telai tecnica delle costruzioni

[right on]

si sono ancora (purtroppo) alle prese con quest'esame.
come faccio a capire quanti gradi di libertà ha un nodo in un telaio PIANO?
ad esempio: quanti gradi di libertà ha il dodo "C"? 2 ma perchè?

[IMG][/IMG]

[Northern Antarctica]

Originariamente inviato da right on

si sono ancora (purtroppo) alle prese con quest'esame.
come faccio a capire quanti gradi di libertà ha un nodo in un telaio PIANO?
ad esempio: quanti gradi di libertà ha il dodo "C"? 2 ma perchè?

[IMG][/IMG]

allora, premesso che vado molto a memoria (roba di 15 anni fa) ti dico che:

se in un sistema olonomo come quello raffigurato hai n elementi, in genere hai 3n gradi di libertà.

Ci sono poi i vincoli (ovviamente olonomi anch'essi), che tolgono vari gradi di libertà:

- un appoggio ne toglie 1
- una cerniera ne toglie 2
- un incastro ne toglie 3

Ora, a me sembra che nel sistema ci siano due elementi incernierati in B, con un incastro nel punto A ed un appoggio nel punto C.

Abbiamo quindi 2 (B) + 3 (A) + 1 (C) = 6 vincoli

dato che gli elementi sono n = 2, allora 3n = 6

e la struttura è isostatica, dato che il numero dei vincoli eguaglia quello dei gradi di libertà del sistema.

Non capisco invece il concetto di "grado di libertà del nodo"

[right on]

la struttura in A e B è incastrata a terra, quindi 3 gradi di vincolo sia per A che per B. in C non c'è alcun vincolo ma solo una coppia applicata ed un carico concentrato. il sistema è dunque 3 volte iperstatico. il mio problema è capire perchè il punto C (o nodo) può muoversi verticalmente e può ruotare, in questo senso ha 2 gradi di libertà e di conseguenza andare ad imporre l'equilibrio alla traslazione verticale ed alla rotazione del solo punto C (fase terminale del metodo degli spostamenti)

[ironmanu]

Originariamente inviato da right on

la struttura in A e B è incastrata a terra, quindi 3 gradi di vincolo sia per A che per B. in C non c'è alcun vincolo ma solo una coppia applicata ed un carico concentrato. il sistema è dunque 3 volte iperstatico. il mio problema è capire perchè il punto C (o nodo) può muoversi verticalmente e può ruotare, in questo senso ha 2 gradi di libertà e di conseguenza andare ad imporre l'equilibrio alla traslazione verticale ed alla rotazione del solo punto C (fase terminale del metodo degli spostamenti)

allora messa così nn è molto chiara...
cosa intendi con metodo degli spostamenti?
se è un telaio piano (inteso come quando si parla di elementi finiti) allora quel nodo ha 3 gdl,le 2 trasl + la rotazione.
nel caso del metodo degli spostamenti (che differisce da quello degli elementi finiti per il semplice fatto che si calcola la matrice di rigidezza direttamente di tutta la struttura ma per il resto è identico) dovresti dire se consideri o meno infinita la rigidezza assiale delle aste.

[right on]

il metodo degli spostamenti come lo hanno spiegato a me è anche conosciuto in scienza delle costruzioni come metodo delle deformazioni: tra tutte le configurazioni che un sistema di aste comunque caricato può assumere, vado a considerare l'unica equilibrata. "duale" di questo metodo in scienza delle costruzioni è il metodo delle forze o della congruenza: tra tutte le configurazioni equilibrae vado a considerare l'unica congruente. in ogni caso, per il principio di Kirchoff, la soluzione è unica. in pratica sono due metodi che in scienza delle costruzioni vengono usati per risolvere una struttura iperstatica. l'impiego del primo o del secondo metodo od anche dell'ulteriore Principio dei lavori virtuali dipende dal caso, cioè utilizzo il metodo che comporta meno conti. fin qui abbiamo parlato di Scienza delle costruzioni pura.
in tecnica delle costruzioni invece per la risoluzione dei telai si usa sempre il metodo degli spostamenti ma è un po diverso da quello di Scienza delle costruzioni:
in un sistema di aste prima vado a trovarmi per ogni asta il vettore dei momenti d'incastro perfetto (composto da 6 elementi: 3 reazioni per ogni estremità dell'asta), poi per ogni asta vado a scrivere la matrice di rigidezza.
il vettore delle reazioni reali che alla fine otterrò per ogni asta mi restituirà il valore della reazione verticale , orizzontale e rotazionale di ogni estremità e ciò sarà dato da:
[vettore soluzione] = [V] + [R]*[vettore delle coordinate dell'asta]
dove
[V] è il vettore dei momenti d'incastro perfetto
[R] è la matrice di rigidezza

di conseguenza alla fine otterrò per ogni estremità dell'asta confluente nel nodo 3 reazioni. l'equilibrio alla traslazione verticale del nodo C dunque sarà dato dalla somma delle reazioni verticali di estremità dell'asta AC e dell'asta BC. stesso discorso per la traslazione verticale e per la rotazione. ciò che non capisco è perchè già a priori io posso sapere che per il nodo C alla fine otterrò solo due equazioni di equilibrio, uno alla rotazione ed uno alla traslazione verticale. dipende da carico?

ho cercato di farla più semplice possibile. spero di non aver peggiorato la situazione. in ogni caso grazie.

