[HELP] tensore di cauchy e sforzi principali

[Guts]

questa è la spiegazione che c'è sul mio libro, solo che alcuni punti nn riesco proprio a capirli e quindi nn riesco ad andare avanti, anche se sembrerebbero facili, mi date una mano per favore



nella seconda pagina mi dice che
"esiste un piano chiamato PIANO PRINCIPALE per cui il valore TAUn è uguale a zero: lo sforzo che agisce su di esso è chiamato SFORZO PRINCIPALE e la direzione dello sforzo DIREZIONE PRINCIPALE, su questo piano la direzione e il valore di FIn coincidono con quelli della sua componente normale SIGMAn che è chiamata SIGMAp"
e fin qui più o meno è chiaro, poi dice che in ogni punto di un elemento ci sono sempre tre direzioni e tre sforzi principali, ma questi tre sforzi principali, che poi trovo facendo il determinante della matrice 2.15, sono la scomposizione dello sforzo principale SIGMAp lungo i tre assi i,l,m o sono qualcos'altro?
riuscite a darmi una spiegazione un po' più chiara di quella del libro?
grazie!!

[brown]

se nn ricordo male
dato uno sforzo qualsiasi ( rappresentato da una matrice 3x3 ) questo sofrzo puo' essede diagonalizzato ( nel senso che i valori fuori dalla diagonale sono nulli ) e i 3 valori trovati sono gli sforzi lungo le 3 direzioni principali

[Guts]

io nn riesco a capire cosa siano fisicamente o geometricamente le direzioni principali...

[brown]

nn vorrei sparare una vaccata
credo che le direzioni principali individuino un sistema di riferimento rispetto cui nn hai sforzi di taglio ( le tau )

[Guts]

secondo il mio ragionamento l'unico sistema di riferimento in cui lo sforzo S nn ha componenti di taglio è quello in cui la direzione di S coincide con uno dei 3 assi del sistema, potrebbe essere un punto di partenza per il ragionamento? solo che poi nn riesco ad andare avanti...


edit: dovrei aver capito!!
in pratica il tensore mi individua lo stato di sforzo del mio tetraedro comunque esso sia orientato, se io oriento il tetraedro secondo le direzioni principali ottengo sulle facce perpendicolari solo sforzi normali e gli sforzi tangenziali sono nulli. SIGMA 1 2 e 3 sono gli sforzi su queste tre superfici e sostituendo questi valori nel sistema 2.15 posso trovare le direzioni principali ossia quelle in cui ho questi sforzi.
è giusto?

[_fred_]

Originariamente inviato da Guts

secondo il mio ragionamento l'unico sistema di riferimento in cui lo sforzo S nn ha componenti di taglio è quello in cui la direzione di S coincide con uno dei 3 assi del sistema, potrebbe essere un punto di partenza per il ragionamento? solo che poi nn riesco ad andare avanti...


edit: dovrei aver capito!!
in pratica il tensore mi individua lo stato di sforzo del mio tetraedro comunque esso sia orientato, se io oriento il tetraedro secondo le direzioni principali ottengo sulle facce perpendicolari solo sforzi normali e gli sforzi tangenziali sono nulli. SIGMA 1 2 e 3 sono gli sforzi su queste tre superfici e sostituendo questi valori nel sistema 2.15 posso trovare le direzioni principali ossia quelle in cui ho questi sforzi.
è giusto?

Si, mi pare che il ragionamento sia giusto.

Materia? Progettazione Meccanica?

[Guts]

costruzione di macchine I, secondo anno di ing meccanica.
certo che se chi scrive i libri ci mettesse qualche parola in più e qualche formula in meno...

[_fred_]

Originariamente inviato da Guts

costruzione di macchine I, secondo anno di ing meccanica.
certo che se chi scrive i libri ci mettesse qualche parola in più e qualche formula in meno...

