Proprietà commutativa

[petronella]

Ciao a tutti,
ieri notte (stavo scorporando l'IVA da un bene) mi è sorta una domanda:

la proprietà commutativa esiste?

Senza girarci troppo vi faccio subito l'esempio che avevo in testa.

indico la frazione tre terzi così 3/3

10 x 3/3 = 10 = 10 x 3 x 1/3

ma

10 x 1/3 x 3 = 9,9999999999 (periodico)

ossia

10 : 3 x 3 = 9,99999999999 (periodico)


Qual è il mio errore?

[Banus]

Originariamente inviato da petronella
la proprietà commutativa esiste?

Sicuro, altrimenti la matematica avrebbe parecchi problemi

Qual è il mio errore?

Nessuno
Semplicemente:

9,9999999999999999999... = 10

[petronella]

Se usi un'approssimazione per arrotondamento per eccesso.

Se usi un'approssimazione per troncamento 9,99999 = 9 .

poi non ho definito il numero di decimali.

Se ho un gruppo abeliano e definisco la moltiplicazione e la divisione come inversa i risultati devono essere identici.

Ci sono altre possibili spiegazioni ?

[BugMaster]

9,9 periodico = 10. Trovate una dimostrazione in allegato, basata sulle serie. Penso esistano dimostrazioni più semplici.

Ciao ciao.

BugMaster

[BugMaster]

Scusate, ho perso l'allegato. Eccolo

[petronella]

posso sbagliare ma una serie che converge non vuol dire che quel numero è uguale .

Ho trovato un articolo che parla di validità della proprietà commutativa con numeri che si possono rappresentare geometricamente.

[Banus]

Originariamente inviato da petronella
posso sbagliare ma una serie che converge non vuol dire che quel numero è uguale .

Infatti si parla del limite della serie.
Ma non è necessario scomodare la topologia. Prova ad effettuare i calcoli con 10/3 (è uguale a 3,333...). Magicamente tutto torna.

[BugMaster]

Ciao illustre sconosciuto, spero un giorno di incontrarti dal vivo, così ne parleremo davanti ad un caffè.
La tua ultima osservazione è molto interessante, ma forse posso confutarla.
Dire che la serie converge a 10/9 vuol dire che la somma dei suoi termini tende a 10/9. Giusto. Ma calcolare la sommatoria per i che va da 0 a +infinito significa calcolare il limite di quella somma (per definizione di sommatoria infinita). Quindi è come se avessi scritto che che 9,9 periodico è uguale al limite della somma. Il limite di quella somma non converge a 10/9, ma E' esattamente 10/9.
Quindi 9,9 periodico, è UGUALE al limite, che è UGUALE a 10/9, senza parlare di convergenza.

Comunque penso che l'aricolo di cui parli porti ad una dimostrazione più elegante. Complimenti.

Intanto un collega mi segnala una ulteriore dimostrazione, basata sulle "frazioni generatrici". Dice che se esprimo un numero periodico come "x,y periodico" (quindi con periodo di una cifra), esiste una frazione di numeri che lo genera, che è pari a (xy-x)/9, dove xy è il numero naturale in cui x sono le decine ed y le unità. Nella fattispecie: (xy-x)/9 = (99-9)/9 = 10.

Che ne pensi?
Alla prossima ;-).

BugMaster

[petronella]

Originariamente inviato da Banus
Infatti si parla del limite della serie.
Ma non è necessario scomodare la topologia. Prova ad effettuare i calcoli con 10/3 (è uguale a 3,333...). Magicamente tutto torna.

ok. Non mi avete convinto ma mi arrendo.

1. che il lim sia uguale a non vuol dire che la divisione è uguale a
2. Se sei nell'algebra finita non penso che tornino i conti

Era solo una disquisizione.

Bug???? Come te ne scendi venerdì ?

[gurutech]

ragazzi sto studiando ora "Fondamenti di calcolo numerico" e posso affermare una cosa con certezza
nel calcolatore/rice l'addizione e la sottrazione NON SONO associative
per cui fare 10 : 3
e poi moltiplicare per 3

è diverso da fare
3 diviso 3 e poi moltiplicare per 10

per un approfondimento ascoltate i primi 10/15 minuti della seconda lezione di questo corso

[kaioh]

Originariamente inviato da petronella
Qual è il mio errore?

che 9.9 periodico è pari a 10 .

[gurutech]

Originariamente inviato da kaioh
che 9.9 periodico è pari a 10 .

Non è corretto. 9.9 periodico non esiste nella calcolatrice.
il problema sorge dal fatto che tutte le frazioni 1 / D dove D non è una potenza di due hanno una rappresentazione binaria periodica. la calcolatrice non potendo memorizzare infinite cifre, ad un certo punto taglia ed arrotonda

nel caso in esame

1/3 |  = 0,(01)|
    |10        |2

per cui se vengono usati (per esempio) 16 bit dopo la virgola, 1/3 si scrive
0,0101010101010101
che ritrasformato in decimale da
.3333282470703125
che è evidentemente diverso da 1/3 = 0.(3)

[petronella]

Originariamente inviato da kaioh
che 9.9 periodico è pari a 10 .

Se scrivo "qual è il mio errore" non vuol dire che c'è un errore.

9,9 periodico è un numero.
10 è un altro numero.

Se si afferma che 9,9 periodico è uguale a 10 vuol dire che i numeri periodici non esistono .

