Meno per meno fa più???

[ygnoto]

Ho già letto qualcosuccia in giro, ma ho non ho ben appreso quello che era scritto, o era scritto male... Vi sarei grato se qualcuno potesse illuminarmi!!!



Grazie

[xenom]

da quello che ti insegnano a scuola - per - fa +, ma poi sai com'è, il 90% di quello che ti insegnano a sQuola è incompleto o filosoficamente errato

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da xenom

da quello che ti insegnano a scuola - per - fa +, ma poi sai com'è, il 90% di quello che ti insegnano a sQuola è incompleto o filosoficamente errato

Allora il "meno per meno fa più" è nell'altro 10%.

Il motivo è questo: si vuole che il prodotto tra numeri interi soddisfi almeno tutte le proprietà di quello tra numeri naturali, cioè la commutatività, l'associatività e la distributività.
Ora, se n è naturale, allora -n è intero negativo, ma -n = (-1)*n, perché sommando (-1)*n ed n=1*n si ottiene (-1+1)*n=0*n=0.
Allora, se m ed n sono naturali, allora (-n)*(-m)=(-1)*(-1)*n*m, e basta capire quanto fa (-1)*(-1).
D'altra parte, (-1)*(-1)=1 se e solo se (-1)*(-1)-1=0.
Ma (-1)*(-1)-1=(-1)*(-1)+(-1)*1=(-1)*(-1+1)=(-1)*0=0.

[gtr84]

c'è anche un nesso geometrico con la questione


se ho un punto di coordinate (-m;-n), con m ed n positivi,
su un sistema di coordinate cartesiane,

volendo calcolare l'area del rettangolo di estemi
(0;0) e (-m;-n) devo calcolare il prodotto
(-m)*(-n) che deve essere una quantità
positiva.

quindi
(-1)*m*(-1)*n=quantità positiva

quindi (-1)*(-1) = 1

[ygnoto]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Allora il "meno per meno fa più" è nell'altro 10%.

Il motivo è questo: si vuole che il prodotto tra numeri interi soddisfi almeno tutte le proprietà di quello tra numeri naturali, cioè la commutatività, l'associatività e la distributività.
Ora, se n è naturale, allora -n è intero negativo, ma -n = (-1)*n, perché sommando (-1)*n ed n=1*n si ottiene (-1+1)*n=0*n=0.
Allora, se m ed n sono naturali, allora (-n)*(-m)=(-1)*(-1)*n*m, e basta capire quanto fa (-1)*(-1).
D'altra parte, (-1)*(-1)=1 se e solo se (-1)*(-1)-1=0.
Ma (-1)*(-1)-1=(-1)*(-1)+(-1)*1=(-1)*(-1+1)=(-1)*0=0.

Non è che abbia capito tanto...

Scus ma non mi è chiaro il tutto, la commutatività è verificata anche se -5*-7=-35, no???

Il reto dei calcoli che hai scritto, non ne ho proprio capito il senso...

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da ygnoto

la commutatività è verificata anche se -5*-7=-35, no?

La commutatività, forse; l'associatività sicuramente no.
(Facendo (-5)*(-7)=-35, ti perdi per strada un fattore -1.)

[CioKKoBaMBuZzo]

Originariamente inviato da gtr84

c'è anche un nesso geometrico con la questione


se ho un punto di coordinate (-m;-n), con m ed n positivi,
su un sistema di coordinate cartesiane,

volendo calcolare l'area del rettangolo di estemi
(0;0) e (-m;-n) devo calcolare il prodotto
(-m)*(-n) che deve essere una quantità
positiva.

quindi
(-1)*m*(-1)*n=quantità positiva

quindi (-1)*(-1) = 1

no aspetta...il fatto che DEBBA essere positiva l'area non è una spiegazione...perchè se le coordinate fossero (-m;n) avresti (-1)*m*n = -mn
e l'area ti salta fuori negativa...il fatto che l'area debba essere positiva è il motivo per cui si usa il valore assoluto delle coordinate, ma non è una spiegazione per -1*(-1)=1

[CioKKoBaMBuZzo]

ma la spiegazione non potrebbe essere anche, per così dire, metamatematica? nel senso che io posso pensare: moltiplico un numero negativo per un numero negativo di volte, quindi il risultato sarà positivo.

cazzata?

