[Official Thread]Richieste d'aiuto in MATEMATICA: postate qui!

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da xxxyyy

Qualcuno riuscirebbe a dimostrare la converegenza uniforme di sta serie?



Grazie!

Uhm... non è che vuol conoscere l'insieme di convergenza uniforme in funzione del parametro a?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da misterx

ciao,
ecco l'esercizio:

     { 2^x     se caso1: x>=0, caso2: x>=1, caso3: x>= -1
f(x)={
     { 3^x     se caso1: x<0,  caso2: x<1,  caso3: x< -1

sono in tutto tre casi

quello di cui si discuteva era il caso 3 cioè quando 2^x ha x>=-1 e 3^x ha x<-1

Per il caso 2 la funzione non è biunivoca mentre nel caso 3 è biunivoca ma non sutiettiva per via di un buco tra l'intervallo che ho postato in precedenza ma nonostante questo fatto, la funzione è invertibile.

Detto questo, allora la proprietà di essere biunivoca non è fondamentale per dire che una funzione è invertibile in quanto è sufficiente ignorare il "buco".

ciao

Dunque, allora, vediamo:
Qui il trucco è che, se 0<a<b, allora a^x è minore di b^x se x è positivo, ma è maggiore se x è negativo.
Per cui, con una funzione definita a tratti, ci potrebbe essere un salto "in su" o "in giù" a seconda di dov'è il punto di interruzione.

Caso 1: il punto di interruzione è x0=0.
Qui nessun problema, la funzione risultante è continua e monotona strettamente crescente, quindi invertibile come funzione dal dominio all'immagine.

Caso 2: il punto di interruzione è x0=1.
Allora il limite sinistro è 3 e il limite destro è 2, quindi c'è un "salto in giù" ma la funzione è monotona strettamente crescente in un intorno sinistro e in un intorno destro del punto di salto. Allora la funzione non è invertibile perché c'è un valore che viene assunto due volte, per esempio y=2 viene raggiunto sia per x=1 che per x=(log 2)/(log 3)<1. Nota che (log 2)/(log 3) è il logaritmo in base 3 di 2.

Caso 3: il punto di interruzione è x0=-1.
Allora il limite sinistro è 1/3 e il limite destro è 1/2, quindi c'è un "salto in su" ma la funzione rimane monotona strettamente crescente, quindi iniettiva. Se, come detto poc'anzi, si identifica l'invertibilità con l'iniettività, non ci sono problemi.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da Aldin

La funzione radice di indice pari, va da[0,+oo[->[0,+oo[ dato che è questo l'intervallo di invertibilità della funzione potenza di indice pari. Quando pero' facciamo radq(4) otteniamo 2 e -2. Per definizione -2 non dovrebbe esserci dato che non fa parte del codominio della funzione radice di indice pari. O fa 2 o -2, a seconda che si scelga il ramo destro o quella sinistro della funzione potenza:
http://upload.wikimedia.org/wikipedi..._x%5E2.svg.png

Uhm... su questo problema Bernhard Riemann ci ha costruito un intero ramo della geometria complessa...

Il punto è che, nel contesto delle funzioni reali di variabile reale, la radice n-esima del numero positivo a è quell'unico numero positivo x tale che x^n=a.
Magari esistono altri numeri z, reali o complessi, tali che z^n=a. Ma se si parla di analisi reale, non ci interessano.

[serbring]

ho il seguente sistema di equazioni differenziali



vorrei ricavare la frf del sistema, detto in altre parole xs/u e xu/u. Come posso fare?

[xxxyyy]

Originariamente inviato da Aldin

Mah, potrebbe aiutarti e^(-x)=O(x^(-a)) per x-> +oo e a>0 ?

Originariamente inviato da Lampo89

a è una costante positiva? A me riuscirebbe di dimostrare il contrario, cioè che la serie di funzioni non converge uniformemente, perchè la successione di funzioni non converge uniformemente.
se a è positivo diverso da zero, l'insieme di convergenza della serie di funzioni è [0,+inf), infatti per x negativo nel limite per n->+00 l'esponenziale va all'infinito con segno positivo, mentre l'altro termine con segno negativo; al contrario per x >= 0 va a zero. La successione converge alla funzione nulla per x>= 0.
Per verificare la convergenza uniforme della serie bisogna calcolare il limite per n che tende all'infinito dell'estremo superiore, al variare di x in E [0,+inf), di |fn(x)-f(x)| e controllare se è uguale a 0. ma per ogni n ciascuna funzione dovrebbe avere massimo nel punto x = a/n. di conseguenza :

lim sup |nx*exp(-nx/a)| = lim n->+oo a = a ed è diverso da zero.
poichè la successione di funzioni non converge uniformemente, la serie di funzioni ad essa associata non converge uniformemente, affermazione che si ottiene negando il teorema:
la serie di funzioni di termine generale fn(x) converge unif -> la successione di funzioni fn(x) converge uniformemente.
Non sono certo della correttezza della dimostrazione perchè:
1 probabilmente il testo diceva espressamente che la serie converge uniformemente
2 non studio queste cose da 6 mesi
quindi ti invito di ascoltare il consiglio di persone ben più preparate di me

