Matematica: l'integrale di linea cosa è?!

[Matrixbob]

... io non lo ho mai sentito, ma lo ho trovato come operatore su un prodotto vettoriale ^ nella definizione di Lavoro L o Work W in Fisica 1 (Meccanica).

Qualcuno mi sa aiutare per piacre?!
Grazie.

[Lucrezio]

Forse hai trovato il simbolo dell'integrale su un cerchietto?
allora, fai conto che un integrale di linea è un integrale calcolato non rispetto ad una variabile indipendente come x, t o quel che sia, ma rispetto ad una "linea" appunto, che può essere una funzione.
Probabilmente l'hai trovato nella definizione del lavoro in quanto il lavoro compiuto da una forza ( non conservativa! ) dipende dal percorso, quindi bisogna integrare su tutti i punti ( gli "elementi di linea, per usare un approccio tipicamente "fisico" ) del percorso, che è appunto una linea.
Un esempio tipico di integrale di linea è la circuitazione di un campo: in questo caso, ovviamente, integri il campo rispetto ad una linea ( chiusa di solito! ). Una delle più importanti leggi dell'elettromagnetismo, ad esempio, dice che l'integrale di linea del campo elettrostatico è nullo, e che quindi il campo è conservativo!
Cmq il lavoro è un prodotto scalare!

[Matrixbob]

Puoi fare qualche esempio di clacolo banale?!
TNX.

[Lucrezio]

Oddio, non si tratta proprio di una cosa facile!
Molto spesso il calcolo è fattibile solo in condizioni di particolare smmetria... ti faccio un esempio:
Cosidera un campo elettrostatico uniforme ( prendi un condensatore, per esempio! ) e traccia una circonferenza all'interno:
puoi dedurre dalla simmetria del sistema che tutti i prodotti scalari fra il campo ( uniforme ) e gli elementi di linea ( tangenti alla circonferenza ) è zero perché tutti i contributi si annullano!
Oppure se consideri un campo magnetico prodotto da un filo ( linee di campo circolare ) puoi calcolare la circuitazione lungo una circonferenza:
int Bdl = B*intdl = B*2piR = u*i ( sostituendo al campo ui/(2pi*r) ).
in generale, cmq, è tutto molto più complicato... ma nella fisica riesci quasi sempre a trovare un sistema simmetrico "comodo"!

[ChristinaAemiliana]

[Lucrezio]

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana

Questa è cattiveria

[Matrixbob]

Originariamente inviato da Lucrezio
Cosidera un campo elettrostatico uniforme

ma dai se sto studiando fisica 1 (meccanica) come faccio a sapere fisica 2 (elettromagnetismo)

[Lucrezio]

Originariamente inviato da Matrixbob
ma dai se sto studiando fisica 1 (meccanica) come faccio a sapere fisica 2 (elettromagnetismo)

Vabbé, un campo elettrico l'avrai visto alle superiori!
uff... ha le linee di campo parallele e che è di modulo costante, fai finta che sia un campo gravitazionale uniforme!



Edit: se fai fisica 1 pensa all'entropia: in un ciclo la definisci come integrale curvilineo di dq/t!

[ChristinaAemiliana]

Beh ma se è solo questo che ti serve, puoi pure evitare di impazzire sulla matematica e sulla definizione rigorosa di integrale curvilineo!

La definizione di lavoro di una forza tramite l'integrale di linea è soltanto una generalizzazione del solito concetto di forza moltiplicata scalarmente per lo spostamento.

Avrai certo visto il lavoro scritto così:

L = F * s = F s cos(theta)

dove theta è l'angolo tra la forza e la direzione dello spostamento.

Quello è il lavoro di una forza costante. Se la forza è una funzione del posto e lo spostamento è una curva allora passi al lavoro elementare dL = F * ds in cui ds è uno spostamento infinitesimo e F è la forza applicata lì. Ovviamente c'è sempre di mezzo il prodotto scalare quindi tu prendi la componente della forza lungo ds. A quel punto l'integrale ti serve a "raccogliere" i contributi di tutti gli spostamenti infinitesimi lungo la curva che ti interessa.

E' come se spezzettassi la curva in tanti piccoli segmenti e per ognuno calcolassi il lavoro per poi sommare il tutto.

[Matrixbob]

Ok ragazzi con calma nel week end o inizio settimana elaboro i vostri input.

[Bilancino]

Integrale di linea? Fate campi elettromagnetici e ne vedrete delle belle

Ciao

[Matrixbob]

Originariamente inviato da Lucrezio
Forse hai trovato il simbolo dell'integrale su un cerchietto?