[maxsanty]

Originariamente inviato da right on

il metodo degli spostamenti come lo hanno spiegato a me è anche conosciuto in scienza delle costruzioni come metodo delle deformazioni: tra tutte le configurazioni che un sistema di aste comunque caricato può assumere, vado a considerare l'unica equilibrata. "duale" di questo metodo in scienza delle costruzioni è il metodo delle forze o della congruenza: tra tutte le configurazioni equilibrae vado a considerare l'unica congruente. in ogni caso, per il principio di Kirchoff, la soluzione è unica. in pratica sono due metodi che in scienza delle costruzioni vengono usati per risolvere una struttura iperstatica. l'impiego del primo o del secondo metodo od anche dell'ulteriore Principio dei lavori virtuali dipende dal caso, cioè utilizzo il metodo che comporta meno conti. fin qui abbiamo parlato di Scienza delle costruzioni pura.
in tecnica delle costruzioni invece per la risoluzione dei telai si usa sempre il metodo degli spostamenti ma è un po diverso da quello di Scienza delle costruzioni:
in un sistema di aste prima vado a trovarmi per ogni asta il vettore dei momenti d'incastro perfetto (composto da 6 elementi: 3 reazioni per ogni estremità dell'asta), poi per ogni asta vado a scrivere la matrice di rigidezza.
il vettore delle reazioni reali che alla fine otterrò per ogni asta mi restituirà il valore della reazione verticale , orizzontale e rotazionale di ogni estremità e ciò sarà dato da:
[vettore soluzione] = [V] + [R]*[vettore delle coordinate dell'asta]
dove
[V] è il vettore dei momenti d'incastro perfetto
[R] è la matrice di rigidezza

di conseguenza alla fine otterrò per ogni estremità dell'asta confluente nel nodo 3 reazioni. l'equilibrio alla traslazione verticale del nodo C dunque sarà dato dalla somma delle reazioni verticali di estremità dell'asta AC e dell'asta BC. stesso discorso per la traslazione verticale e per la rotazione. ciò che non capisco è perchè già a priori io posso sapere che per il nodo C alla fine otterrò solo due equazioni di equilibrio, uno alla rotazione ed uno alla traslazione verticale. dipende da carico?

ho cercato di farla più semplice possibile. spero di non aver peggiorato la situazione. in ogni caso grazie.

Edit:
Commento inutile.
avete già risposto a tutto.

Bye
m.

[CRL]

Il nodo C nel piano ha 3 gradi di libertà, che sono lo spostamento orizzontale, verticale, e la rotazione.
Se fossimo in 3D lo stesso nodo potrebbe muoversi in 3 direzioni, più ruotare intorno a 3 assi, quindi avrebbe in tutto 6 gradi di libertà.
Il procedimento detto da Northern Antarctica si fa così:
posto che in quel telaio ci sono 3 nodi, ognuno dei quali in 2D ha 3 gdl, e posto che l'incastro toglie 3 gdl al nodo, perchè impedisce due spostamenti ed una rotazione, il numero totale di gradi di libertà del sistema è 3x3-3x2=3.

- CRL -

[ironmanu]

Originariamente inviato da right on

il metodo degli spostamenti come lo hanno spiegato a me è anche conosciuto in scienza delle costruzioni come metodo delle deformazioni: tra tutte le configurazioni che un sistema di aste comunque caricato può assumere, vado a considerare l'unica equilibrata. "duale" di questo metodo in scienza delle costruzioni è il metodo delle forze o della congruenza: tra tutte le configurazioni equilibrae vado a considerare l'unica congruente. in ogni caso, per il principio di Kirchoff, la soluzione è unica. in pratica sono due metodi che in scienza delle costruzioni vengono usati per risolvere una struttura iperstatica. l'impiego del primo o del secondo metodo od anche dell'ulteriore Principio dei lavori virtuali dipende dal caso, cioè utilizzo il metodo che comporta meno conti. fin qui abbiamo parlato di Scienza delle costruzioni pura.
in tecnica delle costruzioni invece per la risoluzione dei telai si usa sempre il metodo degli spostamenti ma è un po diverso da quello di Scienza delle costruzioni:
in un sistema di aste prima vado a trovarmi per ogni asta il vettore dei momenti d'incastro perfetto (composto da 6 elementi: 3 reazioni per ogni estremità dell'asta), poi per ogni asta vado a scrivere la matrice di rigidezza.
il vettore delle reazioni reali che alla fine otterrò per ogni asta mi restituirà il valore della reazione verticale , orizzontale e rotazionale di ogni estremità e ciò sarà dato da:
[vettore soluzione] = [V] + [R]*[vettore delle coordinate dell'asta]
dove
[V] è il vettore dei momenti d'incastro perfetto
[R] è la matrice di rigidezza