Se invece vuoi dire che 9,9 periodo si arrotonda a 10 è un'altra cosa.

La storia della rappresentazione binaria di un numero .... io ho parlato di teoria non di elettronica.

Conosco benissimo le metodologie di rappresentazione di un numero in un calcolatore e il trattamento dell'errore (non a caso ho una laurea in informatica).

Io penso comunque che la risposta sia nel fatto che la proprietà commutativa per la moltiplicazione non valga sempre.

Nè da prova il teorema di pitagora dove algebricamente posso avere una ipotenusa che sia il risultato di operazioni che restituiscono un numero periodico (con infinite cifre decimali) non rappresentabile geometricamente.

Ribadisco cmq era solo una disquisizione

[Banus]

Originariamente inviato da petronella
9,9 periodico è un numero.
10 è un altro numero.

In base a che cosa?
Due rappresentazioni diverse non implicano numeri diversi.

Se si afferma che 9,9 periodico è uguale a 10 vuol dire che i numeri periodici non esistono.

Perchè? 3,3 periodico esiste e non è un intero.

Se invece vuoi dire che 9,9 periodo si arrotonda a 10 è un'altra cosa.

Non confondiamo i numeri con la loro rappresentazione a precisione finita. Per parlare di arrotondamento devi avere n cifre come decimali e applichi la regola a partire dalla cifra meno significativa. Se vuoi, 9,9 periodico ha infinite cifre decimali. Da dove parti?

Io penso comunque che la risposta sia nel fatto che la proprietà commutativa per la moltiplicazione non valga sempre.

Esiste un teorema in Q che dimostra l'esistenza di questa proprietà.

Nè da prova il teorema di pitagora dove algebricamente posso avere una ipotenusa che sia il risultato di operazioni che restituiscono un numero periodico (con infinite cifre decimali) non rappresentabile geometricamente.

Tutti i numeri razionali sono rappresentabili geometricamente (sono dei rapporti). Idem anche per i numeri algebrici (ma qui andiamo OT).

Proviamo a mettere il discorso su un altro piano.

e = sum(1 -> +oo) (1 + 1/n)^(n)
e = sum(1 -> +oo) 1/n!

Quale delle due somme definisce e e quale è una sua approssimazione? Nessuna ovviamente, sono due modi di definire e.
Idem per il tuo discorso, 10 e 9,9 periodico sono due modi diversi per indicare lo stesso numero. Usiamo la prima notazione perchè è più semplice.

[AleX_ZeTa]

se 9.(9) e 10 fossero due numeri diversi allora (9.(9),10) sarebbe un aperto e conterrebbe infiniti numeri (razionali e irrazionali) per la densità di R e Q in R.

Ma è evidentemente impossibile trovare un numero >9.(9) e <10. Quindi 9.(9) = 10.

[petronella]

Originariamente inviato da AleX_ZeTa
se 9.(9) e 10 fossero due numeri diversi allora (9.(9),10) sarebbe un aperto e conterrebbe infiniti numeri (razionali e irrazionali) per la densità di R e Q in R.

Ma è evidentemente impossibile trovare un numero >9.(9) e <10. Quindi 9.(9) = 10.

Qual è allora la differenza tra un numero periodico ed un numero intero?

Un numero periodico è anche un numero intero?

Se la risposta alla seconda domanda è si allora 10 (numero intero) è uguale a 9,(9) (numero periodico) .

Quindi tornando al primo post :

La domanda corretta sarebbe "QUANDO vale la proprietà commutativa" e non "ESISTE la proprietà commutativa" .

A onor del vero la domanda iniziale era un po' provocatoria.

Domenico.

[Banus]

Originariamente inviato da petronella
Un numero periodico è anche un numero intero?

Un numero periodico può essere un intero. Per la precisione accade solo quando il periodo è 9. Cioè 0,9 periodico è 1, 1,(9) = 2 etc.
Non so se hai mai visto le regole per convertire un numero periodico in frazione. Se lo applichi a quei casi ottieni un numero intero.

La domanda corretta sarebbe "QUANDO vale la proprietà commutativa" e non "ESISTE la proprietà commutativa" .

Ora che ho guardato bene il primo post forse intendevi associativa
Vale sempre in N, Z, Q, R, C. Non vale in insiemi del tipo "numeri reali con mantissa ed esponente a precisione finita".

[gurutech]

Originariamente inviato da Banus
Non vale in insiemi del tipo "numeri reali con mantissa ed esponente a precisione finita".

nell'insieme dei numeri floating point la proprietà commutativa continua a valere. cadono invece l'associativa e la distributiva.

[Banus]

Originariamente inviato da gurutech
nell'insieme dei numeri floating point la proprietà commutativa continua a valere. cadono invece l'associativa e la distributiva.

Infatti mi stavo riferendo all'associativa
Mi sono accorto che tutte le volte in cui petronella parlava di proprietà commutativa in realtà si riferiva all'associativa. Nel suo esempio infatti non c'è nessuna inversione nell'ordine degli operandi.

[jumpermax]

Originariamente inviato da AleX_ZeTa
se 9.(9) e 10 fossero due numeri diversi allora (9.(9),10) sarebbe un aperto e conterrebbe infiniti numeri (razionali e irrazionali) per la densità di R e Q in R.

Ma è evidentemente impossibile trovare un numero >9.(9) e <10. Quindi 9.(9) = 10.

già infatti... 9.(9) e 10 sono rappresentazioni diverse dello stesso numero...