No il simbolo gamma vicino al simbolo integrale.
Il cerchio con il simbolo integrale che gli passa sopra lo sto vedendo + avanti, insieme rimane sempre quel piccolo "gamma" appiccicato alla sovrapposizione di cerchio e integrale.

[Matrixbob]

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Ovviamente c'è sempre di mezzo il prodotto scalare quindi tu prendi la componente della forza lungo ds.

Alla fine mi ritrovo un

... = F ds cos(teta) = Ft ds,

dove Ft sarà quindi quella che tu hai chiamato "componente della forza lungo ds",
la potrei chiamare anche "forza tangenziale" se non erro ... o almeno interpreto quel "t" vicino ad "F" in questa maniera.

... Ft mi serve poi a dimostrare il "torema di Ec" quando mi appellerò alla "II legge di Newton della dinamica".

[PS]
Ma si passa da vettori a moduli propio perchè si usa la componente della forza, giusto?!

[ChristinaAemiliana]

Originariamente inviato da Matrixbob
Alla fine mi ritrovo un

... = F ds cos(teta) = Ft ds,

dove Ft sarà quindi quella che tu hai chiamato "componente della forza lungo ds",
la potrei chiamare anche "forza tangenziale" se non erro ... o almeno interpreto quel "t" vicino ad "F" in questa maniera.

... Ft mi serve poi a dimostrare il "torema di Ec" quando mi appellerò alla "II legge di Newton della dinamica".

[PS]
Ma si passa da vettori a moduli propio perchè si usa la componente della forza, giusto?!

Sì, puoi benissimo battezzarla forza tangenziale e immaginartela come un vettore tangente alla traiettoria nel punto che stai considerando (e quindi parallelo al ds).

PS Qui, moltiplicando per il cos, passi da un vettore a una sua componente (quella tangenziale appunto), non da un vettore al suo modulo. Ft è una componente di F (ah non l'ho detto ma sto usando la solita convenzione di scrivere i vettori in grassetto, visto che sul forum non ho le freccine da mettere sopra ). Nulla mi vieta cmq di pensare a un vettore Ft parallelo a ds e di cui Ft sia il modulo...

Ad ogni modo credo che tu con la tua domanda intendessi chiedere se si passa da vettori a scalari perché si usano le componenti...in tal caso ovviamente la risposta è sì

[Banus]

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
PS Qui, moltiplicando per il cos, passi da un vettore a una sua componente (quella tangenziale appunto), non da un vettore al suo modulo.

Per fare i pignoli, non è possibile passare da un vettore a una sua componente mediante una moltiplicazione per uno scalare
Al più a un vettore parallelo con modulo uguale alla componente

[ChristinaAemiliana]

Originariamente inviato da Banus
Per fare i pignoli, non è possibile passare da un vettore a una sua componente mediante una moltiplicazione per uno scalare
Al più a un vettore parallelo con modulo uguale alla componente

Pardon! Pensavo al modulo!

In effetti noi ing non siamo poi così rigorosi...e i matematici inorridiscono!

Mi ricordo una volta che un mio prof ha litigato con un matematico, me presente, perché lui aveva chiamato un oggetto "norma" quando invece era una "pseudonorma"

[Banus]

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Mi ricordo una volta che un mio prof ha litigato con un matematico, me presente, perché lui aveva chiamato un oggetto "norma" quando invece era una "pseudonorma"

Allora cosa deve dire il matematico quando usiamo le distribuzioni come funzioni semplici?
Non abbiamo nè tempo nè voglia di passare tutte le volte per gli spazi di Hilber e gli spazi duali

[ChristinaAemiliana]

Originariamente inviato da Banus
Allora cosa deve dire il matematico quando usiamo le distribuzioni come funzioni semplici?
Non abbiamo nè tempo nè voglia di passare tutte le volte per gli spazi di Hilber e gli spazi duali

Comincio a pensare che sia per questo che i corsi di analisi 3 raramente sono tenuti da matematici, ma piuttosto da qualche elettronico...

[Matrixbob]

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana Ad ogni modo credo che tu con la tua domanda intendessi chiedere se si passa da vettori a scalari perché si usano le componenti...in tal caso ovviamente la risposta è sì

Esatto, mi spiego sempre un po' ala Topogigio, ma qesto m'aiuta molto.

[ChristinaAemiliana]

Originariamente inviato da Matrixbob
Esatto, mi spiego sempre un po' ala Topogigio, ma qesto m'aiuta molto.

Beh, anche io eh...è normale per un ingegnere!