di conseguenza alla fine otterrò per ogni estremità dell'asta confluente nel nodo 3 reazioni. l'equilibrio alla traslazione verticale del nodo C dunque sarà dato dalla somma delle reazioni verticali di estremità dell'asta AC e dell'asta BC. stesso discorso per la traslazione verticale e per la rotazione. ciò che non capisco è perchè già a priori io posso sapere che per il nodo C alla fine otterrò solo due equazioni di equilibrio, uno alla rotazione ed uno alla traslazione verticale. dipende da carico?

ho cercato di farla più semplice possibile. spero di non aver peggiorato la situazione. in ogni caso grazie.

Allora ci ho pensato un po' e ho concluso che risulta comprensibile che i gradi di libertà siano 2. Non c'entra nulla col metodo delle deformazioni in sè ma dipende solo dalla particolare struttura e carico applicato.
Si tratta infatti di una struttura simmetrica caricata in modo antimetrico.Dunque le caratteristiche di sollecitazione e le deformazioni devono essere antimetriche passando da una parte all'altra dell'asse di simmetria(orizzontale per C).
Da questo si deriva poi il fatto che le uniche deformazioni antimetriche per il punto C(che appartiene all'asse di simmetria) che rispettano anche la congruenza del vincolo interno i continuità in C,sono la rotazione e la traslazione verticale.
Una eventuale traslaz. orizzontale nn rispetta la congruenza in quanto se il punto c pensato appartenente al tronco superiore trasla ad esempio a destra ,la stessa sezione pensata appartenente al tronco superiore traslerà a sinistra
(deve farlo per la contizione di antimetria) "spezzando" la struttura infrangendo la congruenza.

In generale in una struttura qualsiasi nn è semplice determinare a priori i gdl nodali a meno che nn stiano sull'asse di simmetria.

[CRL]

In realtà se vediamo il problema ruotato di 45° e scomponiamo la forza nelle due componenti abbiamo un classico telaio con 2 forze ed una coppia applicate al nodo libero.
E' il tipico problema a 3 gradi di libertà, non vedo ragione per cui quel nodo non debba spostarsi sia in verticale che in orizzontale, oltre che ruotare, e quindi avere tutte e 3 le componenti anche nel problema ruotato.
Poi che nel calcolo si possa dividere in due la struttura, sfruttare la congruenza per vincolare un grado di libertà, e risolvere ognuno dei due sistemi col restante grado di libertà, è un altro discorso...

Allego un'immagine del telaio ruotato.

- CRL -

[ironmanu]

Originariamente inviato da CRL

In realtà se vediamo il problema ruotato di 45° e scomponiamo la forza nelle due componenti abbiamo un classico telaio con 2 forze ed una coppia applicate al nodo libero.
E' il tipico problema a 3 gradi di libertà, non vedo ragione per cui quel nodo non debba spostarsi sia in verticale che in orizzontale, oltre che ruotare, e quindi avere tutte e 3 le componenti anche nel problema ruotato.
Poi che nel calcolo si possa dividere in due la struttura, sfruttare la congruenza per vincolare un grado di libertà, e risolvere ognuno dei due sistemi col restante grado di libertà, è un altro discorso...

Allego un'immagine del telaio ruotato.

- CRL -

Nn sono assolutamente d'accordo.
Intanto la struttura da te postata nn è più caricata come quella di partenza nella quale nessuna asta è caricata secondo la normale come invece hai fatto te.
Al limite se nn ti va di fare i conti ma hai Ansys o strauss fai la simulazione e guarda un po' che succede(magari la faccio e poi posto).
Inoltre nn è che "sfrutto la congruenza" per vincolare un gdl,essa deve valere a prescindere sennò tanto vale che gli faccia fare gli sposatmenti che voglio.E la proprietà fondamentale che consente di aumentare il numero di equazioni disponibili quando il sistema è iperstatatico e le 3 della statica(per problemi piani) nn sono più sufficenti a trovare la soluzione.Di soluzioni equilibrate a questo problema postato sopra ve ne sono infinite ma solo una è quella congruente con i vincoli imposti,siano essi esterni o interni (comee la continuità che è sfruttata proprio dalla simmetria)

insomma nn è che "nn ci siano 3gdl",ci sono ma uno è "bloccato dalla simmetria ed è come se nn ci fosse risultando nullo.