Originariamente inviato da Ziosilvio

Uhm... non è che vuol conoscere l'insieme di convergenza uniforme in funzione del parametro a?

dovrei riuscire a passare a questo,



ma bisognerebbe appunto dimostrare la convergenza uniforme, o mi sbaglio?

il parametro a e' positivo, non nullo. x e' >=0.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da xxxyyy

dovrei riuscire a passare a questo,



ma bisognerebbe appunto dimostrare la convergenza uniforme, o mi sbaglio?

il parametro a e' positivo, non nullo. x e' >=0.

Sì, il teorema dice che, se

1. la serie converge puntualmente, e
2. la serie delle derivate converge uniformemente

allora la derivata della serie è la serie delle derivate.

Solo che a te serve la convergenza uniforme della serie originale...

Ora, se consideriamo quella:



con x in (0,oo) e a>0, allora il termine generico è un oggetto della forma ne^(-kn) con k>0, quindi sicuramente la serie converge in ogni compatto contenuto in (0,oo).

[|alby|]

esempio:



come si calcola? grazie.

[Parny]

Salve a tutti, ho un problema con un esercizio stupido sui numeri complessi.

Devo trovare:

la I strana è ovviamente la funzione parte immaginaria.

Sò già che le soluzioni sono tutti i punti "sopra" la retta y=x+1 ma dopo vari tentativi non so come arrivarci algebricamente.

Qualcuno ha qualche idea?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da Parny

Salve a tutti, ho un problema con un esercizio stupido sui numeri complessi.

Devo trovare:

la I strana è ovviamente la funzione parte immaginaria.

Sò già che le soluzioni sono tutti i punti "sopra" la retta y=x+1 ma dopo vari tentativi non so come arrivarci algebricamente.

Qualcuno ha qualche idea?

Osserva che la parte immaginaria della frazione, ha lo stesso segno della parte immaginaria (tieniti forte) del prodotto del numeratore per il coniugato del denominatore.
Ossia,



se e solo se



Poni z = x+iy. Allora:



Qual è la parte immaginaria di questo numero?

[Parny]

Grazie mille Ziosilvio

Ma questa proprietà che il segno della parte immaginaria della frazione è uguale al segno della parte immaginaria del numeratore moltiplicato per il coniugato del denominatore da cosa deriva? Vale per tutte le frazioni? (vale anche per la parte reale?)

Cioè da solo non mi sarebbe mai venuta in mente una cosa del genere...

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da Parny

Grazie mille Ziosilvio

Ma questa proprietà che il segno della parte immaginaria della frazione è uguale al segno della parte immaginaria del numeratore moltiplicato per il coniugato del denominatore da cosa deriva? Vale per tutte le frazioni? (vale anche per la parte reale?)

Cioè da solo non mi sarebbe mai venuta in mente una cosa del genere...

Deriva dal semplice fatto che (a+ib)*(a-ib) = a^2+b^2.
Quindi, se moltiplichi sopra e sotto per il coniugato del denominatore, da una parte il numero rimane uguale, dall'altra a denominatore ti ritrovi un numero reale positivo, che non altera il segno.

[|alby|]

Up

[|alby|]

Bump!

[The-Revenge]

Aiuto per algebra lineare :

me ne sono andato in crisi in un esercizio, per quanto riguarda un autovettore. Non capisco come possa succedere.
Allora mi da questa matrice, mi calcolo il polinomio e gli autavalori, fin qui tutto ok. Poi sostituisco ad uno ad uno gli autovalori nella matrice (A-hI) dove h è l'autovalore....e poi risolvo il sistema omogeneo associato. Ebbene, ho 3 autovalori in tutto...per un autavolare , l'autovettore mi esce...per il terzo invece mi esce (0,0,0) quando non deve uscire in quella maniera. Perchè? Ho le soluzioni, e non ho sbagliato niente, infatti un autovettore mi esce...non è che ci sono cose strane da fare? tipo mi esce (0,0,0) perchè non è linearmente indipendete? INfatti ho notato che nell'autovettore che mi esce giusto, il rango della matrice è 3, come il numero delle incognite, invece il rango della matrice che non mi esce, è 2....quindi ci dovrebbe essere 1 variabile libera?

[Aldin]

Magari posti la matrice

[The-Revenge]

Originariamente inviato da Aldin

Magari posti la matrice

ok. La matrice è {(2,0,2),(0,1,0),(2,0,-1)}
dove quell'ordine si riferisce alle colonne...cioè la prima terna tra parentesi è la prima colonna, la seconda è la seconda colonna e la terza è la terza colonna.

