questa relazione, così innocua, è parente strettissima della relazione alla base di tutte le transazioni sicure su internet

Ora mi fermo perchè sennò mi bannano

[misterx]

Originariamente inviato da Scoperchiatore

Prendiamo l'insieme A = {1,2,3}

P(A) = {{1}{2}{3}{1,2}{1,3}{1,2,3}}

quelli che hai scritto sopra e contenuti in P(A) sono sottoinsiemi di A?

Se penso a P(A) come ad un array di "n" elementi, si può pensare ai suoi sottoinsiemi come a dei sotto-array ?

In definitiva P(A) diverrebbe un array che contiene altri array; sbaglio ?