Somma di una Serie

[wacko]

Ragazzi volevo sapere se qualcuno poteva darmi una mano: Volevo sapere qual' è il metodo per trovare la somma di una serie di funzioni. Ovviamente non sarà un metodo universale ma di solito com si procede.

Ad esempio stavo cercando di trovare la somma di questa serie:



Grazie in anticipo per i consigli.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da wacko

Volevo sapere qual' è il metodo per trovare la somma di una serie di funzioni.

O si calcolano esplicitamente le somme parziali e si cerca il limite, oppure si cerca di ricondursi a una serie di cui si conosce la somma.

Per esempio, tu vuoi conoscere:

sum {k>=0} ((-1)^k x^(2k))/(2k+1)

La somma di questa serie non sai quant'è, però sai che per x tra -1 e 1 vale:

sum {k>=0} ((-1)^k x^(2k+1))/(2k+1) = atan x

Ora, osservi che:

((-1)^k x^(2k))/(2k+1) = (1/x)((-1)^k (x^(2k+1))/(2k+1)

Ne concludi che deve essere:

sum {k>=0} ((-1)^k x^(2k))/(2k+1) = (atan x)/x

[*nicola*]

Ovviamente parliamo di serie convergenti altrimenti la somma non può esistere ed essere finita.
Se puoi ricondurti alla serie geometrica x^n sai che la somma è data da 1/(1-x) (dove x può anche essere una funzione), questo vale solo se la serie converge quindi solo se -1<x<+1
Ci sono delle altre serie in cui i termini si elidono tra di loro e può capitare che resti solamente il primo e l'ultimo (n-esimo, poi fai il limite) termine.
Es:
a(1)=1-x
a(2)=x-x^1/2
a(3)=x^1/2-x^1/3
...
a(n)=x^1/(n-1)-x^1/n
In questo caso noti che quando sommi i termini alcuni di questi vanno via (es x^1/2) e alla fine rsta solo il primo e l'ultimo termine. La somma è allora 1+x^1/n. In questo caso fai il limite (n--> + inf) di 1+x^1/n=1+1=2

Qualuno mi dice (anche via mess privato volendo) come si scrivono le formule sul forum? Mi sento molto "limitato" senza questa conoscenza.

[Lucrezio]

Originariamente inviato da *nicola*

Ovviamente parliamo di serie convergenti altrimenti la somma non può esistere ed essere finita.
Se puoi ricondurti alla serie geometrica x^n sai che la somma è data da 1/(1-x) (dove x può anche essere una funzione), questo vale solo se la serie converge quindi solo se -1<x<+1
Ci sono delle altre serie in cui i termini si elidono tra di loro e può capitare che resti solamente il primo e l'ultimo (n-esimo, poi fai il limite) termine.
Es:
a(1)=1-x
a(2)=x-x^1/2
a(3)=x^1/2-x^1/3
...
a(n)=x^1/(n-1)-x^1/n
In questo caso noti che quando sommi i termini alcuni di questi vanno via (es x^1/2) e alla fine rsta solo il primo e l'ultimo termine. La somma è allora 1+x^1/n. In questo caso fai il limite (n--> + inf) di 1+x^1/n=1+1=2

Qualuno mi dice (anche via mess privato volendo) come si scrivono le formule sul forum? Mi sento molto "limitato" senza questa conoscenza.

Ma naturalmente con Latex!
Purtroppo Edivad ( ) non ha potuto implementarlo direttamente nel forum, ma si può utilizzare grazie al prodigioso servizio mimetex:
Per inserire una formula la sintassi è
[ IMG ]http://operaez.net/mimetex/"codice della formula in latex" [ /IMG ]
Chiaramente le parentesi vanno attaccate!
Ad esempio:

a cui corrisponde il codice latex
\int_{-\pi}^{\pi} \sin (nx) \sin (mx) dx = \delta_{n,m}
Per ulteriori dettagli prova a cercare "una mica tanto breve guida al latex" su google... è ottima e completa!

[*nicola*]

Grazie

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da Lucrezio

Ma naturalmente con Latex!
Purtroppo Edivad ( ) non ha potuto implementarlo direttamente nel forum, ma si può utilizzare grazie al prodigioso servizio mimetex:
Per inserire una formula la sintassi è
[ IMG ]http://operaez.net/mimetex/"codice della formula in latex" [ /IMG ]
Chiaramente le parentesi vanno attaccate!
Ad esempio:

a cui corrisponde il codice latex
\int_{-\pi}^{\pi} \sin (nx) \sin (mx) dx = \delta_{n,m}

MIO!!!
Comincerò a usarlo, e chissà, potrei mettere da parte il formato testo puro...

Per ulteriori dettagli prova a cercare "una mica tanto breve guida al latex" su google... è ottima e completa!

Meglio la versione in inglese "The Not So Short Introduction to LaTeX2e": quella italiana, non mi risulta sia molto aggiornata.

P.S.: non si scrive latex o Latex, ma LaTeX, con la Ti e la Chi maiuscole.
(E si legge: LA-tech: se no, è il materiale dei preservativi.)

[Lucrezio]

Originariamente inviato da Ziosilvio

MIO!!!
Comincerò a usarlo, e chissà, potrei mettere da parte il formato testo puro...

Meglio la versione in inglese "The Not So Short Introduction to LaTeX2e": quella italiana, non mi risulta sia molto aggiornata.

P.S.: non si scrive latex o Latex, ma LaTeX, con la Ti e la Chi maiuscole.
(E si legge: LA-tech: se no, è il materiale dei preservativi.)

Per iniziare quella italiana va già molto bene!
quella inglese è un po' più completa, ma una volta che uno sa già un po' muoversi è meglio -IMHO- cercare su qualche forum!
P.S.: LaTeX, Latex... che pignolo
P.P.S.: quella del materiale dei preservativi l'hai mica presa dalla guida?