[ygnoto]

Continuo a non esserne certo...

[gtr84]

Originariamente inviato da CioKKoBaMBuZzo

no aspetta...il fatto che DEBBA essere positiva l'area non è una spiegazione...perchè se le coordinate fossero (-m;n) avresti (-1)*m*n = -mn
e l'area ti salta fuori negativa...il fatto che l'area debba essere positiva è il motivo per cui si usa il valore assoluto delle coordinate, ma non è una spiegazione per -1*(-1)=1

la mia non è una dimostrazione, è solo un modo per ricordarsi
che -1*-1 = 1 è un'operazione sensata..

[CioKKoBaMBuZzo]

ah ok ho capito male allora

[gtr84]

Originariamente inviato da CioKKoBaMBuZzo

no aspetta...il fatto che DEBBA essere positiva l'area non è una spiegazione...perchè se le coordinate fossero (-m;n) avresti (-1)*m*n = -mn
e l'area ti salta fuori negativa...il fatto che l'area debba essere positiva è il motivo per cui si usa il valore assoluto delle coordinate, ma non è una spiegazione per -1*(-1)=1

la mia non è una dimostrazione, è solo un modo per ricordarsi
che -1*-1 = 1 è un'operazione sensata..

[*sasha ITALIA*]

non c'ho capito na sega

Voi o siete malati, o dannatamente GENI

[Fradetti]

la matemaitca è piena di cose che a meno che tu non sia una specie di genio o tu non faccia facoltà tipo informatica, fisica o matematica devi prendere come dati di fatto.

uno dei tanti dati di fatto è che un due cose (lettere numeri etc.) negative moltiplicate tra di loro danno un risultato positivo.

[ygnoto]

Originariamente inviato da Fradetti

la matemaitca è piena di cose che a meno che tu non sia una specie di genio o tu non faccia facoltà tipo informatica, fisica o matematica devi prendere come dati di fatto.

uno dei tanti dati di fatto è che un due cose (lettere numeri etc.) negative moltiplicate tra di loro danno un risultato positivo.

Ma ti rendi conto di quello che hai detto...

La cosa che poi non mi convince molto è che per ottenere un quadrato negativo lo si può ottenere solo con gli immaginari:

- * - = +
+ * + = +

i * i = -

Scusa ma per proprietà associativa e distributiva, che si intende???

Mi sapreste passare qualche cosa a riguardo, please...

Grazie

[idum]

Ma è facile da capire no?
Associativa: se io te meno e poi te rimeno te fa male de meno o de più? de più! quindi associa: meno * meno = de più

[xxxyyy]

Originariamente inviato da idum

Ma è facile da capire no?
Associativa: se io te meno e poi te rimeno te fa male de meno o de più? de più! quindi associa: meno * meno = de più

Me coijoni....
CAPOLAVORO!

[VegetaSSJ5]

Originariamente inviato da idum

Ma è facile da capire no?
Associativa: se io te meno e poi te rimeno te fa male de meno o de più? de più! quindi associa: meno * meno = de più

non fa una piega! bravo!

