Passaggio Matematico nn chiaro in Dimostrazione di Contr.Automatici (Num Complessi)

[luxorl]

Ciao a tutti,
ieri sono andato a ripetermi la dimostrazione di perchè se in un sistema insieriamo una sinusoide, l'uscita a transitorio esaurito è sempre una sinusoide con stessa pulsazione...

ad un certo punto il libro fa questo passaggio:

trovatosi nell'equazione le Funzioni di Trasferimento del sistema, con S=jw e S=-jw (dove jw è un numero complesso con parte reale 0)

G(jw) e G(-jw)

Le sostituisce con:

G(jw) = |G(jw)| e^f(w)
G(-jw) = |G(-jw)| e^-f(w)

Io con le poche nozioni che ho sui numeri complessi mi sono spiegato questo passaggio sapendo che un numero complesso può essere scritto sia nella forma a+jb oppure nella forma |modulo| e^fase...

Volevo chiedervi se la spiegazione che mi sono dato è giusta, e il perchè...

Grazie a tutti

[Ziosilvio]

E' giusta, a parte il fatto che il numero complesso deve essere diverso da zero (la fase dello zero non è definita).

[Topomoto]

Io con le poche nozioni che ho sui numeri complessi mi sono spiegato questo passaggio sapendo che un numero complesso può essere scritto sia nella forma a+jb oppure nella forma |modulo| e^fase...

Infatti è proprio così...la spiegazione te la sei data da solo

[r_howie]

Originariamente inviato da Topomoto

Infatti è proprio così...la spiegazione te la sei data da solo

Ci vuole anche una j nell'esponente, no?

[kaioh]

Originariamente inviato da r_howie

Ci vuole anche una j nell'esponente, no?

SI

a+ib= Me^jß

[sgksgk]

Originariamente inviato da Ziosilvio

E' giusta, a parte il fatto che il numero complesso deve essere diverso da zero (la fase dello zero non è definita).

Al di là della definizione della fase di zero,se io dico il coniugato di zero è zero è giusto oppure sbaglio ?
Zero è un numero reale con parte immaginaria zero,quindi come tutti i numeri reali (sottoinsieme di quelli complessi) il loro coniugato è se stesso.
Giusto ?

[Topomoto]

Originariamente inviato da r_howie

Ci vuole anche una j nell'esponente, no?

Hai ragione, la j m'è sfuggita

Originariamente inviato da sgksgk

Al di là della definizione della fase di zero,se io dico il coniugato di zero è zero è giusto oppure sbaglio ?
Zero è un numero reale con parte immaginaria zero,quindi come tutti i numeri reali (sottoinsieme di quelli complessi) il loro coniugato è se stesso.
Giusto ?

Lo zero non ha solo la parte immaginaria nulla, ma anche quella reale. Se lo riportiamo sul piano complesso, è impossibile determinare la fase (che per un reale non nullo è 0 o 180°, a seconda del segno).
Sul coniugato forse hai ragione, anche se, non essendo lo zero un complesso, ha poco senso anche parlare di coniugato. Ma su questo aspetterei l'intervento di qualche "matematico" puro

[sgksgk]

Originariamente inviato da Topomoto

Hai ragione, la j m'è sfuggita


Lo zero non ha solo la parte immaginaria nulla, ma anche quella reale. Se lo riportiamo sul piano complesso, è impossibile determinare la fase (che per un reale non nullo è 0 o 180°, a seconda del segno).
Sul coniugato forse hai ragione, anche se, non essendo lo zero un complesso, ha poco senso anche parlare di coniugato. Ma su questo aspetterei l'intervento di qualche "matematico" puro

Come lo 0 non è un complesso ?
Lo 0 appartiene ai numeri reali cosi' come all'insieme dei complessi,infatti come tutti i numeri complessi si può rappresentare come a+jb con a,b reali (in tal caso per lo zero a=0 e b=0).Per la fase 0 o 180 ok,quello che volevo dire che se si fai -0 o -180 si riottiene sempre 0 ecco perchè il coniugato di 0 mi verrebbe da dire che sia 0.

Ciao

[Topomoto]

Originariamente inviato da sgksgk

Come lo 0 non è un complesso ?
Lo 0 appartiene ai numeri reali cosi' come all'insieme dei complessi,infatti come tutti i numeri complessi si può rappresentare come a+jb con a,b reali (in tal caso per lo zero a=0 e b=0).Per la fase 0 o 180 ok,quello che volevo dire che se si fai -0 o -180 si riottiene sempre 0 ecco perchè il coniugato di 0 mi verrebbe da dire che sia 0.

