Mini- guida alle equazioni differenziali "facili"

[Lucrezio]

Definizioni
Si definisce equazione differenziale un'equazione dove compare una funzione incognita insieme alle sue derivate. In genere è della forma:
.
Si dice in forma canonica quando la derivata di ordine più alto è esplicitata:

Si dice autonoma se x non compare esplicitamente (le equazioni del moto sono un esempio di equazioni autonome, di solito: si veda la caduta libera, il moto armonico e così via, in cui le forze in gioco dipendono da posizione e velocità, ma non dal tempo!).
Si dice lineare quando la funzione implicita e le sue derivate compaiono alla prima potenza e non moltiplicate fra loro. Un'equazione differenziale lineare è della forma:
.
L'equazione si dice omogenea quando f(x) è identicamente uguale a zero.
Infine si dice a variabili separate un'equazione differenziale che si può scrivere nella forma:


Equazioni differenziali lineari di primo ordine
Sia
un'equazione differenziale lineare del primo ordine.
Moltiplicando ambo i membri per ,
dove

è una primitiva di a(x), si ottiene:

Al primo membro si può riconoscere la derivata del prodotto :

integrando membro a membro:
,
con k costante arbitraria. Quindi l'integrale generale è della forma:

[Lucrezio]

Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti
Sia un'equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti. Si può dimostrare che l'insieme delle soluzioni è dato dalla combinazione lineare di due soluzioni dell'equazione omogenea più una soluzione particolare.
Ricerca di soluzioni dell'equazione omogenea

Si cerca una soluzione esponenziale della forma
.
sostituendo:

Eliminando l'esponenziale, che è sempre diverso da zero, si ottiene il polinomio caratteristico:
.
Vanno distinti tre casi:

a) due radici reali distinte:
In questo caso l'insieme delle soluzioni dell'equazione omogenea sarà
,
con A e B costanti arbitrarie.

b) due radici reali coincidenti :
In questo caso l'insieme delle soluzioni dell'equazione omogenea sarà
,
con A e B costanti arbitrarie.

c) due radici complesse coniugate
con un po' di passaggi, combinazioni lineari e giochini vari si ottiene che l'insieme delle soluzioni dell'omogenea è:


Ricerca di una soluzione particolare: il metodo della variazione delle costanti arbitrarie
Siano le due soluzioni dell'equazione omogenea: si cerca una soluzione particolare nella forma
.
Si può dimostrare (brevemente, se volete lo faccio!) che le due funzioni

si ottengono integrando le soluzioni del sistema lineare nelle loro derivate così definito:


Per quel che riguarda le equazioni a variabili separabili... beh, spesso sono molto più facili delle altre: si separano le variabili e si integra ambo i membri... occhio però alle costanti arbitrarie e al dominio su cui sono definite le soluzioni; occhio inoltre all'unicità!
Direi che ci siamo... spero che la guida serva, magari nel corso del tempo potrei postare qualche dimostrazione...
Inoltre sicuramente a breve posto qualche esempio svolto!

[The_ouroboros]

complimenti...altre utili informazioni??

[hakermatik]

posso postare una dispensa, a mio avviso fatta bene, sulle equazione differenziali?

[The_ouroboros]

Originariamente inviato da hakermatik

posso postare una dispensa, a mio avviso fatta bene, sulle equazione differenziali?

billa

[hakermatik]

billa??? che è ??

cmq ecco il link

http://www.dii.unisi.it/%7Epapini/dispense/EDO.pdf