[AleX_ZeTa]

temo che non sarò troppo chiaro per chi non ha mai visto nulla di queste cose, ma non sono paricolarmente difficili, basta ragionarci un po'. Il tentativo è quello di essere il più completo possibile. Purtroppo in matematica di cose banali (nel senso che si dimostrano in due righe a partire da zero, o quasi) ce ne sono poche

Definiamo prima le proprietà che poi useremo:
(con +,* intendo due generiche operazioni, non necessariamente somma e prodotto)
COMMUTATIVA: a + b =b + a
ASSOCIATIVA: a + (b + c) = (a + b) + c
DISTRIBUTIVA (di * rispetto a +): a * (b + c) = (a * b) + (b * c)

Prendiamo ora i numeri Naturali:
sono definiti dagli Assiomi di Peano (http://it.wikipedia.org/wiki/Assiomi_di_Peano)
che riassumo brevemente in:
- esiste un elemento minimo: lo 0
- ogni elemento ha un unico successore (in pratica 5 ha come successore 6)
- ogni elemento, escluso lo 0, è successore di un unico numero naturale (6 è successore di 5)
- è totalmente ordinato: se m,n sono due numeri naturali, allora si può dire qual è il maggiore dei due (cosa che non si può fare in altri insiemi... prova a prendere due punti del piano, in base a cosa dici che uno è maggiore dell'altro?)

Definiamo ora due operazioni su N: + e *
prima la SOMMA:
la definizione "vera" di somma è fondata sulla teoria degli insiemi e su una particolare costruzione di N. Io ne do una definizione - poco formale - ma più comprensibile:
siano m,n due numeri naturali. Definiamo k = n + m :
la definiamo attraverso una sorta di "ciclo": aumento n di 1 (prendo il successore, che esiste ed è unico dagli assiomi) e diminuisco m di 1 (prendo il precedente etc...) finché m non fa 0. A questo punto il numero che ho ottenuto aumentando n è proprio k. Per intenderci (m=3, n=2):
3 + 2
4 + 1
5 + 0
quindi k = 5
E' facile vedere che la somma è associativa e commutativa

definiamo ora il PRODOTTO:
k = m * n
Anche qui la definizione formale è più complicata, cerchiamo solo di capire di cosa si parla: faccio come prima, solo che ora ho già definito la somma. Quindi aumento m di m e diminuisco n di 1, fino a 1.
Esempio (m=3, n=4):
3 * 4
6 * 3
9 * 2
12 * 1
quindi k = 12
Anche qui è facile vedere che il prodotto è associativo, commutativo E distributivo rispetto alla somma (3 * (2 + 1) = 3*2 + 3*1)

E fin qua abbiamo definito solo i naturali. Per passare ai numeri interi (Z) la transizione non è banale. Vediamo se riesco ad essere non troppo complicato:

prendiamo tutte le coppie di numeri interi (m,n). Da questo grosso insieme ora vogliamo ricavare Z. Qual è l'idea? L'idea è di dire che un numero intero z è definito dalla coppia (m,n) nel modo "banale": z = m - n.
Ma qua sorge già un problema: la definizione non è unica. Ad esempio -2 si può scrivere come 4 - 6, ma anche come 0 - 2. Quindi le coppie (4,6) e (0,2) rappresenterebbero lo stesso numero. Dobbiamo risolvere questo problema (in termini formali vogliamo "quozientare rispetto ad una relazione di equivalenza). Beh allora diciamo che due coppie (m,n) e (m',n') rappresentano lo stesso numero (che chiameremo z) se e solo se m + n' = n + m', cioè se m - n = m' - n'
in questo modo abbiamo il nostro numero z.
Definiamo ora le due operazioni: la SOMMA è banale:
sia z=(a,b) e w=(c,d) [due qualsiasi coppie di naturali la cui differenza faccia rispettivamente z e w]
allora z + w = (a + c, b + d)
Così abbiamo esteso la somma sui naturali a quella sugli interi. E' ancora associativa e commutativa (segue dalle proprietà sui naturali).