[ironmanu]

ecco la struttura risolta con ansys.
le due estremità in basso sono incastrate ed il vertice caricato con una coppia oraria ed una forza parallela alla direzione orizzontale.
nel vertice ho plottato la componente di spostamento ortogonale alla direzione della forza applicata che risulta nulla.(cvd)

[ironmanu]

porca vacca nn si vede la deformata....

[CRL]

Posto che le due forze che ho disegnato sono uguali, se le componi ottieni quella che hai tu. il problema è analogo. Sulle considerazioni sulla validità della conguenza e sul resto, sono pienamente d'accordo.
L'ho fatto al volo con SAP, ed ottengo tutte e tre le componenti di spostamento:



Ho usato le forze come le ho messe io, ma uguali in modulo, in modo da avere come risultante la tua.

- CRL -

[ironmanu]

Originariamente inviato da CRL

Posto che le due forze che ho disegnato sono uguali, se le componi ottieni quella che hai tu. il problema è analogo. Sulle considerazioni sulla validità della conguenza e sul resto, sono pienamente d'accordo.
L'ho fatto al volo con SAP, ed ottengo tutte e tre le componenti di spostamento:



Ho usato le forze come le ho messe io, ma uguali in modulo, in modo da avere come risultante la tua.

- CRL -

edit,
a questo punto nn mi capisco molto (in realtà mi capisco benissimo ma mi metto in dubbio),a me è venuto un risultato completamente diverso con ansys solo che nn si vede la deformata,cazzio nel bitmap si vede,quando passo in jpeg sparisce

ci stimao inghippando ma nn capisco dove.
da punto di vista teorico nn mi pare di sbagliare,mah.....

[ironmanu]

ok,ho capito l'inghippo.
Allora la cosa è molto semplice e da ragione ad entrambi però ne da + a me( )

se fai la composizione delle componenti di spostamento che hai ottenuto con sap
e ruoti il sistema ottenuto (deformata) in modo da sovrapporlo a quello dato dal nostro amico noterai che questo spostamento avviene solo nella direzione verticale e nn orizzintale.

Il nostro amico parlava di 2 soli gdl per C NEL SUO SISTEMA DI RIFERIMENTO nn nel tuo!

quello che dicevo io invece rimene SEMPRE vero( ).infatti nella direzione dell'asse di simmetria della struttura lo spostamento del nodo c(e nn sue componenti)è nullo.Infatti nella tua soluzione con sap guarda lo spostamento di c lungo la retta inclinata di 45° asse di simmetria della struttura....
il fatto è che nel sistema del nostro amico il caso ha voluto che l'asse di simmetria fosse coincidente con la direzione orizzontale --> componente orizzontale nulla.se invece ruoti il sistema la direzione del moto cambia ma l'orizzontale per noi no!
contento?

[CRL]

OK, trovato il mistero...

Abbiamo ragione forse entrambi, solo che io lo vedevo ruotato...
Nel sistema come l'ho fatto io, le cui forze, componendosi, fanno quella iniziale, gli spostamenti come si legge sopra sono uguali in modulo, ed infatti il punto si muove a 45° verso il basso a destra, come si vede. Quindi ruotando il sistema come era originariamente si muove solo verticalmente, mentre nel mio sistema ruotato si muove di tutte e due le componenti.
Insomma, abbiamo fatto lo stesso problema, il mio fornisce due componenti di spostamento x e z che se ricomposte formano un vettore spostamento che è verticale, nel sistema orizzontale.

- CRL -

[CRL]

...me ne sono accorto anche io ora, non avevo letto la tua...

- CRL -

[ironmanu]

Originariamente inviato da CRL

...me ne sono accorto anche io ora, non avevo letto la tua...

- CRL -

beh dai bene,bello pero'!Sti chezzo di sist. di riferimento relativi
il fatto che + m'ho dato da pensare è stata la domanda del nostro amico
"come faccio a vedere a priori che si muove solo in verticale?"
L'unico sistema che mi consentiva di vederlo subito era la simmetria,per quello l'ho tirata fuori!

[CRL]

Carino infatti!
Devo dire che mi ci ero incastrato, l'avevo rifatto nel vostro verso e veniva verticale, tutte le mie certezze stavano vacillando, a partire da come si scompone una forza...

Comunque:

...il bello è che stiamo a fa tutto da soli, il proprietario del thread non ci fila proprio...

- CRL -

[ironmanu]

Originariamente inviato da CRL

Carino infatti!
Devo dire che mi ci ero incastrato, l'avevo rifatto nel vostro verso e veniva verticale, tutte le mie certezze stavano vacillando, a partire da come si scompone una forza...

Comunque:

...il bello è che stiamo a fa tutto da soli, il proprietario del thread non ci fila proprio...

- CRL -

eeee vabbè,gianniiiiii.....