problema geometrico difficile (per me)

[peter2]

devo calcolare il volume della porzione di spazio delimitata da due triangoli e dalla superficie verticale che collega i loro vertici: il primo triangolo ha vertici di coordinate xyz qualsiasi, il secondo è la proiezione orizzontale del primo su un piano parallelo al piano xy, di equazione z=h. il "bello" è che h può essere qualsiasi quindi il "triangolo proiezione" può pure intersecare l'altro triangolo.
Il problema generale non è difficilissiimo (l'ho risolto in un foglio di calcolo mathcad allegato nello zip) ma devo trovare la funzione inversa, cioè dato un volume V>0 trovare h' tale che V(h')=V.
l'idea originale, poi abbandonata, e anche più semplice concettualmente, era quella di ottenere il volume incognito come differenza tra l'integrale doppio della funzione costante z=h e quella che descrive il piano del triangolo obliquo, ambedue gli integrali estesi alla regione del piano xy delimitata dal "triangolo proiezione": il problema è che bisognerebbe fare un cambio di variabili affinchè questa regione risulti normale ad un asse, ma non mi ricordo come si fa.....
capito? spero di si
nello zip riporto anche un immagine 3d del problema (e il file Autocad dalla quale è stata catturata), che contiene in rosso il triangolo obliquo, in ciano il triangolo orizzontale in tre quote possibili e in verde le loro eventuali intersezioni.

grazie mille a chi si vuole cimentare

[Lucrezio]

Non riesco a capire il problema...
l'idea è che dovresti riuscire a scrivere il sottoinsieme di R^3 che costituisce il tuo solido... quindi basta integrare in dxdydz su quell'insieme!

[JL_Picard]

Spiega meglio:

Quando dici "il primo triangolo ha vertici di coordinate xyz qualsiasi" cosa intendi?

- che ciascuno dei tre vertici del triangolo può avere una terna di coordinate qualsiasi [del tipo A(x1, y1, z1) B(x2, y2, z2) C(x3, y3, z3)]

- che ciascuno dei vertici sta su uno degli assi [e quindi del tipo A(x, 0, 0) B(o, y, 0) C(0, 0, z)]

Stando al tuo disegno avremmo:

A (vertice in basso a sinistra) (x, 0, 0)
B (vertice a destra) (0, y, z(B))
C (vertice in alto) (o, 0, z (C))

(ho assunto convenzionalmente come asse x, quello che va verso sinistra, come asse y quello che va verso destra, e come asse z, quello verticale)

Se, come penso vale l'ipotesi che ciascun vertice stia su un asse principale, il tuo disegno è sbagliato (il vertice B dovrebbe stare sull'asse a quota Z=0).

Se invece vale la prima ipotesi, il tuo disegno manca di generalità.

[peter2]

vale la prima ipotesi: i tre vertici possono essere qualsiasi => il disegno manca di generalità, ma è comunque un caso possbile. era solo per facilità di disegno.

[JL_Picard]

Ok.

Tempo permettendo provo a lavorarci sopra...

[peter2]

Originariamente inviato da JL_Picard

Ok.

Tempo permettendo provo a lavorarci sopra...

MITICOOO!

PS
hai potuto vedere il foglio mathcad?

[JL_Picard]

No. Non ho mathcad

[JL_Picard]

Visto che il problema è alquanto complesso, posto i risultati parziali, man mano che procedo.

Cominciamo da un po' di convenzioni:

definiamo le coordinate dei tre vertici:

A (x1, y1, z1)
B (x2, y2, z2)
C (x3, y3, z3)

e assumiamo per convenzione (senza perdere in generalità) che sia z1 < z2 < z3.

Poichè il secondo triangolo è "orizzontale" il problema è analogo alla determinazione del Volume sotteso dal Triangolo di partenza, al variare dell'altezza rispetto ad un arbitrario piano xy.

finchè h <= z1 oppure h>= z3 Il Volume sotteso è facilmente determinabile, sostituendo alle coordinate z le coordinate z'=z-h.

In questo modo il Volume è funzione di h.

Per trovare h basta invertire la formula del Volume.

La cosa non dovrebbe essere difficile, perchè V(h) è una funzione lineare di h.

nel caso in cui z1 < h < z3 la cosa si complica, perchè il piano interseca il trinagolo.

occorre pertanto scomporre in due l'intervallo di integrazione, avendo come comune limite il segmento di retta (con z=h) ottenuto dall'intersezione del piano con il triangolo.

Fatto ciò si sommano i Volumi dei due solidi (attenzione ai segni!) ottenendo una funzione di h, che deve essere invertita per trovare h in funzione di V.