Simpatico quesito sulle probabilità

[Sberloz]

Il quesito è il seguente:
Hai davanti 3 porte chiuse, e sai che dietro una di esse si cela un'automobile, mentre dietro ognuna delle altre 2 si cela una capra. Devi scegliere quale porta aprire, e vincerai ciò che vi trovi.
Una volta che hai fatto la tua scelta, ma ancora non hai aperto la porta, io (che so esattamente cosa si cela dietro ogni porta) apro una delle due porte che nascondono una capra. A questo punto ti chiedo se vuoi cambiare la scelta che hai fatto o se vuoi effettivamente aprire la porta precedentemente scelta.
Cambiando la scelta, le tue probabilità di vincere l'automobile aumentano, diminuiscono o rimangono inalterate?

Magari postate anche il ragionamento che avete fatto per arrivare alla soluzione che proponete...
Prego chi già conosce la soluzione di tacere, o al limite di postarla sotto spoiler.

[soulinafishbowl]

Anedottica:
La cosa divertente di questo quesito e' che (cito a memoria...) e' stato proposto per la prima volta in america da una tipa famosa che faceva la sensitiva o qualcosa del genere in tv e che e' stata inizialmente insultata da molti sedicenti esperti del campo. Dopodiche' hanno dovuto ammettere che aveva ragione lei.

Giusto per ricordare che almeno in matemetica non vale il principio di autorita'...

PS: gran bel quesito, comunque.

[danny2005]

Edit ragionato al contrario...

Spoiler:

se cambio le mie probabilità aumentano; passano da una su tre a due su tre

[MaxArt]

Per capire in maniera intuitiva il perché della risposta qui sopra, provate ad immaginare che...

Spoiler:

... invece ci tre porte ce ne siano 1000... E che il conduttore ne apra 998.

[Sberloz]

Originariamente inviato da danny2005

Spoiler:

Come mai affermi che le tue probabilità iniziali erano 2 su 3?

[MaxArt]

'Azz, ma che risposta ha dato Danny?
La mia giustifica l'esatto contrario!

C'è un errore evidente, non solo nel ragionamento:

Spoiler:

2/3 + 1/2 fa più di 1... Non è possibile.

[RiccardoS]

Originariamente inviato da danny2005

Edit ragionato al contrario...

Originariamente inviato da MaxArt

'Azz, ma che risposta ha dato Danny?
La mia giustifica l'esatto contrario!

ah ecco mi pareva! di probabilità non ci capisco un kaiser, ma mi sembrava che qualcosa non filasse...

cmq... non è molto chiara la domanda... le probabilità di trovare l'auto sono 1/3 all'inizio e 1/2 dopo che sberloz ha aperto una porta con dietro la capra. se a questo punto cambio scelta, la mia probabilità di trovare un auto resta sempre 1/2.
ovvero... sono maggiori rispetto alla situazione iniziale (1/3), ma le stesse rispetto alla situazione dopo l'apertura della porta (1/2).

[TonyManero]

Originariamente inviato da soulinafishbowl

Anedottica:
La cosa divertente di questo quesito e' che (cito a memoria...) e' stato proposto per la prima volta in america da una tipa famosa che faceva la sensitiva o qualcosa del genere in tv e che e' stata inizialmente insultata da molti sedicenti esperti del campo. Dopodiche' hanno dovuto ammettere che aveva ragione lei.

Giusto per ricordare che almeno in matemetica non vale il principio di autorita'...

PS: gran bel quesito, comunque.

Questo non mi risulta... più che altro questo è il famoso "Paradosso del condannato a morte (o prigioniero)" che chissà a quando risale...

Tra l'altro occhio che c'è il concetto di probabilità condizionata... quindi la soluzione è facile ma non così lineare come può apparire... si rifletta sul fatto che quando viene aperta la porta con dietro la capra non si ha niente di nuovo... infatti che dietro ad almeno una delle due porte restanti c'era una capra lo si sapeva di per certo...

[Sberloz]

Bhè certo che il quesito non me lo sono inventato io, è una cosa abbastanza nota ed è stata anche oggetto di uno show in america tempo addietro...

Rispondo a RiccardoS: nella domanda si richiede se le tue probabilità di trovare l'auto cambiano (se sì, in più o in meno) se cambi porta dopo che io ho aperto una porta con la capra RISPETTO alle probailità che avevi all'atto della tua prima scelta, fatta a porte tutte chiuse...

[pietro84]

Originariamente inviato da Sberloz

Il quesito è il seguente:
Hai davanti 3 porte chiuse, e sai che dietro una di esse si cela un'automobile, mentre dietro ognuna delle altre 2 si cela una capra. Devi scegliere quale porta aprire, e vincerai ciò che vi trovi.
Una volta che hai fatto la tua scelta, ma ancora non hai aperto la porta, io (che so esattamente cosa si cela dietro ogni porta) apro una delle due porte che nascondono una capra. A questo punto ti chiedo se vuoi cambiare la scelta che hai fatto o se vuoi effettivamente aprire la porta precedentemente scelta.
Cambiando la scelta, le tue probabilità di vincere l'automobile aumentano, diminuiscono o rimangono inalterate?

Magari postate anche il ragionamento che avete fatto per arrivare alla soluzione che proponete...
Prego chi già conosce la soluzione di tacere, o al limite di postarla sotto spoiler.

edit: correggo la risposta... pensandoci meglio il ragionamento che avevo fatto prima è sbagliato. cambiando scelta le probabilità di vincere aumentano perchè la probabilità che la porta non venga aperta perchè l'ho scelta e c'è la capra è maggiore della probabilità che la porta non venga aperta perchè contiene la macchina.

