Mat. Discreta - Domande Varie Difficili

[cagnaluia]

1.
Siano v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 , v7 vettori di R7. Allora è sempre vero che:
1) nessuna delle altre risposte è esatta.
2) sono linearmente dipendenti.
3) sono linearmente indipendenti.
4) generano R7 .
5) non generano R7 .


2.
Siano U, V sottospazi di R6 tali che dim U = 2, dim V = 4. Allora la somma U + V è una somma diretta se e soltanto se
1) U + V = R6 .
2) mai.
3) U intersecato V != {0}
4) U intersecato V = 0.
aggiungerei anche che la 3) andrebbe bene nel caso l'intersezione fosse uguale e non diversa dall insieme vuoto.



3.
Sia T appartenente L(R3,R3) un’applicazione lineare che abbia polinomio
caratteristico x(x2 + 1). Allora:
1) T è sicuramente diagonalizzabile.
2) T è sicuramente non invertibile.
3) T è diagonalizzabile se e solo se m.g.(?1) = 2.
4) T è diagonalizzabile se e solo se non è invertibile.



4.
Sia A una matrice invertibile e si consideri un sistema lineare
della forma Ax = b. Allora:
1) il sistema ha soluzione unica x = Ab.
2) il sistema ha sempre infinite soluzioni.
3) il sistema pu`o non avere soluzioni.
4) il sistema ha soluzione unica x = A^(?1) b.



5.
Sia A appartenente M5,2 (R) (cio`e una matrice con cinque righe e due colonne) e si consideri un sistema lineare della forma Ax = b. Allora :
1) il sistema non ha mai soluzioni.
2) il sistema ha sempre soluzione.
3) se il sistema ha soluzione, è unica.
4) nessuna delle altre risposte è esatta.



6.
Sia A appartenente M3,6 (R) (cio`e una matrice con tre righe e sei colonne) e si consideri il sistema lineare omogeneo Ax = 0. Allora:
1) il sistema ha sempre almeno una soluzione.
2) se ha soluzione, è unica.
3) non ha soluzioni.
4) nessuna delle altre risposte è esatta.



7.
Sia U contenuto in R3 il sottoinsieme definito dall’equazione 2x + 3y = 4.
Allora:
1) U non è un sottospazio vettoriale di R3 .
2) U è un sottospazio vettoriale di R3 di dimensione 0.
3) U è un sottospazio vettoriale di R3 di dimensione 3.
4) U è un sottospazio vettoriale di R3 di dimensione 2.
5) U è un sottospazio vettoriale di R3 di dimensione 1.



8.
Sia T un endomorfismo di uno spazio vettoriale V , B una base
di V ed A la matrice associata a T rispetto a questa base. Allora:
1) se A è quadrata, allora T non è iniettiva.
2) se A non è invertibile, allora T è suriettiva.
3) se B è una base di autovettori, allora A è diagonale.
4) se A è triangolare inferiore, allora T è un isomorfismo.



....

[Ziosilvio]

Domanda 1: risposta esatta.

Domanda 2: non confondere l'insieme vuoto con l'insieme il cui unico elemento è il vettore nullo. Applica la formula di Grassmann.

Domanda 3: ci devo pensare.

Domanda 4: risposta esatta.

Domanda 5: sistema AX=b con A a cinque righe e due colonne, vuol dire cinque equazioni in due incognite. Applica il teorema di Rouché e Capelli.

Domanda 6: la risposta dovrebbe essere ovvia.

Domanda 7: una sola equazione cartesiana in uno spazio di dimensione 3 identifica un...

Domanda 8: ricorda che le colonne della matrice sono le immagini dei vettori della base mediante l'applicazione lineare.

[cagnaluia]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Domanda 1: risposta esatta.

Domanda 2: non confondere l'insieme vuoto con l'insieme il cui unico elemento è il vettore nullo. Applica la formula di Grassmann.

... quindi è corretta la 1.


per la 5. invece... direi che la risp è la
3) se il sistema ha soluzione, è unica.

PS: ma se fosse Ax=0?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da cagnaluia

per la 5. invece... direi che la risp è la
3) se il sistema ha soluzione, è unica

Diresti male, perché niente impedisce al sistema di avere ad esempio la forma:

x-y=1
2x-2y=2
3x-3y=3
4x-4y=4
5x-5y=5

che... quante soluzioni ha?

PS: ma se fosse Ax=0?

Allora, sempre per via di Rouché e Capelli, basterebbe considerare il rango di A.

[cagnaluia]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Diresti male, perché niente impedisce al sistema di avere ad esempio la forma:

x-y=1
2x-2y=2
3x-3y=3
4x-4y=4
5x-5y=5

che... quante soluzioni ha?

Allora, sempre per via di Rouché e Capelli, basterebbe considerare il rango di A.

allora ne ha infinite.... se ne ha

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da cagnaluia

3.
Sia T appartenente L(R3,R3) un’applicazione lineare che abbia polinomio
caratteristico x(x2 + 1). Allora:
1) T è sicuramente diagonalizzabile.
2) T è sicuramente non invertibile.
3) T è diagonalizzabile se e solo se m.g.(?1) = 2.
4) T è diagonalizzabile se e solo se non è invertibile.

Che cosa succede se una matrice ha l'autovalore 0?

[cagnaluia]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Che cosa succede se una matrice ha l'autovalore 0?

è un bel problema.. sparisce il polinomio..

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da cagnaluia

sparisce il polinomio

Non necessariamente.