Limite...si fà così?

[D4rkAng3l]

Considerando questo limite:

limite di n che tende ad infinito di:
(ln(n!))/(n^2)

insomma logaritmo di n fattoriale è il numeratore e n al quadrato è il denominatore.

Secondo me ad occhio direi che n! cresce molto velocemente ma è comunque l'argomento della funzione logaritmo che invece cresce molto lentamente per cui ln(n!) cresce lentamente.

al denominatore n^2 cresce abbastanza velocemente

per cui per la stima asintotica a numeratore ho una quantità che và ad infinito lentamente, a denominatore una quantità che và ad infinito più velocemente e il limite tende a 0

Ci può stare come raggionamento? mmm non mi vengono in mente limiti notevoli con i fattoriali...

[r_howie]

Conosci la formula di Stirling?

[Ziosilvio]

Come ha già detto r_howie, questo problema richiede l'uso della formula di Stirling:

            e^n n!
lim    ---------------- = 1
n-->oo n^n sqrt(2 n Pi)

Questa formula si rilegge dicendo che n! = Theta((n/e)^n sqrt(2 n Pi)).
Passa ai logaritmi...

[JL_Picard]

leggi QUI

l'ultima formula dà un'approssimazione di ln (n!) per n grande...

sostituisci nella tua espressione ed arriverai a calcolare il limite cercato (=0)

[D4rkAng3l]

Originariamente inviato da JL_Picard

leggi QUI

l'ultima formula dà un'approssimazione di ln (n!) per n grande...

sostituisci nella tua espressione ed arriverai a calcolare il limite cercato (=0)

allora dell'esistenza di Stirling già lo sapevo perchè me ne aveva parlato un amico fisico...noi stirling non lo abbiamo fatto...senza usare Stirling come raggionamento può filare?

[8310]

il tuo ragionamento dovrebbe essere giusto...la successione converge a 0

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da D4rkAng3l

senza usare Stirling come raggionamento può filare?

Senza usare Stirling, ma sapendo che log n! = O(n log n), direi che sì, come ragionamento può filare.

[8310]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Senza usare Stirling, ma sapendo che log n! = O(n log n), direi che sì, come ragionamento può filare.

Scusa l'ignoranza ma che intendi con la notazione log n! = O(n log n) ?

[D4rkAng3l]

Originariamente inviato da 8310

Scusa l'ignoranza ma che intendi con la notazione log n! = O(n log n) ?

infatti che intyendi?

[r_howie]

Originariamente inviato da D4rkAng3l

infatti che intyendi?

La notazione O grande è usata soprattutto in informatica.

Quando si scrive che f(n) è O(g(n)), si intende che f cresce con velocità al più (= minore o uguale a quella di) g. Similmente, Ω omega grande significa "crescere almeno come" e Θ theta grande significa "crescere esattamente come".

Il tutto tenendo a mente che:
1) la notazione vale per n molto grandi. Quanto grandi? Quanto basta.
2) le relazioni valgono a meno di costanti.

Probabilmente ad analisi matematica ti insegneranno l'algebra degli "o piccoli"; è comoda per risolvere i limiti ad esempio con gli sviluppi di Taylor.

[FreeMan]

Spostato in Scienza e tecnica

MOVED!!

>bYeZ<

[D4rkAng3l]

a freeman ma te ci diverti a chiude e sposta i 3d...scusa perchè non poteva stare in scuola e lavoro?ha a che fare con argomenti di studio più che di "scienza"...è un'argomento abbastanza didattico...

[FreeMan]

le discussioni didattiche vengono da sempre affrontate in scienza e tecnica.. scuola e lavoro è rivolta alla fase finale dello studio e inziale del lavoro, o cmq del lavoro in genere

invece di lamenterti sempre (a sproposito) perchè non guardi che thread vengono aperti nelle sezioni così ti rendi conto da solo dove postare?

>bYeZ<

[FreeMan]

dimenticavo: come tua consuetudine pensi che i thread in rilievo siano messi li per sport.. andrebbero invece LETTI!

http://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?t=878805

http://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?t=878803

http://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?t=854456

>bYeZ<

[D4rkAng3l]

Originariamente inviato da FreeMan

le discussioni didattiche vengono da sempre affrontate in scienza e tecnica.. scuola e lavoro è rivolta alla fase finale dello studio e inziale del lavoro, o cmq del lavoro in genere

invece di lamenterti sempre (a sproposito) perchè non guardi che thread vengono aperti nelle sezioni così ti rendi conto da solo dove postare?

>bYeZ<

si vabbp tranquillo però...non ti inacidere e non sottolineare così la parola: "a sproposito" suvvia sono le 00:32 avrai anche di meglio da fare che inacidirti con me :-P

Notteee
Andrea

[FreeMan]

Non mi inacidisco e non ho la scadenza come gli yogurt.. tranqui



vedi solo di stare + attento... anche se sono anni che te lo dico

>bYeZ<

[r_howie]

darché,
il limite poi l'hai capito? Comunque non è essenziale che tu sappia cos'è la notazione O grande, a meno che non lo facciate nel corso.

È analisi matematica, vero? In quale corso di laurea?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da 8310

che intendi con la notazione log n! = O(n log n) ?

La scrittura f(n)=O(g(n)) indica che esistono una costante C>0 e un numero n0 tali che f(n)<=Cg(n) per ogni n>n0.

[8310]

Per la cronaca il ragionamento del confronto di infiniti non va bene. Il limite si può risolvere consideranto log n! = log 1 + log 2 + log 3 + ... + log n e applicando il teorema di Cesaro: siano an e bn due successioni di numeri reali con bn divergente positivamente e strettamente crescente (è il nostro caso) o divergente negativamente e strettamente decrescente. Se esiste:

lim (an+1-an)/(bn+1-bn)=a appartenete a R esteso

allora esiste anche lim an/bn=a

Quindi basta construire la successione di Cesaro e si vede immediatamente che essa converge a zero.

Consideriamo la successione log n! / n (invece di n^2)...con lo stesso procedimento si trova che essa diverge positivamente...eppure se facessimo un confronto di infiniti saremmo portati a dire che anche questa successione converge a zero...

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da 8310

Per la cronaca il ragionamento del confronto di infiniti non va bene.

Invece va bene: continua a leggere.

Il limite si può risolvere consideranto log n! = log 1 + log 2 + log 3 + ... + log n e applicando il teorema di Cesaro: siano an e bn due successioni di numeri reali con bn divergente positivamente e strettamente crescente (è il nostro caso) o divergente negativamente e strettamente decrescente. Se esiste:

lim (an+1-an)/(bn+1-bn)=a appartenete a R esteso

allora esiste anche lim an/bn=a

Quindi basta construire la successione di Cesaro e si vede immediatamente che essa converge a zero.

Infatti se:

a[n] = log n! ; b[n] = n^2

allora:

(a[n+1]-a[n])/(b[n+1]]-b[n])
 = (log (n+1)! - log n!)/((n+1)^2-n^2)
 = (log(n+1))/(2n+1)

che tende a 0.

Consideriamo la successione log n! / n (invece di n^2)...con lo stesso procedimento si trova che essa diverge positivamente

Infatti qui a[n] = log n! e b[n]=n, quindi (a[n+1]-a[n])/(b[n+1]-b[n]) = log(n+1).

eppure se facessimo un confronto di infiniti saremmo portati a dire che anche questa successione converge a zero

Niente affatto: dall'approssimazione di Stirling segue:

log n! = n log n - n + 0.5 log n + costanti + infinitesimi

quindi:

(log n!)/n = log n + costanti + infinitesimi

che diverge positivamente.