A chi lo dici, anche perchè con qualche parola in più permetteresti alle persone di capire in pieno quale sia la loro utilità... va bene che per i dubbi ci sono i professori, però avere un libro che ti permetta di confrontare gli appunti è sempre utile.

[Guts]

già, a volte sembra quasi che il libro per essere usato abbia bisogno delle spiegazioni degli appunti, ma lo capiranno mai certi prof che devono scrivere un libro per gente che deve studiare la loro materia e nn per i loro colleghi??

[Lucrezio]

Originariamente inviato da Guts

io nn riesco a capire cosa siano fisicamente o geometricamente le direzioni principali...

Ciao!
Questa è roba da ingegneri, ma un paragone può essere fatto con il tensore di inerzia, che mi è più familiare... spero che serva!
Ora, il tensore di inerzia ha rango due (si rappresenta con una matrice 3x3) ed è simmetrico: per il teorema spettrale esiste quindi una trasformazione ortogonale che lo diagonalizza. In particolare tale trasformazione è il cambio di base dalla base che hai scelto a quella degli autovettori del tensore, che individuano tre direzioni fra di loro ortogonali dette assi principali di inerzia. Il significato fisico di queste tre direzioni è molto semplice: se tu prendi un corpo rigido, individui i tre assi e lo fai ruotare lungo uno di essi il momento angolare sarà parallelo alla velocità angolare e dunque non devi applicare nessun momento esterno (nel senso di coppia torcente) per mantenere la direzione della rotazione, cosa che dovresti invece fare per un asse qualsiasi, pena qualcosa di simile ad un moto di precessione, come si può vedere facilmente guardando le equazioni di eulero!
P.S.: il tensore degli sforzi di Maxwell è peggio

[wheisback]

Faccio una piccola premessa sperando che possa essere utile a chiarire la natura degli sforzi principali e a cosa essi servano....secondo me se uno capisce a cosa servono automaticamente capisce cosa sono.

Per determinare le caratteristiche di resistenza di un materiali si definiscono delle prove (torsione, flessione, trazione) che permettono di definire il limite del materiale per una determinata condizione di carico.

Es: prova a trazione, determini la sigma di snervamento.

Nota la sigma di snervamento sai che se prendi un oggetto di quel materiale e lo solleciti solamente a trazione, questo si snerva per un noto valore del carico applicato, che hai determinato con la prova di trazione.

Lo stesso ragionamento vale per la torsione o per la flessione, ad esempio.

Ma se invece di avere sola trazione avessi anche torsione o flessione? Come faresti a dire qual è il carico limite che il componente può sopportare?

Questo è chiaramente un caso reale, nella realtà i componenti sono soggetti a stato di sforzo composto: flessione + torsione, trazione + torsione, trazione + flessione + torsione, e così via.

Occorre quindi un modo che partendo dal limite del materiale per una nota condizione di carico (facilmente riproducibile in laboratorio), permetta di determinare il limite del materiale per una condizione di sforzo generica.

Gli sforzi principali servono proprio a questo.

Si dimostra infatti, e la dimostrazione la trovi sul libro (che se non sbaglio è il davoli), che data una configurazione di carico generica in cui avrai in generale sia tau che sigma, si possono SEMPRE trovare 3 direzioni lungo le quali lo sforzo è solo normale (hai quindi solo sigma e le tau sono tutte nulle).

Se ragioni con gli sforzi principali puoi rapportare una configurazione di carico qualsiasi a una configurazione di carico semplice sulla base della quale hai definito le caratteristiche del materiale.

In che modo questo confronto venga effettuato te lo dicono i criteri di resistenza (di Moss, di Eulero, etc...).

Non so se li hai già studiati, ma finchè non li studi non puoi capire l'utilità degli sforzi principali, che ti sembreranno una cosa astrusa fine a se stessa.

Se hai bisogno chiedi pure, nel limite del possibile cercherò di risponderti.

