A tutti i matematici del forum....

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da gtr84
Beh anche con il limite

hai dimostrato che fa 1

lim (x--> 0+) e^(x lnx) =1 giusto?

OK, perché x ln x --> 0 per x --> 0+.

In altri casi potrebbe non essere così. Però non mi viene in mente nessun esempio.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da gtr84
SI ma se ti basta l'approssimazione del miliardesimo

ti fermi a k=7 o 8 no?

Questo integrale, che vale Radq(Pi) se nn sbaglio, so che è stato calcolato numericamente, non esistendo una primitiva di senx/x

Il valore non me lo ricordo, ma quasi sicuramente c'entra Pi greco.
L'analisi complessa consente un calcolo esatto, sostanzialmente aggirando il problema della non esistenza di una primitiva esplicita.
Se poi si deve fare un calcolo numerico... sì, l'approssimazione dovrebbe bastare.

[gtr84]

Originariamente inviato da Ziosilvio
OK, perché x ln x --> 0 per x --> 0+.

In altri casi potrebbe non essere così. Però non mi viene in mente nessun esempio.

Le calcolatrici danno 1

per esempio se faccio

0,00000000000001 ^0,0000000000001

più sono piccoli base ed asponente più la potenza si avvicina ad 1

La calcolatrice di WinXP da direttamente 1 se faccio 0^0

Altre no.


I programmi più potenti di Matematica come il

Mathematica ed Il Scientific Workplace, facendogli disegnare la

f(x,y)=x^y

non sono coerenti

Non riescono a trattare il punto di discontinuità della funzione

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da gtr84
Le calcolatrici danno 1

per esempio se faccio

0,00000000000001 ^0,0000000000001

più sono piccoli base ed asponente più la potenza si avvicina ad 1

La calcolatrice di WinXP da direttamente 1 se faccio 0^0

Altre no.

Quindi le idee sono molto confuse...

I programmi più potenti di Matematica come il

Mathematica ed Il Scientific Workplace, facendogli disegnare la

f(x,y)=x^y

non sono coerenti

Non riescono a trattare il punto di discontinuità della funzione

In effetti, mi sembra di ricordare che il doppio limite simultaneo di f(x,y)=x^y, per x --> 0+ e y --> 0+, non esiste.

[gtr84]

Originariamente inviato da Ziosilvio
Quindi le idee sono molto confuse...



In effetti, mi sembra di ricordare che il doppio limite simultaneo di f(x,y)=x^y, per x --> 0+ e y --> 0+, non esiste.

nn ho mai risolto limiti simultanei

cmq non si può usare il solito trucchetto?

x^y = e ^ln (x^y) = e^ (y ln x) ?

e quindi lim x^y =1 ?

forse non si può fare.....boh

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da gtr84
nn ho mai risolto limiti simultanei

cmq non si può usare il solito trucchetto?

x^y = e ^ln (x^y) = e^ (y ln x) ?

e quindi lim x^y =1 ?

forse non si può fare.....boh

Il trucco sarebbe quello, ma temo che qui non si possa adoperare.
Se mi viene in mente un controesempio lo posto, ma mi sa che ci sarà da aspettare domani

[gtr84]

Originariamente inviato da Ziosilvio
Il trucco sarebbe quello, ma temo che qui non si possa adoperare.
Se mi viene in mente un controesempio lo posto, ma mi sa che ci sarà da aspettare domani

SI me na vado pure io a dormì

Buonanotte e non fare incubi pieni di equazioni e formule ok?

[^TiGeRShArK^]

Si infatti ziosilvio, x integrare secondo Lebesgue intendevo proprio quello ke hai spiegato tu, ovvero il lim x R che tende a inf dell ' integrale esteso tra + o - R. Cmq poi ho capito stamatttina sul cesso prima di andare a fare l'esame come funzionava. Dopo ke si risolve tutto, il contributo relativo al cos x/x si annulla e qdi restava solamente il contributo di (i sen x)/x.
Cmq oggi all'esame il prof. mi ha chiesto un integrale di x/(1+x^4) da risolvere semrpe alla stessa maniera secondo Lebesgue. A parte la nassa assurda a lavorare con gli esponenziali, c'ero quasi riuscito a svolgerlo tutto, se non fosse x il fatto ke mi sono dimenticato di moltiplicare per lambda i il risultato del limite....
cmq alla finem dopo un buon orale, ho preso 30!!!!

Grazie a tutti x l'attenzione!

BYEZ

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da ^TiGeRShArK^
Si infatti ziosilvio, x integrare secondo Lebesgue intendevo proprio quello ke hai spiegato tu, ovvero il lim x R che tende a inf dell ' integrale esteso tra + o - R. Cmq poi ho capito stamatttina sul cesso prima di andare a fare l'esame come funzionava. Dopo ke si risolve tutto, il contributo relativo al cos x/x si annulla e qdi restava solamente il contributo di (i sen x)/x.
Cmq oggi all'esame il prof. mi ha chiesto un integrale di x/(1+x^4) da risolvere semrpe alla stessa maniera secondo Lebesgue. A parte la nassa assurda a lavorare con gli esponenziali, c'ero quasi riuscito a svolgerlo tutto, se non fosse x il fatto ke mi sono dimenticato di moltiplicare per lambda i il risultato del limite....
cmq alla finem dopo un buon orale, ho preso 30!!!!

Grazie a tutti x l'attenzione!

BYEZ

Prego, e complimenti.
Ma l'integrale esteso a R di x/(1+x^4) non è zero?