Ciao

Il problema è che la fase di zero non è 0 o 180°....non esiste. E non essendo rappresentabile in modulo e fase, io non lo vedo come numero complesso. Per questo "invocavo" l'intervento di qualche matematico, che magari saprà dare una spiegazione molto più rigorosa.
ciao

[r_howie]

Originariamente inviato da Topomoto

Il problema è che la fase di zero non è 0 o 180°....non esiste.

Perfetto.

Originariamente inviato da Topomoto

E non essendo rappresentabile in modulo e fase, io non lo vedo come numero complesso.

Un numero complesso altro non è che una coppia ordinata di numeri reali per la quale siano definite le operazioni di somma e prodotto. Lo zero rientra in questa definizione, in cui non si parla proprio di esponenziali? Sicuramente.

Ogni numero complesso scritto in forma algebrica z=a+jb è in corrispondenza biunivoca con un punto del piano complesso.

Ogni numero complesso scritto in forma trigonometrica o esponenziale z=ρe^(j theta), invece, solamente quando ρ è nonnullo e la fase θ è l'argomento principale -cioè esiste-, è in corrispondenza biunivoca con un punto del piano di coordinate polari (ρ, theta)! Mica sempre. Del resto, era logico imporre queste restrizioni perché, come hai detto tu, un vettore nullo non ha fase.

In soldoni: la forma esponenziale è un modo molto utile per scrivere i numeri complessi in tante discipline e nell'analisi di Fourier, ma non deve mica essere necessariamente definita su tutto C. In particolare, è definita su C escluso il punto (0,0). Se tratterai derivate e integrali di numeri complessi in qualche corso, studierai che in generale sulla funzione esponenziale complesso, di cui e^(j theta) è un caso particolare, possiamo dire che:

• è definita e continua in tutto il suo dominio C;
• è sempre nonnulla, cioè ha codominio in C - (0,0);
• è periodica di periodo 2πj. Ciò si ricava dalle formule di Eulero;
• è derivabile su tutto C.

[sgksgk]

Cmq la mia domanda non era tanto se esiste o meno la fase di zero (che ora ho capito e giustamente se utilizzo la forma pe^j(theta),p deve essere >0 dove p è il raggio polare) ,ma la mia domanda in origine era se è lecito affermare che il coniugato di zero è zero.
Visto la definizione di coniugato di un numero complesso (senza pretese di formalità : Il complesso coniugato del numero complesso z = a + ib è definito come a - ib) dico si.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da sgksgk

la mia domanda in origine era se è lecito affermare che il coniugato di zero è zero.

La risposta è: sì.

[luxorl]

E un'altra cosa:

Se io ho un numero complesso in forma Me^jF posso ricondurmi ad una funzione periodica, vero? ..come?

So che si dovrebbero usare le formule di eulero, che al momento non trovo.. chi mi da una rinfrescata? Grazie

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da luxorl

Se io ho un numero complesso in forma Me^jF posso ricondurmi ad una funzione periodica, vero? ..come?

Beh... l'esponenziale complesso è una funzione periodica di periodo 2jP, dove P è Pi greco...

So che si dovrebbero usare le formule di eulero, che al momento non trovo.. chi mi da una rinfrescata? Grazie

Dovrebbe essere quella secondo cui per ogni numero complesso z si ha e^jz = cos z + j sen z.
Mi raccomando il fattore j nell'argomento dell'esponenziale!

[luxorl]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Dovrebbe essere quella secondo cui per ogni numero complesso z si ha e^jz = cos z + j sen z.
Mi raccomando il fattore j nell'argomento dell'esponenziale!

E per arrivare alla formula sin(x) = (e^jx - e^-jx)/2j sono giusti questi passaggi?

dalla prima otteniamo secondo la formula e^jx = cos x + j sen x

(cos x + jsin x) - (cos x -jsin x)
------------------------------
2j

sviluppiamo e i due coseni si annullano e ci rimane

2j sin x
-------
2j

da cui: sin x

Mi date una controllata sui segni del primo passaggio?
è giusto e^-jx = (cos x -jsin x)
oppure anche il cos si "becca" il meno?

grazie come sempre!

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da luxorl

Mi date una controllata sui segni del primo passaggio?

Sono giusti.

è giusto e^-jx = (cos x -jsin x)

Sì, perché il seno è una funzione dispari e il coseno è una funzione pari.