[BlackJack84]

In effetti questa, come altre applicazioni citate, sarebbero di comprensione molto più immediata e lampante se a monte, nei corsi di Analisi o Geometria, ti spiegassero il significato di autovettori e autovalori, piuttosto che come calcolarli

[Guts]

ieri alla fine son riuscito a capirli, il concetto in se nn è difficile, se ci mettessero due righe in più di spiegazione uno lo capirebbe subito. cmq oggi mi son studiato i criteri di resistenza e in effetti ho capito a cosa servono in sostanza gli sforzi e le direzioni principali.
grazie a tutti delle spiegazioni!

@wheisback si il libro è il davoli, che tra l'altro è anche il mio prof.

[Guts]

Originariamente inviato da BlackJack84

In effetti questa, come altre applicazioni citate, sarebbero di comprensione molto più immediata e lampante se a monte, nei corsi di Analisi o Geometria, ti spiegassero il significato di autovettori e autovalori, piuttosto che come calcolarli

riesci in due parole a spiegarmi sta cosa che mi interessa?
cioè l'autovettore di una trasformazione è un vettore che nn cambia direzione durante la trasformazione e l'autovalore è il valore per cui è moltiplicato l'autovettore durante la trasformazione, ma come applico sta spiegazione effettivamente al tensore degli sforzi nn mi è tanto chiaro...

[lowenz]

Originariamente inviato da BlackJack84

In effetti questa, come altre applicazioni citate, sarebbero di comprensione molto più immediata e lampante se a monte, nei corsi di Analisi o Geometria, ti spiegassero il significato di autovettori e autovalori, piuttosto che come calcolarli

Infatti i corsi di Geometria sono un punto cruciale della forma mentis, più che delle varie abilità settoriali.

[wheisback]

Originariamente inviato da Guts

ieri alla fine son riuscito a capirli, il concetto in se nn è difficile, se ci mettessero due righe in più di spiegazione uno lo capirebbe subito. cmq oggi mi son studiato i criteri di resistenza e in effetti ho capito a cosa servono in sostanza gli sforzi e le direzioni principali.
grazie a tutti delle spiegazioni!

@wheisback si il libro è il davoli, che tra l'altro è anche il mio prof.

Il concetto non è difficile, collegarlo a quello che si è già studiato e che si studierà in seguito è un po meno immediato.
Anche io ho dovuto sbatterci la testa prima di capire come girava il fumo.
L'importante è non vedere le cose fini a se stesse.

Ti renderai conto che anche se la spiegazione del libro ti sembra ermetica in realtà c'è tutto quello che devi sapere.

Il filo logico è questo:

1) prove meccaniche -> caratteristiche dei materiali
2) azioni interne e diagrammi degli sforzi -> per definire la sollecitazione generica agente su un componente
3) sforzi principali e criteri di resistenza -> per determinare, a partire dalle caratteristiche del materiale al punto 1, la sollecitazione limite ammissibile per il componente
4) a questo punto hai tutto quello che ti serve -> sollecitazione sul componente al punto 2, da cui ricavare la stessa sollecitazione in termini di sforzi principali da confrontare con quella limite, sempre espressa in termini di sforzi principali.

A questo punto ti do un ulteriore consiglio, quando Davoli spiegherà i criteri di resistenza, fai particolare attenzione a quello di moss, anche se ti sembrerà banale non lo è affatto, è molto più complesso di quello che sembra, e ti tornerà utile quando farai i criteri di resistenza a fatica.

P.S. Davoli è un grande

[Satviolence]

