Funzioni inietive e suriettive e biettive help....

[D4rkAng3l]

ciao, non riesco a risolvere questo esercizio di logica matematica (anche chiamata matematica discreta)....

Sia a un parametro reale; si consideri l'insieme
D = {x € R: x^2 <= 1}

Per quali valori di a la funzione f: D--->R definita da

Per ogni x € D f(x) = (6-5a+a^2)(x+1)

è iniettiva? e per quali valori di a è biettiva?

Grazie
Andrea

[RBlade79]

Originariamente inviato da D4rkAng3l
ciao, non riesco a risolvere questo esercizio di logica matematica (anche chiamata matematica discreta)....

Sia a un parametro reale; si consideri l'insieme
D = {x € R: x^2 <= 1}

Per quali valori di a la funzione f: D--->R definita da

Per ogni x € D f(x) = (6-5a+a^2)(x+1)

è iniettiva? e per quali valori di a è biettiva?

Grazie
Andrea

La funzione f(x) è una retta (infatti è (x+1) moltiplicato per un coefficiente reale)...quindi è sempre una funzione biettiva, tranne nel caso in cui il coefficiente sia 0 (in tal caso, infatti, avresti f(x)=0).
Ricapitolando:
- f(x) è iniettiva per i valori di a tali che (a^2-5a+6)=0 (cioè a=2, a=3)
- f(x) è biettiva per ogni valore di a € R-{2,3}

Spero sia giusto il mio ragionamento...

[AleX_ZeTa]

parzialmente falso

questo sarebbe vero SE E SOLO SE il dominio coincidesse con R.

Ma come si può vedere dal testo: D = {x € R | -1 <= x <= 1}

e a occhio direi che sta cosa suriettiva non lo è mai.

x l'iniettività il ragionamento di RBlade è ovviamente corretto

[RBlade79]

Originariamente inviato da AleX_ZeTa
...e a occhio direi che sta cosa suriettiva non lo è mai.

E' da un po' che non mastico più analisi, ma da quel che ricordo una funzione è biettiva (iniettiva+suriettiva) quando ad ogni elemento del dominio è associato uno ed un solo elemento del codominio.
Quindi, una retta (che non sia // agli assi x o y) è una funzione biettiva qualunque sia il dominio, in quanto ad ogni elemento del dominio è possibile associare un solo elemento del codominio e viceversa.

[AleX_ZeTa]

quella è la definizione di funzione.

Una funzione è una relazione univoca: quindi a ogni elemento di D è assegnato uno e un solo elemento di C.

Una funzione è invece biettiva quando è iniettiva e suriettiva.
Sia f: D --> C
Iniettività: f(x) = f(y) <==> x = y
Suriettività: \forall y € C \exists x € D | y = f(x)

quella funzione non è suriettiva. Quindi non è nemmeno biettiva (per qualsiasi a)