Aiuto su integrale!

Abbiamo cominciando ora a studiare gli integrali e cominciano i primi problemi

Questo ad esempio non saprei come risolverlo (o meglio, il risultato che mi viene non coincide con quello del testo! )

int (cos2x)/(sen^2x) dx = -cotgx -2x + k

(coseno di 2x fratto seno quadro di x)

A logica io ho provato a scomporre il cos2x con le forumle di duplicazione e poi eseguire i calcoli, solo che il risultato non è quello!

Quali sono i passaggi principali? Grazie mille!

[bravoragazzo]

scomponi cos2x= cos^2(x) - sin^2(x)


quindi hai due integrali:


cos^2(x)/sin^2(x) - sin^2(x)/sin^2(x)


Il primo di questi due, cioè cos^2(x)/sin^2x , lo scrivi come:

[1-sin^2(x)]/sin^2(x ) => 1/sin^2(x) - 1 che integrato da -cotgx - x


Il secondo sin^2(x)/sin^2(x), cioè 1, integrato da x, siccome c'è il meno davanti -x


quindi il risultato sommando è -cotgx - 2x + c


bye

Perfetto, capito tutto!

Questo invece come lo risolveresti?

(x^2 - 2)/(x - 1) = (x^2)/2 + x - ln|x-1| + k

[Ubi-Wan]

(x^2 - 2) consideralo come (x + 1)(x - 1) - 1, in questo modo hai

int {[(x + 1)(x - 1)]/(x - 1) -1/(x - 1)} dx
^^^^^^^^^^^^^^
semplifica (x - 1).

A questo punto il risultato e' ovvio. Basta ricordare poi che ln(f(x)) = [1/f(x)]f'(x)

Bene, andata anche questa!

Tutti questi "trucchetti" per vedere in modo diverso l'integrale non mi passano per la testa maledizione

Adesso vado a fare altri esercizi...non è escluso che troni presto sul forum

Grazie mille!

Possibile che non riesco a fare nemmeno questo? Sembra semplice!

int (x+3)/(x-2) = x+5ln|x-2| + k

ho pensato di vedere quel x+3 come x+5 -2 in modo da avere -2/(x-2) che non è altro che ln|x-2| +k

Ma il resto dei calcoli? Non quadrano

[Ubi-Wan]

La soluzione che hai proposto e' giusta, ma hai fatto degli errori...

x + 3 = x - 2 + 5

Quindi (x-2)/(x-2) lo semplifichi e l'integrale e' x
Ti rimane 5/(x-2) che non e' altro che 5ln|x-2|

Ma perchè 1/(x-2) integrato fa ln|x-2| ??

La regola non era f'(x)/f(x) = ln|f(x)| ?? Quindi la derivata di x-2 è -2, non 1!

Non capisco...

[Ubi-Wan]

veramente la derivata e' proprio 1
-2 e' una costante e quindi la sua derivata e' 0
Quindi rimane la derivata di x che e' 1.

Sono proprio stupido!!! Ho calcolato la derivata immaginaria -2x invece che x -2!!! L'ho scambiato per un prodotto...

Mamma mia...queste vacanze pasquali mi hanno rovinato

Nuovo problema! Non riesco a fare integrali di radici!

Come si risolve questa ad esempio:

integrale ( 1 + 9/4x )^1/2 (integrale di radice di uno + nove quarti x)

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da fabiomania87

Come si risolve questa ad esempio:

integrale ( 1 + 9/4x )^1/2 (integrale di radice di uno + nove quarti x)

Questa è facile: poni y = 1 + 9/4 x e integra per sostituzione.

A ecco, bisogna usare il metodo per sostituzione...che puntualmente la nostra prof non ci ha spiegato... (è l'unico che ci manca di fare...)

Non esistono altre vie?

Da quello che ho capito, tutti gli integrali di radici conviene risolverli x sostituzione...

[TALLA]

il metodo per sostituzione sarebbe più comodo...ma visto che non ve l'ha ancora insegnato devi considerare la funzione come elevata ad n (in questo caso 1/2)
tu sai che la soluzione di int x^n è uguale a (x^n + 1)/n+1

ad es se hai int x^2 = x^2+1/2+1 = cioè = x^3/3

nel tuo caso

(1 + 9/4x)^1/2 = ((1+9/4x)^3/2)/(3/2) +k

in pratica ti viene 2/3(1+9/4)^2/3 +k

cioè due terzi * radcubica di(1+9/4x)al quadrato + k

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da TALLA

(1 + 9/4x)^1/2 = ((1+9/4x)^3/2)/(3/2) +k

A secondo membro, oltre al d/dx hai dimenticato un fattore 4/9 che fa tornare i conti quando applichi la regola di derivazione della funzione composta.

Per inciso: il succo della regola di integrazione per sostituzione, è proprio questo.

No, non ho capito bene...dove salta fuori il fattore 4/9 ??

Ora che ci penso ho sempre usato il metodo di TALLA...

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da fabiomania87

dove salta fuori il fattore 4/9 ?

Nell'equazione che ho citato due post fa, se vuoi che il primo membro sia la derivata del secondo, devi moltiplicare quest'ultimo per 4/9, che se ne va via con il 9/4 che ottieni derivando (1 + 9/4 x) rispetto a x.

[TALLA]

Hai ragione zio silvio!che sbadato...

Essendo una funzione composta, facendone la derivata dovresti derivare prima la radice e moltiplicarla per la derivata dell'argomento

Nel tuo caso l'argomento è 9/4 x che derivato ti da 9/4....praticamente questo 9/4 te lo ritroveresti in più nella risoluzione dell'integrale,(che derivandola non ti darebbe l'integrale di partenza ma con un 9/4 in più) ed è per quello che lo elimini moltiplicandolo per il suo reciproco.

es: int (3x-1)^1/2 dx ==> (1/3 * ((3x-1)^3/2)/(3/2))

quel 1/3 serve proprio ad annullare la derivazione di quel 3x in più

Ok, ho capito. In pratica si utilizza la tecnica delle funzioni composte.

Ma mi sorge una domanda: e se l'argomento della radice è di secondo grado ad esempio? Come faccio a far comparire la sua derivata per applicare questa tecnica?

Non è chiara la mia domanda?

Voglio dire, un conto è se l'argomento della radice è di primo grado, allora la sua derivata è sicuramente una costante che si puè moltiplicar e dividere dentro e fuori dall'integrale e con la tecnica delle funzioni composte si risolve l'integrale.

Ma se l'argomento della radice è di grado superiore al primo, come faccio? La sua derivata contiene la x...non posso mica moltiplicare e dividere per la x!!

Spero di essere stato chiaro...