Originariamente inviato da Lucrezio

Ciao!
Questa è roba da ingegneri, ma un paragone può essere fatto con il tensore di inerzia, che mi è più familiare... spero che serva!
Ora, il tensore di inerzia ha rango due (si rappresenta con una matrice 3x3) ed è simmetrico: per il teorema spettrale esiste quindi una trasformazione ortogonale che lo diagonalizza. In particolare tale trasformazione è il cambio di base dalla base che hai scelto a quella degli autovettori del tensore, che individuano tre direzioni fra di loro ortogonali dette assi principali di inerzia. Il significato fisico di queste tre direzioni è molto semplice: se tu prendi un corpo rigido, individui i tre assi e lo fai ruotare lungo uno di essi il momento angolare sarà parallelo alla velocità angolare e dunque non devi applicare nessun momento esterno (nel senso di coppia torcente) per mantenere la direzione della rotazione, cosa che dovresti invece fare per un asse qualsiasi, pena qualcosa di simile ad un moto di precessione, come si può vedere facilmente guardando le equazioni di eulero!
P.S.: il tensore degli sforzi di Maxwell è peggio

Quoto! L'esempio è calzante e il tensore degli sforzi funziona allo stesso modo! Sempre per fare un parallelo tra i due tensori, il cerchio di Mohr, che serve per trovare le direzioni principali, lo puoi usare in entrambi i casi. Lo usi per trovarti gli sforzi principali, ma lo usi anche per trovarti il riferimento principale di una sezione per poter applicare i casi di De Saint Venant.
Comunque a me il tensore che stava più sulle balle era quello di elasticità, perchè è quadridimensionale 3x3x3x3... Mi ricordo che quando è saltato fuori a lezione stavo per alzarmi in piedi ed abbandonare l'aula .

Riguardo al fatto che la geometria serva per dare una forma mentis... per come la vedo io non è vero. Nel 90% dei casi i corsi di geometria e algebra lineare sono impostati da matematici per matematici, ti fanno perdere tempo e non cogli l'essenziale. Un corso che forma veramente, rimanendo nell'ambito della meccanica fredda, è meccanica razionale, fisica matematica, scienza delle costruzioni. Quest'ultimo in particolare è un nodo cruciale: ci sono tonnellate di matematica, algebra lineare, ed è molto rigorosa nello sviluppare il discorso come se fosse un corso di analisi, ma a differenza di questo i risultati possono essere applicati in modo immediato in casi reali, anche nel mondo del lavoro! E' un po' un esempio del modo in cui idealmente dovrebbe lavorare un ingegnere.

[ironmanu]

Originariamente inviato da brown

nn vorrei sparare una vaccata
credo che le direzioni principali individuino un sistema di riferimento rispetto cui nn hai sforzi di taglio ( le tau )

Esattamente questa è la definizione corretta di direzioni principale!

[ironmanu]

Originariamente inviato da Lucrezio

Ciao!
Questa è roba da ingegneri, ma un paragone può essere fatto con il tensore di inerzia, che mi è più familiare... spero che serva!
Ora, il tensore di inerzia ha rango due (si rappresenta con una matrice 3x3) ed è simmetrico: per il teorema spettrale esiste quindi una trasformazione ortogonale che lo diagonalizza. In particolare tale trasformazione è il cambio di base dalla base che hai scelto a quella degli autovettori del tensore, che individuano tre direzioni fra di loro ortogonali dette assi principali di inerzia. Il significato fisico di queste tre direzioni è molto semplice: se tu prendi un corpo rigido, individui i tre assi e lo fai ruotare lungo uno di essi il momento angolare sarà parallelo alla velocità angolare e dunque non devi applicare nessun momento esterno (nel senso di coppia torcente) per mantenere la direzione della rotazione, cosa che dovresti invece fare per un asse qualsiasi, pena qualcosa di simile ad un moto di precessione, come si può vedere facilmente guardando le equazioni di eulero!
P.S.: il tensore degli sforzi di Maxwell è peggio

si ma imho l'analogia è + formale che "fisica", il problema è che il tensore di stress è una caratteristica locale di un corpo sollecitato. Per questo secondo me le dir pricipali di stress sono un po' meno intuitive di quelle principali d'inerzia che sono riferite all'intero corpo rigido. Il tensore di stress (e quindi le direzioni principali) varia da punto a punto , quindi come si diceva sopra si capisce meglio cosa rappresenta se viene spiegato a cosa serve piu' che formalizzato in modo astratto.