scomposizione polinomi

[fsdfdsddijsdfsdfo]

Precorso di matematica. Già mi trovo nei guai.


Ogni polinomio R(x), cioè polinomio con coefficenti reali, si può scomporre in prodotto di polinomi dal grado al più 2.


Come scompongo:

x^4+1

x^4+2x^3-5x^2-14x+24

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da dijo

Come scompongo:

x^4+1

x^4+2x^3-5x^2-14x+24

Scrivendo un'equazione in cui da una parte hai il polinomio di quarto grado che devi scomporre, e dall'altra (ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f); e poi metteno a sistema.
Qui, dato che il coefficiente direttore è 1, puoi porre a=d=1.
Fa' attenzione, che il sistema che ottieni non è lineare.

Per esempio:

x^4+1=(x^2+bx+c)(x^2+ex+f)
     =x^4+(b+e)x^2+(c+f+be)x^2+(bf+ce)x+cf

quindi:

b+e=0
c+f+be=0
bf+ce=0
cf=1

quindi:

e=-b
c+f-b^2=0
b(f-c)=0
cf=1

L'ultima equazione ti dice che c ed f sono entrambi positivi oppure entrambi negativi (perché il prodotto è positivo); la terza, che c+f è non negativo.
Dato che c ed f sono entrambi non nulli e di segno uguale, e la loro somma è non negativa, c ed f devono essere entrambi positivi. Allora b^2=c+f>0, quindi b<>0: da questo e dalla quarta equazione segue f=c. Quindi:

x^4+1=(x^2+bx+c)(x^2-bx+c)
     =x^4+(2c-b^2)x^2+c^2

Ora, c>0 e c^2=1, quindi c=1; da questo e da 2c-b^2=0 segue b=sqrt(2). Quindi:

x^4+1=(x^2+sqrt(2)x+1)(x^2-sqrt(2)x+1)

P.S.: per le domande di matematica c'è il thread in rilievo.

[fabio80]

il buon vecchio ruffini?

[fsdfdsddijsdfsdfo]

Originariamente inviato da fabio80

il buon vecchio ruffini?

prova.

[fsdfdsddijsdfsdfo]

scusa hai ragione zio. Sempre disponibile come sempre comunque.


COntinuo la discussione nel thread. Chiedo di chiudere grazie.

[ChristinaAemiliana]

Chiuso.