[^TiGeRShArK^]

no, esteso a R nel senso di Lebesgue... in realtà era un integrale tra 0 e +infinito, ke estendendo la funzione nel dominio complesso ho esteso tra +R e -R, per poi farlo tendere ad infinito
scusa ma in effetti non mi ero spiegato tanto bene

[gtr84]

Originariamente inviato da Ziosilvio
Prego, e complimenti.
Ma l'integrale esteso a R di x/(1+x^4) non è zero?

Gli integrali di questo tipo si ridolvono con la teoria dei residui.

O almeno è come so risolverli

Ma che cos'è questa integrazione alla Lebesgue?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da gtr84
Gli integrali di questo tipo si ridolvono con la teoria dei residui.

O almeno è come so risolverli

Ma che cos'è questa integrazione alla Lebesgue?

Senza entrare troppo nei dettagli, è un modo di definire gli integrali in modo che lo spazio delle funzioni integrabili, modulo l'uguaglianza quasi ovunque, sia uno spazio metrico completo rispetto alla distanza d(f,g) = \int(|f-g|).
L'integrale di Lebesgue gode di altre buone proprietà che l'integrale di Riemann non ha. Per esempio, se f_n è una successione di funzioni integrabili secondo Lebesgue che:
1) ammette limite puntuale a meno di un insieme di misura nulla;
2) è uniformemente maggiorata in modulo da una funzione integrabile secondo Lebesgue g, cioè |f_n|<=g per ogni n,
allora il limite puntuale f è integrabile secondo Lebesgue, l'integrale del limite è il limite degli integrali, e lim \int(|f_n-f|)=0.

Comunque, se l'integrale secondo Riemann e quello secondo Lebesgue di una stessa funzione esistono entrambi, allora sono uguali.

[gtr84]

Originariamente inviato da Ziosilvio
Senza entrare troppo nei dettagli, è un modo di definire gli integrali in modo che lo spazio delle funzioni integrabili, modulo l'uguaglianza quasi ovunque, sia uno spazio metrico completo rispetto alla distanza d(f,g) = \int(|f-g|).
L'integrale di Lebesgue gode di altre buone proprietà che l'integrale di Riemann non ha. Per esempio, se f_n è una successione di funzioni integrabili secondo Lebesgue che:
1) ammette limite puntuale a meno di un insieme di misura nulla;
2) è uniformemente maggiorata in modulo da una funzione integrabile secondo Lebesgue g, cioè |f_n|<=g per ogni n,
allora il limite puntuale f è integrabile secondo Lebesgue, l'integrale del limite è il limite degli integrali, e lim \int(|f_n-f|)=0.

Comunque, se l'integrale secondo Riemann e quello secondo Lebesgue di una stessa funzione esistono entrambi, allora sono uguali.

Da premettere che sono cose di cui non ho mai sentito parlare, cmq grazie per la risposta

[Ziosilvio]

Come promesso, ecco un esempio in cui f(x)-->0 per x-->0+, g(x)-->0 per x-->0+, ma f(x)^g(x) non tende a 1 per x-->0+.

Poniamo f(x)=exp(-1/(x^2)), g(x)=x
Per x-->0+, g(x)-->0 ovviamente, f(x)-->0 perché -1/(x^2) --> -oo.
Però per x>0 è f(x)^g(x)=exp(g(x) ln f(x)) = exp (x (-1/(x^2))) = exp(-1/x).
E questa funzione tende a 0 per x-->0+.

Spero di non aver fatto confusione...

[Ziosilvio]

Il doppio limite simultaneo di f(x,y)=x^y, per x-->0+ e y-->0+, non esiste.
Se esistesse (e, poniamo, valesse L), allora per ogni coppia di funzioni continue f(x), g(x) definite per x>=0, positive per x>0, e tendenti a zero per x-->0+ dovrebbe aversi lim (x-->0+) f(x)^g(x)=L.
Invece, per f(x)=g(x)=x abbiamo lim (x-->0+) f(x)^g(x)=1, mentre per f(x)=exp(-1/(x^2)) e g(x)=x abbiamo lim (x-->0+) f(x)^g(x)=0.

[gtr84]

Originariamente inviato da Ziosilvio
Come promesso, ecco un esempio in cui f(x)-->0 per x-->0+, g(x)-->0 per x-->0+, ma f(x)^g(x) non tende a 1 per x-->0+.

Poniamo f(x)=exp(-1/(x^2)), g(x)=x
Per x-->0+, g(x)-->0 ovviamente, f(x)-->0 perché -1/(x^2) --> -oo.
Però per x>0 è f(x)^g(x)=exp(g(x) ln f(x)) = exp (x (-1/(x^2))) = exp(-1/x).
E questa funzione tende a 0 per x-->0+.

Spero di non aver fatto confusione...

Ehm mi sa di si

per le propietà degli esponenziali, i questo caso è

f(x)^g(x) = exp(-1/x)

ed il limite è 1

P.S. Io penso che comunque esistano dei casi in cui il limite non esiste.

[gtr84]

Originariamente inviato da gtr84
Ehm mi sa di si

per le propietà degli esponenziali, i questo caso è

f(x)^g(x) = exp(-1/x)

ed il limite è 1

P.S. Io penso che comunque esistano dei casi in cui il limite non esiste.

P.P.S.

Ho detto una ca@@ta pazzesca!!!!

il limite per x-->0 fa 0......

[gtr84]

AL di la di tutto ciò

Sto pensando seriamente di chiedere al docente di analisi II

è una faccenda che se nn approfondisco per bene, poi mi sento ignorante