[TonyManero]

Formulato in altra maniera:

Ad Aldo, Beppe e Carlo, tre prigionieri condannati a morte, viene comunicato che il giorno dopo uno di loro, già scelto, sara' impiccato mentre gli altri due saranno liberati.
Aldo chiede al giudice di dirgli il nome dello sfortunato che sarà impiccato e questi, impietosito della sua situazione, gli risponde 'Non posso dirti chi sara' impiccato ma sappi che tra i tuoi due compagni di cella Carlo e' uno dei due che saranno liberati!".
Mentre Carlo che ha udito inizia a festeggiare Aldo si dispera perché ora la scelta del condannato è solo tra Aldo e Beppe.
Sapendo che il guardiano ha detto il vero e che ovviamente le probabilità iniziali di essere impiccati erano 1/3 per ciascun prigioniero, quale sono ora le probabilità che ciascuno ha di essere impiccato?

[RiccardoS]

Originariamente inviato da Sberloz

Rispondo a RiccardoS: nella domanda si richiede se le tue probabilità di trovare l'auto cambiano (se sì, in più o in meno) se cambi porta dopo che io ho aperto una porta con la capra RISPETTO alle probailità che avevi all'atto della tua prima scelta, fatta a porte tutte chiuse...

bè... io ho risposto ad entrambi i casi

[Sberloz]

Vorrei sottolineare che la domanda non costituisce un paradosso, nel senso che non conduce ad una contraddizione logica. Semplicemente la risposta è controintuitiva, come dimostrano le risposte arrivate... diciamo che la maggior parte finora ha detto GIUSTAMENTE che le probabilità aumentano, ma nessuno ha ancora tirato fuori il corretto valore della probabilità che si ha di vincere cambiando scelta...
Ok, 1/3 è la probabilità di vincere a porte chiuse, ma 1/2 non è la probabilità di vincere cambiando scelta...

[pietro84]

Originariamente inviato da Sberloz

Vorrei sottolineare che la domanda non costituisce un paradosso, nel senso che non conduce ad una contraddizione logica. Semplicemente la risposta è controintuitiva, come dimostrano le risposte arrivate... diciamo che la maggior parte finora ha detto GIUSTAMENTE che le probabilità aumentano, ma nessuno ha ancora tirato fuori il corretto valore della probabilità che si ha di vincere cambiando scelta...
Ok, 1/3 è la probabilità di vincere a porte chiuse, ma 1/2 non è la probabilità di vincere cambiando scelta...

aspetta.. ho tirato fuori una impostazione formale, ora la metto in ordine e la posto

[pietro84]

teorema di Bayes
P(A|B)= (P(B|A)*P(A)) / P(B)

ci interessano le seguenti probabilità:

P(Auto|porta scelta rimasta chiusa)
P(Auto|porta non scelta rimasta chiusa)

abbiamo che:

P(porta rimasta chiusa|Auto)=1 perchè tu non apri mai la porta con l'auto
P(porta rimasta chiusa|capra)=1 perchè tu non apri mai la porta che scelgo

P(capra)=2/3
P(auto)=1/3

quindi, facendo due conti

P(Auto|porta scelta rimasta chiusa)= (P(porta rimasta chiusa|Auto) * P(Auto))/ x=
= 1 * 1/3 /1

x=P(porta scelta rimasta chiusa)=1

quindi riassumendo se non cambio scelta ho :

P(Auto|porta scelta rimasta chiusa)= 1/3

se cambio scelta ho:

P(Auto| porta non scelta rimasta chiusa)= P( porta non rimasta chiusa|Auto)*P(auto)/P(porta non scelta rimasta chiusa)= 1*1/3 * 2 = 2/3


in quanto P(porta non scelta rimasta chiusa)=1/2 dato che una delle due porte non scelte inizialmente viene aperta

[dsx2586]

L L Numb3rs rulez

[TriacJr]

O non ho capito o mi sembra una boita. Probabile la prima.

Le probabilità sono sempre le stesse, sia che io cambi che non cambi.

All'inizio la probabilità di trovare l'auto è 1/3. Quando si apre la porta non mi porta nessuna nuova informazione, perchè è certo che ci sia sempre una porta che non ho scelto con dietro la capra (qualsiasi sia la scelta iniziale).

Dopo che la porta è aperta ho 1/2 di probabilità di trovare la macchina, sia se cambio scelta che se la mantengo.

La cosa più interessante sarebbe discutere se all'inizio ho 1/2 di probabilità o 1/3, ma penso si tratti più di nozionistica che di altro.

Correggetemi se sbaglio, ma se ho capito la domanda non vedo dov'è il provlema

EDIT: ho letto le risposte seguenti di Sberloz: la domanda posta nel primo post chiede se cambiando la scelta le probabilità aumentano. La risposta in tal caso è no. Se invece vuoi sapere se la probabilità è 1/3 o 1/2... non lo so. So solo che è costante nelle due situazioni, per quanto visto sopra.

[pietro84]

sono 1/3 e 2/3 le probabilità ripettivamente di vincere non cambiando scelta e cambiando scelto, spero sia corretto perchè ho fatto una faticaccia con i conti
cmq bel quesito, complimenti

[dsx2586]

Spoiler:

http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

[razziadacqua]

Vi odio!

Quando avevo bisogno URGENTEMENTE io di aiuto sulle probabilità per un esame,MANCO mezzo cane si era degnato di aiutarmi,manco nell apposito 3D di matematica,ed invece in meno di una settimana 2 discussioni a riguardo e tutti a seguire!
vi odio e vi riodio,ringraziate che l esame di statistica alla fine l'ho superato per grazia ricevuta se no vi cercavo uno per uno...e quante probabilità avreste avuto di essere stati i primi ad esser fatti fuori?