Problema programmazione lineare

[GiulioCesare]

Salve ragazzi, sono alle prese con un semplice problema di programmazione lineare, che non riesco a completare, il problema è il seguente: Un allevatore vuole preparare una miscela alimentare per animali, in modo che in ogni Kg di miscela vi sia almeno il 21% di zuccheri, il 24 % di proteine ed il 18% di grassi. In commercio si trovano tre prodotti P1, P2, P3 che rispetto a zuccheri, proteine e grassi presentano le composizioni percentuali date dalla seguente tabella:
Prodotti/Contenuto in % P1 P2 P3
Zuccheri 20 25 20
Proteine 30 - 40
Grassi 10 30 20

I costi al Kg dei prodotti sono, rispettivamente, € 4.00 € 3.50, € 5.00
Il problema consiste nel determinare come l’allevatore deve miscelare i tre prodotti per avere un composto a costo minimo, che rispetti però le precedenti esigenze alimentari.
E’ possibile esprimere un problema attraverso una funzione matematica da minimizzare, nel modo seguente:

z = 4*X1 + 3,5*X2 + 5*X3

ogni valore numerico della X corrisponde al costo al Kg dei tre prodotti, successivamente formiamo il nostro sistema



X1 + X2 + X3 = 1
0,2X1 + 0,25X2 + 0,2X3 >= 0,21
0,3X1 + 0,4X3 >= 0,24
0,1X1 + 0,3X2 + 0,2X3 >=0,18
X1 >=0, X2 >= 0, X3 >= 0

Dal vincolo espresso come equazione si ricava una variabile in funzione della altre, ad esempio X2 = 1 – X1 – X3, si sostituisce questa espressione al modello e si ottiene: Z = 0,5*X1 + 1,5*X3 + 3,5, ora il nostro sistema di conseguenze varia in questo modo

5 X1 + 5X3 <= 4
3 X1 + 4X3 >= 2,4
2X1 + X3 <= 1,2
X1 + X3 <= 1
X1 >= 0, X3 >= 0

Tramite il grafico che non sto qui a disegnare, ho trovato il punto per cui la mia funzione ha un minimo e quindi considerando il problema, è proprio questo punto che interessa a me. Ma ora non so proprio come fare per rispondere all'ultima parte dell'esercizio, ovvero: determinare come l’allevatore deve miscelare i tre prodotti per avere un composto a costo minimo, che rispetti però le precedenti esigenze alimentari.

Spero che qualcuno sarà così gentile e farmi vedere come si svolge quest'ultima parte dell'esercizio, grazie a chi lo farà