[Help] problema di Matematica

[joden]

devo assolutamente riuscire a fare per domani questo esercizio di matematica, ma nn riesco a finirlo... qualcuno che ne capisce qualcosa in più mi potrebbe dare una mano?

ecco il testo:

Determinare le curve di equazione y=f(x) la cui tangente in un punto P(x;y) incontra gli assi cartesiani nei punti M, N in modo che P sia il punto medio del segmento MN



vi dico fino a dove sono arrivato io...

M(x1;y1) e N(x2;y2)

P essendo il punto medio del segmento MN ha coordinate (x1+x2)/2 e (y1+y2)/2

se mi calcolo il coefficiente angolare della retta passante per MN mi trovo la derivata delle curve particolarizzata in P... da li in poi nn saprei come proseguire per ritornare alla derivata nn particolarizzata in P per poi fare l'integrale e trovarmi le eq. delle curve...


ps: la prof mi ha suggerito di usare le eq differenziali...

[AleX_ZeTa]

O_o

mi sembra tutt'altro che banale come esercizio... di curve ce ne sono certamente infinite con quelle caratteristiche. Il problema è vedere se si riesce a caratterizzarle in qualche modo.

direi che tutte le serie di potenze generate nel punto P con derivata prima "corretta" e traslate nel modo giusto funzionano... per intenderci è come se sviluppassi con Taylor una funzione in quel punto, solo che le derivate successive alla prima possono assumere qualsiasi valore. Devi solo mettere come f(x_P) = y_P
e f'(x_P) = coeff. angolare della retta tangente

in questo modo dovresti aver generato tutte le funzioni analitiche che soddisfano le condizioni del problema. Hai il tuo bello spazio vettoriale di dimensione infinita generato dai termini della serie di potenze.

Restano quelle non analitiche^^ che tra l'altro lontano dal punto possono fare assolutamente quello che vogliono. Ho qualche dubbio che ci sia una soluzione diversa da dire che sono tutte e sole le funzioni che passano per il punto e che nel punto hanno derivata prima = coeff. angolare.

Le eq. differenziali non vedo come possano entrare... hai solo delle condizioni relative al punto, non sai nulla sulla funzione altrove.

[joden]

mi sa che lo devo rileggere con calma per capirci qualcosa in più... i vettori se nn ricorda male nn li ho mai fatti (a matematica)...

con derivata prima corretta intendi dire la derivata prima particolarizzata in P? per potenza di P cosa intendi?



ps: sono in quinta superiore...

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da joden

Determinare le curve di equazione y=f(x) la cui tangente in un punto P(x;y) incontra gli assi cartesiani nei punti M, N in modo che P sia il punto medio del segmento MN



vi dico fino a dove sono arrivato io...

M(x1;y1) e N(x2;y2)

P essendo il punto medio del segmento MN ha coordinate (x1+x2)/2 e (y1+y2)/2

A questo punto, diciamo che M sta sull'asse delle ordinate ed N su quello delle ascisse: allora x1=y2=0, x2=2x e y1=2f(x) (ricorda che P giace sulla curva di equazione y=f(x)).
E qui dovrebbe essere sufficiente, come hai detto tu, imporre che la retta passante per M ed N sia la retta di coefficiente angolare f'(x) che passa per il punto (x,f(x)) --- il che porta a un'equazione differenziale del primo ordine, come ti ha ben suggerito la tua professoressa.
Solo che qui mi ci vuole carta e penna...

[joden]

Originariamente inviato da Ziosilvio

A questo punto, diciamo che M sta sull'asse delle ordinate ed N su quello delle ascisse: allora x1=y2=0, x2=2x e y1=2f(x) (ricorda che P giace sulla curva di equazione y=f(x)).
E qui dovrebbe essere sufficiente, come hai detto tu, imporre che la retta passante per M ed N sia la retta di coefficiente angolare f'(x) che passa per il punto (x,f(x)) --- il che porta a un'equazione differenziale del primo ordine, come ti ha ben suggerito la tua professoressa.
Solo che qui mi ci vuole carta e penna...

hai uno scanner? per favore ne ho assoluto bisogno... sono sicuro che me lo chiederà nell'ultima interrogazione di quest'anno e mancano pochi giorni alla fine...


edit: forse ci sono riuscito... l'eq delle curve dovrebbe essere quella nella foto... giusto?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da joden

forse ci sono riuscito... l'eq delle curve dovrebbe essere quella nella foto... giusto?

Mi sa di no... a me viene molto piu' semplice...
Ma le hai fatte quelle sostituzioni che ti ho detto? Dall'immagine sul mio monitor non si capisce molto, non e' che puoi scriverla in puro testo, magari tra due tag CODE?

[joden]

praticamente mi sono andato a trovare la retta passante per il punto P con coefficiente angolare m... Poi ho sostiuito ad m il coefficiente angolare della retta passante per M ed N... e qui so che la retta che ho trovato è praticamente la derivata prima dell'eq delle curve... quindi mi è bastato integrare e trovare la primitiva...

sto verificando di nn aver fatto qualche errore nel fare i calcoli...

[joden]

ho riguardato quello che avevo fatto ed è sbagliato...

[joden]

up..

[AleX_ZeTa]

ma quella condizione deve valere per TUTTI i punti o solo per un punto P? Se vale per uno solo, come ti ho già detto, ce ne sono infinite. Se vale per tutti i punti allora è la soluzione y(x) del sistema di eq. differenziali:

x = (-y + y' x) / (2y')

y = (-y'x + y) / 2

la soluzione non l'ho calcolata... ma non mi pare troppo brutto come sistema... ha una sorta di "simmetria"

[joden]

dovrebbe così... solo che mi sono accorto che ho lasciato un meno... e quindi viene e^-ln|x| e quindi risultato finale |1/x|*K...

[BananaFlanders]

Originariamente inviato da joden

dovrebbe così... solo che mi sono accorto che ho lasciato un meno... e quindi viene e^-ln|x| e quindi risultato finale |1/x|*K...

Scusa, sarò che sono fuso dopo gli esami, ma un esponenziale di un ln in questo caso non fa x invece che 1/x?

Ovviamente non ha senso y=kx, invece ne ha y=k/x (che è una iperbole).

Vorrei spiegazioni!!!

[joden]

Originariamente inviato da BananaFlanders

Scusa, sarò che sono fuso dopo gli esami, ma un esponenziale di un ln in questo caso non fa x invece che 1/x?

Ovviamente non ha senso y=kx, invece ne ha y=k/x (che è una iperbole).

Vorrei spiegazioni!!!

è -ln... mi sono dimenticato un -... lo scritto anche sopra...

[BananaFlanders]

Originariamente inviato da joden

è -ln... mi sono dimenticato un -... lo scritto anche sopra...

Vero, mi è venuto in mente dopo.