Ora facendo il polinomio caratteristico mi escono 3 autovalori, che sono -2, 1 e 3. Con 3 mi esce l'autovettore (2,0,1) che è giusto. Con l'autovalore 1, invece , mi esce l'autovettore (0,0,0) (che non può essere) mentre nella soluzione c'è che deve uscire (0,1,0).
Poi ad esempio nel caso dell'autovalore -2, a me esce una base formata da (1,0,-2) invece nella soluzione è (-1,0,2) non so se questo sia corretto visto che penso sia dovuto a quale variabile prende come punto di riferimento.

[|alby|]

Originariamente inviato da |alby|

esempio:



come si calcola? grazie.

[Aldin]

Originariamente inviato da The-Revenge

ok. La matrice è {(2,0,2),(0,1,0),(2,0,-1)}
dove quell'ordine si riferisce alle colonne...cioè la prima terna tra parentesi è la prima colonna, la seconda è la seconda colonna e la terza è la terza colonna.

Ora facendo il polinomio caratteristico mi escono 3 autovalori, che sono -2, 1 e 3. Con 3 mi esce l'autovettore (2,0,1) che è giusto. Con l'autovalore 1, invece , mi esce l'autovettore (0,0,0) (che non può essere) mentre nella soluzione c'è che deve uscire (0,1,0).
Poi ad esempio nel caso dell'autovalore -2, a me esce una base formata da (1,0,-2) invece nella soluzione è (-1,0,2) non so se questo sia corretto visto che penso sia dovuto a quale variabile prende come punto di riferimento.

p(λ)=[(2-λ)(1-λ)(-1-λ)]-[4(1-λ)]=0
=(2-λ)(1-λ)(-1-λ)-4(1-λ)=0
=(1-λ)[(2-λ)(-1-λ)-4]=0
=(1-λ)[-2-2λ+λ+λλ-4]=0
=(1-λ)(λλ-λ-6)=0
=(1-λ)(λ+2)(λ-3)=0... con λ=1, 3, -2

Infatti viene 0,y,0 lo spazio di λ=1

2  0  2
0  1  0
2  0 -1

che diventa con λ=1

1  0  2
0  0  0
2  0 -2

-2  0 -4
 0  0  0
 2  0  -2

1  0  2
0  0  0
0  0 -6

O meglio:

1  0  2 = 0
0  0  0 = 0
0  0  1 = 0

Rg(A)=2 con 1 parametro libero
ker(A)=n-r=1 vettore soluzione
y è il parametro libero e i vettori soluzione hanno forma:

S1=0
S2=y
S3=0

Se provo a moltiplicare v={0,1,0} con la matrice iniziale mi viene w={0,1,0}

[The-Revenge]

Originariamente inviato da Aldin

p(λ)=[(2-λ)(1-λ)(-1-λ)]-[4(1-λ)]=0
=(2-λ)(1-λ)(-1-λ)-4(1-λ)=0
=(1-λ)[(2-λ)(-1-λ)-4]=0
=(1-λ)[-2-2λ+λ+λλ-4]=0
=(1-λ)(λλ-λ-6)=0
=(1-λ)(λ+2)(λ-3)=0... con λ=1, 3, -2

Infatti viene 0,y,0 lo spazio di λ=1

2  0  2
0  1  0
2  0 -1

che diventa con λ=1

1  0  2
0  0  0
2  0 -2

-2  0 -4
 0  0  0
 2  0  -2

1  0  2
0  0  0
0  0 -6

O meglio:

1  0  2 = 0
0  0  0 = 0
0  0  1 = 0

Rg(A)=2 con 1 parametro libero
ker(A)=n-r=1 vettore soluzione
y è il parametro libero e i vettori soluzione hanno forma:

S1=0
S2=y
S3=0

Se provo a moltiplicare v={0,1,0} con la matrice iniziale mi viene w={0,1,0}

ah ci avevo visto giusto allora....tutto quel fatto che c'era una variabile indipendente, eccetera, non lo davo per scontato..
EDIT : ma quindi nel caso di -2, nella soluzione mi da (-1,0,2) mentre io ho trovato (1,0,-2). E' uguale? tipo che mette in evidenza il meno? fatemi capire

[Aldin]

Viene effettivamente (-1, 0, 2)
Dato che:

2  0  2
0  1  0
2  0 -1

Che con λ=-2 B=A-Iλ è:
4  0  2
0  3  0
2  0  1

2  0  1 = 0
0  1  0 = 0
0  0  0 = 0

Rg(B)=2
dim(ker(B))=n-r=3-2=1
L'incognita z è variabile libera e:

2x=-z, x=-z/2
y=0, y=0
0z=0, z=z

S1=-z
S2=0
S3=2z

O anche v=(-1, 0, 2)


Non importa come lo scrivi, purché sia un multiplo del vettore base.