Cosa è 1 densità di probabilità?!

[Matrixbob]

Non una distribuzione di probabilità, ma bensì densità di probabilità mi sono trovato su un libro, ma non so cosa sia.

[Ziosilvio]

La densita' di probabilita' di una variabile aleatoria X, e' una funzione f tale che la probabilita' che X assuma un valore in A, e' sempre uguale all'integrale di f esteso ad A.

Ad esempio, la densita' della variabile aleatoria uniforme su [a,b], e' 1/(b-a) volte la funzione caratteristica di [a,b] (cioe' la f(x) che vale 1 se a<=x<=b, e 0 altrimenti).

[gurutech]

ciao,
vedi un po' se ti servono questi che devo ancora finire
http://www.gurutech.it/polimi/probab...iassuntone.pdf

[Matrixbob]

grazie ad entrambi, adesso provo a fare mente lucida.

[ChristinaAemiliana]

Originariamente inviato da Ziosilvio
La densita' di probabilita' di una variabile aleatoria X, e' una funzione f tale che la probabilita' che X assuma un valore in A, e' sempre uguale all'integrale di f esteso ad A.

Ad esempio, la densita' della variabile aleatoria uniforme su [a,b], e' 1/(b-a) volte la funzione caratteristica di [a,b] (cioe' la f(x) che vale 1 se a<=x<=b, e 0 altrimenti).

Perfetto!

Aggiungo solo che, affinché la densità di probabilità assuma un valore effettivamente...probabilistico, essa va normalizzata a uno, ossia l'integrale della funzione densità di probabilità esteso a tutto lo spazio ambiente deve valere uno. La necessità di ciò è evidente se pensiamo al caso di una particella libera di muoversi in una scatola. Prendiamo la funzione densità di probabilità e chiamiamola f; allora la probabilità di trovare la particella in una regione A della scatola sarà come ben detto da Ziosilvio l'integrale di f esteso al volume A. Ma dato che la particella si trova nella scatola, se come volume A prendo tutta la scatola, dovrò avere la certezza di trovarvi la particella da qualche parte, quindi l'integrale di f esteso a tutta la scatola dovrà essere 1, visto che la particella dovrà pur essere in un punto della scatola! Se sostituiamo la scatola con un generico spazio ambiente avremo allora che l'integrale su tutto lo spazio di f dovrà sempre essere uguale a 1; ovviamente l'integrale di f esteso a una regione dello spazio darà un risultato compreso tra 0 e 1.

Nell'esempio fatto da Ziosilvio la densità di probabilità vale 1/(b-a) nell'intervallo [a,b] e zero altrove, infatti l'integrale tra meno e più infinito di una f siffatta vale appunto 1.

[Matrixbob]

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Perfetto!

Aggiungo solo che, affinché la densità di probabilità assuma un valore effettivamente...probabilistico, essa va normalizzata a uno, ossia l'integrale della funzione densità di probabilità esteso a tutto lo spazio ambiente deve valere uno. La necessità di ciò è evidente se pensiamo al caso di una particella libera di muoversi in una scatola. Prendiamo la funzione densità di probabilità e chiamiamola f; allora la probabilità di trovare la particella in una regione A della scatola sarà come ben detto da Ziosilvio l'integrale di f esteso al volume A. Ma dato che la particella si trova nella scatola, se come volume A prendo tutta la scatola, dovrò avere la certezza di trovarvi la particella da qualche parte, quindi l'integrale di f esteso a tutta la scatola dovrà essere 1, visto che la particella dovrà pur essere in un punto della scatola! Se sostituiamo la scatola con un generico spazio ambiente avremo allora che l'integrale su tutto lo spazio di f dovrà sempre essere uguale a 1; ovviamente l'integrale di f esteso a una regione dello spazio darà un risultato compreso tra 0 e 1.

Nell'esempio fatto da Ziosilvio la densità di probabilità vale 1/(b-a) nell'intervallo [a,b] e zero altrove, infatti l'integrale tra meno e più infinito di una f siffatta vale appunto 1.

Inutile dirlo Christina che lo ho trovato sugli appunti che mi hai passato di teoria dell'informazione: teoria di Shannon
Un pezzo qui, un pezzo la, una rilettura qui, una rilettura la, un riassuntino e un po' di fantasia e incomincio a farmi largo e spazio in questo piccolo grande mondo.

[nin]

Si può anche aggiungere che è la derivata della CDF, per questo può essere solo maggiore o uguale di Ø.

La CDF la si può pensare come una funzione che descrive questo tipo di probabilità: P{X<=x} dove X è la tua variabile aleatoria e x un numero appartenente ad R.
X o variabile aleatoria è un numero che si associa ad un particolare evento del tuo esperimento, come ad esempio il numero di lanci prima che il dado si presenti con la faccia 6.

Spero di aver detto giusto.

[LASCO]

Dico la cosa in un altro modo che secondo me prtrebbe esserti utile per rispondere a qualche domanda del prof. Innanzitutto attenzione ai tranelli.
Assumendo la definizione di Ziosilvio:

La densita' di probabilita' di una variabile aleatoria X, e' una funzione f tale che la probabilita' che X assuma un valore in A, e' sempre uguale all'integrale di f esteso ad A.

se il prof ti chiede "qual'è la probabilità che X assuma un valore specifico nell'insieme in cui è definita?" la risposta è zero.
Oppure se ti chieda il significato di densità di probabilità oltre a come l'ha scritta Ziosilvio si può dire equivalentemente (e spesso usata per descrivere modelli di fenomeni reali) che " La densita' di probabilita' di una variabile aleatoria X e' una funzione f=f(X) tale che f(X*)dX sia la probabilita' che X assuma un valore compreso tra X* e X*+dX " ed equivale a dire che tale probabilità sia [integrale da X* ad X*+dX] di f(X)dX secondo la definizione di Ziosilvio.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da LASCO
se il prof ti chiede "qual'è la probabilità che X assuma un valore specifico nell'insieme in cui è definita?" la risposta è zero.

Questo puoi dirlo con certezza solo se la ddp e' una funzione integrabile secondo Lebesgue.
Se e' una distribuzione (ad esempio, una delta di Dirac), allora ci possono essere dei punti x tali che Pr(X=x)>0.

[LASCO]

Originariamente inviato da Ziosilvio
Questo puoi dirlo con certezza solo se la ddp e' una funzione integrabile secondo Lebesgue

e l'integrale non sia nullo.

Se e' una distribuzione (ad esempio, una delta di Dirac), allora ci possono essere dei punti x tali che Pr(X=x)>0

in tal caso credo che si debba definire una ddp discreta.

edit: mi correggo, non necessariamente in tal caso si deve definire una ddp discreta, infatti si può definire una ddp con il formalismo continuo mediante l'uso proprio delle funzioni delta di Dirac.