Ora il PRODOTTO (e siamo finalmente arrivati a quel - * - = +). Questo è più difficile. L'idea è di utilizzare la stessa costruzione usata per i naturali, con qualche piccola differenza.
Siano z = (a,b) e w = (c,d). Vogliamo x = z * w = (a,b) * (c,d) = (e,f)
Cerchiamo quindi questi (e,f)
Vogliamo che il prodotto abbia tutte le proprietà che ha sui naturali: associativa, commutativa e distributiva rispetto alla somma.
Inoltre gli interi contengono tutti i naturali: a = a - 0, quindi tutte le coppie (a,0) e quelle ad esse equivalenti rappresentano numeri naturali. E sui naturali il prodotto lo so fare!
quindi, siano due naturali a = (a,0) e b = (b,0) so che il loro prodotto è a*b = (a*b, 0). Quindi definisco (a,0) * (b,0) = (a*b,0)
Ora, per quanto detto sopra, so che (a,0) = (a + b, b) = (a, 0) + (b, 0) + (0, b)
quindi (a,0)*(c,0) = (a + b, b)*(c,0) = [(a,0) + (b, 0) + (0, b)] * (c,0) = (a*c,0) + (b*c,0) + (0,b)*(c,0)
ma so anche che (a,0)*(c,0) = (a*c,0)
quindi (a*c,0) + (b*c,0) + (0,b)*(c,0) = (a*c,0)
se ne deduce banalmente che (b*c,0) + (0,b)*(c,0) = 0 = (x,x) [x -x = 0...]
quindi possiamo porre (0,b)*(c,0) = (0,b*c)

abbiamo quindi definito i due prodotti di base:
(a,0) * (b,0) = (a*b, 0)
(0, a) * (b, 0) = (0, a*b)

segue anche che (0,a) * (0,b) = (a*b,0)
infatti: (0, a) = (a, 2a)
segue che: (0,a)*(0,b) = [(a,0) + (0,a) + (0,a)]*(0,b) = (0, a*b) + (0,a)*(0,b) + (0,a)*(0,b)

quindi: 0 = (x,x) = (0, a*b) + (0,a)* (0,b)
come sopra possiamo quindi porre (0,a)*(0,b) = (a*b,0)

con questi ingredienti il prodotto è completamente definito e soddisfa le 3 proprietà (è stato ricavato grazie ad esse, cmq basta fare un semplice controllo).

E da questo discende il famoso - * - = +
infatti possiamo scrivere -1 come (0,1)
beh allora (-1)*(-1) = (0,1) * (0,1) = (1*1,0) = (1,0) = +1


note finali: la trattazione che ho fatto è decisamente troppo formale e profonda per la richiesta iniziale, ma credo che sia bene vedere alcune cose, almeno una volta. Di dimostrazioni intuitive ne erano state già fornite, e se si poteva avere dubbi sulla correttezza di esse, è più difficile averne sulla trattazione assiomatica (che è però di comprensione indubbiamente più ostica). E' sicuramente necessario uno sforzo, ma può essere utile vedere che anche le cose apparentemente più elementari possono essere tutt'altro che banali. Quello che ho scritto è incompleto e non del tutto corretto/formale, ma questo avrebbe richiesto conoscenze ben più profonde della semplice intuizione matematica (anche se mi sarei risparmiato molto lavoro^^).

[ygnoto]

Originariamente inviato da AleX_ZeTa

note finali: la trattazione che ho fatto è decisamente troppo formale e profonda per la richiesta iniziale, ma credo che sia bene vedere alcune cose, almeno una volta. Di dimostrazioni intuitive ne erano state già fornite, e se si poteva avere dubbi sulla correttezza di esse, è più difficile averne sulla trattazione assiomatica (che è però di comprensione indubbiamente più ostica). E' sicuramente necessario uno sforzo, ma può essere utile vedere che anche le cose apparentemente più elementari possono essere tutt'altro che banali. Quello che ho scritto è incompleto e non del tutto corretto/formale, ma questo avrebbe richiesto conoscenze ben più profonde della semplice intuizione matematica (anche se mi sarei risparmiato molto lavoro^^).

No, sei stato gentilissimo e chiarissimo, perchè mi mancavano le basi su cui gettare le dimostrazioni, io non mi accontento di avere la dimostrazione scritta, la devo capire dal principio...

Grazie mille, ti sono debitore