[bicoccaboy]

io su latex ho quella inglese della mia prof di matlab... nn si capisce molto ed infatti devo dare ancora l'esame

[wacko]

Grazie a tutti per i consigli. Vediamo ke riesco a fare

[JL_Picard]

ma perchè prima di passare al software non provate a pensare un pochino...

(scusate lo sfogo, ma ai miei tempi i software non c'erano)...

ricordando lo sviluppo in serie...

arctg (x) = x - (x^3)/3 + (x^5)/5 -(x^7)/7 + ... =
= x [1 - (x^2)/3 + (x^4)/5 - ...]

L'espressione fra parentesi quadre corrisponde alla serie data...

per cui possiamo scrivere arctg (x) = x [ ]

quindi [ ] = arctg (x) / x

in cui [ ] è il limite dato...

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da JL_Picard

ricordando lo sviluppo in serie...

arctg (x) = x - (x^3)/3 + (x^5)/5 -(x^7)/7 + ...

'Azz... vero!!!
Purtroppo la mia formula l'avevo ricavata dall'espressione di Pigreco/4, in cui però il conto si fa per x=1, per cui vattelapesca se è x^k o x^(2k+1) o x^(13k+17) o che altro...

Correggo subito nel post originale.

[wacko]

Facendo esercizi sempre sulle serie ho visto una cosa del tipo:
(n+1)!!
Ma cosa vuol dire ? Doppio fattoriale ?

[*nicola*]

Si chiama semifattoriale, ad esempio 7!!=1*3*5*7 e 8!!=2*4*6*8 (si moltiplicano o i numeri pari o i numeri dispari a seconda del caso).
Nel tuo caso, essendo una serie, credo che una cosa del genere (n+1)!! sia un invito ad usare qualche criterio per semplificare con (n+1)! (penso sia possibile).

[wacko]

Ah capito. Grazie per la dritta

[ChristinaAemiliana]

Originariamente inviato da JL_Picard

ma perchè prima di passare al software non provate a pensare un pochino...

Quotone...

[Lucrezio]

Originariamente inviato da JL_Picard

ma perchè prima di passare al software non provate a pensare un pochino...

(scusate lo sfogo, ma ai miei tempi i software non c'erano)...

ricordando lo sviluppo in serie...

arctg (x) = x - (x^3)/3 + (x^5)/5 -(x^7)/7 + ... =
= x [1 - (x^2)/3 + (x^4)/5 - ...]

L'espressione fra parentesi quadre corrisponde alla serie data...

per cui possiamo scrivere arctg (x) = x [ ]

quindi [ ] = arctg (x) / x

in cui [ ] è il limite dato...

Chi ha parlato di software?

[ChristinaAemiliana]

Beh, io l'avevo presa come a dire che il troppo uso del software matematico impedisce di allenarsi a ragionare sugli esercizi...un discorso generale insomma, non specifico su questo esercizio...

[JL_Picard]

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana

Beh, io l'avevo presa come a dire che il troppo uso del software matematico impedisce di allenarsi a ragionare sugli esercizi...un discorso generale insomma, non specifico su questo esercizio...

stavolta il quotone è mio...

Il mio sfogo era proprio legato all'aspetto da te evidenziato...

Ai miei tempi DOVEVI arrangiarti (quando andava bene uno si faceva in casa i programmini per lo studio di funzioni sul Commodore 64...) e quindi certi esercizi erano una vera e propria palestra mentale...

Oggi basta inserire i dati nel programma (bello e pronto) e lui ti sforna la soluzione...

ma non da la stessa soddisfazione...

[fsdfdsddijsdfsdfo]

Originariamente inviato da JL_Picard

stavolta il quotone è mio...

Il mio sfogo era proprio legato all'aspetto da te evidenziato...

Ai miei tempi DOVEVI arrangiarti (quando andava bene uno si faceva in casa i programmini per lo studio di funzioni sul Commodore 64...) e quindi certi esercizi erano una vera e propria palestra mentale...

Oggi basta inserire i dati nel programma (bello e pronto) e lui ti sforna la soluzione...

ma non da la stessa soddisfazione...

ma finchè si è casa ok...
quello che mi fa incazzare sono le calcolatrici grafiche:
io mi sbatto per studiare e capire i problemi, quando alcuni basta che inseriscano la funzione e hanno TUTTO
Di denunciarli ai professori proprio non mi va, però o pensano problemi veramente intelligenti, ma dovrebbero sbattersi e non hanno voglia (molti adirittura riutilizzano i compiti senza neanche cambiare i dati), o tolgono la farsa di non poter usare le calcolatrici grafiche, almeno non ci prendiamo in giro.

[*nicola*]

Originariamente inviato da dijo

ma finchè si è casa ok...
quello che mi fa incazzare sono le calcolatrici grafiche:
io mi sbatto per studiare e capire i problemi, quando alcuni basta che inseriscano la funzione e hanno TUTTO
Di denunciarli ai professori proprio non mi va, però o pensano problemi veramente intelligenti, ma dovrebbero sbattersi e non hanno voglia (molti adirittura riutilizzano i compiti senza neanche cambiare i dati), o tolgono la farsa di non poter usare le calcolatrici grafiche, almeno non ci prendiamo in giro.

In questo caso sarebbe l'isegnante a dover premiare la capacità di ragionare e capire il problema anzichè risolverlo in un passaggio con la calcolatrice. Se il prof lascia usare le calcolatrici grafiche e queste sono utili per passare gli esami gli alunni fanno bene ad utilizzarle secondo me. E' colpa del prof in questo caso a mio parere.