rango di matrici con variabili

[DarkSiDE]

ho una matrice 3x4 che contiene h, variabile reale, devo calcolare per quali
valori di h la matrice assume rango massimo. Mi sono calcolato il
determinante di una sottomatrice 3x3 e l'ho posto diverso da zero,
presuppongo sia giusto.

La matrice è questa:

|2 2h+3 h 2h-3|
|-2 -1 1 3|
|2 h+2 -1 h|


bene, se scelgo 1 2 3 colonna otterrò h diverso da -1, se scelgo 1 3 4
colonna otterrò h diverso da -3 e -1. Dove sbaglio? Posso sapere a priori
quale combinazione di colonne (righe) mi conviene scegliere?

grazie :-)

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da DarkSiDE

se scelgo 1 2 3 colonna otterrò h diverso da -1, se scelgo 1 3 4 colonna otterrò h diverso da -3 e -1. Dove sbaglio?

Nel fatto che non consideri anche le altre due sottomatrici quadrate di ordine 3, ossia quella in cui prendi le colonne 1, 2, e 4, e quella in cui prendi le colonne 2, 3 e 4.
Infatti finora sai solo che se h=-1 allora due sottomatrici di ordine 3 hanno determinante nullo, mentre se h=-3 allora una di queste due sottomatrici ha determinante nullo e l'altra no. Quindi, l'unico valore possibile di h per cui la matrice ha rango inferiore a 3, è h=-1: ma per esserne certo, devi calcolare anche i determinanti delle altre due sottomatrici.

Posso sapere a priori quale combinazione di colonne (righe) mi conviene scegliere?

No.
Però puoi usare il Teorema di Kronecker per effettuare una ricerca "bottom-up" di una sottomatrice quadrata non singolare di ordine massimo.

[DarkSiDE]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Nel fatto che non consideri anche le altre due sottomatrici quadrate di ordine 3, ossia quella in cui prendi le colonne 1, 2, e 4, e quella in cui prendi le colonne 2, 3 e 4.
Infatti finora sai solo che se h=-1 allora due sottomatrici di ordine 3 hanno determinante nullo, mentre se h=-3 allora una di queste due sottomatrici ha determinante nullo e l'altra no. Quindi, l'unico valore possibile di h per cui la matrice ha rango inferiore a 3, è h=-1: ma per esserne certo, devi calcolare anche i determinanti delle altre due sottomatrici.

No.
Però puoi usare il Teorema di Kronecker per effettuare una ricerca "bottom-up" di una sottomatrice quadrata non singolare di ordine massimo.

perfetto, quindi deduco sia più conveniente applicare la fattorizzazione per calcolarmi il rango, un ultimo dubbio: trovare una sottomatrice quadrata di dimensione 3 non è sufficiente per stabilire che la matrice ha rango 3?

grazie mille

ps insegni, vero?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da DarkSiDE

perfetto, quindi deduco sia più conveniente applicare la fattorizzazione per calcolarmi il rango

Non ne sono sicurissimo, ma credo che in realtà anche questo dipenda dal rango e dalla dimensione della matrice.
(Però dovrei calcolare una complessità asintotica, e non mi va.)

trovare una sottomatrice quadrata di dimensione 3 non è sufficiente per stabilire che la matrice ha rango 3?

Trovare una sottomatrice quadrata di dimensione 3 con determinante diverso da zero è sufficiente per stabilire che la matrice ha rango maggiore o uguale a 3.

insegni, vero?

Anche.

[DarkSiDE]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Non ne sono sicurissimo, ma credo che in realtà anche questo dipenda dal rango e dalla dimensione della matrice.
(Però dovrei calcolare una complessità asintotica, e non mi va.)

Trovare una sottomatrice quadrata di dimensione 3 con determinante diverso da zero è sufficiente per stabilire che la matrice ha rango maggiore o uguale a 3.

Anche.

si, che cretino che sono, ho dimenticato "con determinante diverso da zero"