Problemino Matematica I (primo)

[CipHak]

Testo dell'esercizio da panico...

Si risolva il problema Yk+1-3yk = 2

alla condizione iniziale Y0 = 2


Risultato:

(3^n+1 - 1)



XKE!

[Scoperchiatore]

Mah, io non ho trovato quella soluzione perchè con le serie, i coefficienti binomiali e i fattoriali lavoro veramente poco.

Cmq, procedendo in maniera ricorsiva:

Y0 = 2

Y1 = 3*Y0 + 2

Y2 = 3*Y1 + 2 = 3*(3*(Y0 + 2) + 2) + 2 = 3*3*Y0 + 3*3*2 + 3*2 + 2

Già da qui puoi capire l'andamento di questa funzione discreta.

Fissato n=2 (perchè sto esaminando Y2) allora vedo che Y2 si compone di due "parti" che mi viene comodo analizzare separatamente

Y2 = YA + YB

YB = 2 + 2*3 + 2*3^2
YA = 3^2*Y0

In generalizzando, posso trovare una espressione per quella ricorsione:

Yk = 3^k*Y0 + 2*Z

dove Z l'ho messo così perchè non so come scriverlo senza simbli, ma è la sommatoria per i che va da 0 a n-1 di 3^i (3^0 + 3^1 + 3^2 + .... + 3^n-1)

Dato che Y0 = 2 allora hai che

Yk = 2* (3^k + Z)


Questa formula già funziona, nel senso che dato un qualunque K ti permette di calcolare il tuo Yk corrispondente, ed è in forma chiusa (al contrario di quella di sopra)

Per ottenere la fsoluzione che posti, bisognerebbe risolvere la serie Z ovvero la sommatoria per i che va da 0 a k-1 di 3^i. Da quanto ricordo io ha una soluzione in forma chiusa, ma non ricordo quale. Se magari la sai, sostituisci, prendi a fattor comune, e dovresti arrivare alla formula che hai postato tu.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da CipHak
Si risolva il problema Yk+1-3yk = 2

alla condizione iniziale Y0 = 2


Risultato:

(3^n+1 - 1)



XKE!

Cercando "equazioni alle differenze" con Google puoi trovare a questo indirizzo il seguente teorema:

Un'equazione alle differenze del primo ordine a coefficienti costanti della forma y_{k+1}=ay_{k}+b con a<>1 e condizione iniziale y_{0}=y0 ha un'unica soluzione:
y_{k} = (a^k)(y0 - b/(1-a)) + b/(1-a)

Nel tuo caso, a=3, b=2, y0=2; sostituendo:
y_{k} = (3^k)(2 - 2/(1-3)) + 2/(1-3)
cioe' y_{k}=3^(k+1)-1.

ESERCIZIO: dimostrare il teorema.

C'e' un principio generale, ma non me lo ricordo bene; magari lo posto un'altra volta.

EDIT: prima non si capiva bene, cosi' ho aggiunto un paio di parentesi.

[Scoperchiatore]

Originariamente inviato da Ziosilvio
Cercando "equazioni alle differenze" con Google puoi trovare a questo indirizzo il seguente teorema:

Difatti l'avevo studiato in Fondamenti di Automatica, ma non lo ricordavo.

Cmq, anche con la logica si arriva ad una soluzione che, anche se più complessa, funziona.

[CipHak]

Cosa farei senza di voi!

[Scoperchiatore]

Originariamente inviato da CipHak
Cosa farei senza di voi!

Tanto all'esame non ci siamo, te tocca fà da solo

[CipHak]

il problema mio è che non ho esercizi svolti... solo testi e soluzioni.. e visto che alle superiori non ho mai trattato questo tipo di mate, mi ritrovo un po in difficoltà...

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da CipHak
Cosa farei senza di voi!

Hai fatto l'esercizio che ti ho detto di fare?

[CipHak]

y_{k} = 3^k(2 - 2/(1-3)) + 2/(1-3)
cioe' y_{k}=3^(k+1)-1


mi sfugge qualke proprietà delle potenze? non capisco quel cavolo di k+1

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da CipHak
y_{k} = 3^k(2 - 2/(1-3)) + 2/(1-3)
cioe' y_{k}=3^(k+1)-1


mi sfugge qualke proprietà delle potenze? non capisco quel cavolo di k+1

Scusa, lo riscrivo:

y_{k} = (3^k)(2 - 2/(1-3)) + 2/(1-3)

P.S.: Hai fatto l'esercizio?

[CipHak]

y_{k} = (3^k)(2 - 2/(1-3)) + 2/(1-3)



(3^k1) - 1

????????????????????
(mi disp ma le dimostrazioni non sono il mio forte... so fare il minimo indispensabile)

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da CipHak
y_{k} = (3^k)(2 - 2/(1-3)) + 2/(1-3)



(3^k1) - 1

No: (3^(k+1)) - 1.

????????????????????

Quanto fa "due diviso (uno meno tre)"?
Quello che esce fuori, sottrailo a due.
Poi, moltiplica il tutto per "tre alla kappa".
Infine, quello che era uscito fuori all'inizio, aggiungilo al totale.

(mi disp ma le dimostrazioni non sono il mio forte... so fare il minimo indispensabile)

Appunto: fai i miei esercizi, e imparerai a fare tu le dimostrazioni, senza doverti per forza fidare di quello che dice il matematico del gruppo

[CipHak]

e non mi ricordavo + le proprietà delle potenze...