[ANALISI] Studio di funzione...Urgente!!

[svarionman]

Avendo da studiare il comportamento di una funzione del genere:
y=ln([x]-2) + 1/(x-2) dove ho indicato con [ ] un valore assoluto e con ln un logaritmo naturale, come mi devo comportare per cercare di trovare i punti in cui la funzione interseca l'asse delle x?
Infatti ponendo la funzione uguale a 0, io arrivo a E elevato a (1/(x-2)) = (1/([x]-2)) e a quseto punto cosa dovrei fare, procedere per via grafica intersecanco le due funzioni?
Qual'è il grafico di y=1/([x]-2)?
Spero che qualcuno mi dia una mano che ho il cervello in fumo, grazie...

[Lucrezio]

Originariamente inviato da svarionman

Avendo da studiare il comportamento di una funzione del genere:
y=ln([x]-2) + 1/(x-2) dove ho indicato con [ ] un valore assoluto e con ln un logaritmo naturale, come mi devo comportare per cercare di trovare i punti in cui la funzione interseca l'asse delle x?
Infatti ponendo la funzione uguale a 0, io arrivo a E elevato a (1/(x-2)) = (1/([x]-2)) e a quseto punto cosa dovrei fare, procedere per via grafica intersecanco le due funzioni?
Qual'è il grafico di y=1/([x]-2)?
Spero che qualcuno mi dia una mano che ho il cervello in fumo, grazie...

Direi che la soluzione per via grafica è l'unica possibilità...
ln([x]-2) è simmetrica rispetto all'asse y, definita per x>2 e x<-2, è come il grafico del logaritmo traslato di 2 a destra nella parte positiva, poi specchi.
1/(x+2) è una funzione omografica, ovvero un'iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi coordinati; tali asintoti sono y=0 e x=2.

[svarionman]

Grazie mille...
quindi i punti delle le funzioni ln([x]-2) e -1/(x+2) si intersecano sono quelli in cui la funzione passa dall'asse delle x? Ho messo il meno alla seconda funzione perchè l'ho portata a destra dell'uguale per poter dividere la funzione originaria nelle due, è giusto?

[lowenz]

Originariamente inviato da svarionman

Grazie mille...
quindi i punti delle le funzioni ln([x]-2) e -1/(x+2) si intersecano sono quelli in cui la funzione passa dall'asse delle x? Ho messo il meno alla seconda funzione perchè l'ho portata a destra dell'uguale per poter dividere la funzione originaria nelle due, è giusto?

yes

[svarionman]

E per vedere dove la funzione è positiva e dove negativa devo sempre ragionare per via grafica? E in che modo?

[lowenz]

Originariamente inviato da svarionman

E per vedere dove la funzione è positiva e dove negativa devo sempre ragionare per via grafica? E in che modo?

per le x per le quali la prima funzione è maggiore della seconda la funzione originale è positiva, viceversa è negativa

[JL_Picard]

Stai procedendo in modo disordinato.

Per prima cosa levati di torno il valore assoluto.

per x>0 |x| = x

per x>0 |x| = -x

così ora devi studiare due funzioni:

per x >0 devi studiare Y = ln (x-2) + 1 / (x-2)

questa funzione è definita per x > 2
(l'argomento del logaritmo deve essere maggiore di zero)

y' = 1 / (x-2) - 1 / (x-2)^2

y' = 0 per x=3 (dopo facili calcoli)

y (3) = 1

Lim y (x) per x tendente a 2 (da destra) è uguale a più infinito

Lim y (x) per x tendente a infinito = più infinito

Quindi la funzione non interseca mai l'asse x e presenta un minimo relativo per x = 3

per x<0 devi studiare y = ln (-x-2) + 1 / (x-2)

questa funzione è definita per x < -2
(sempre perchè l'argomento del logaritmo dev'essere positivo)

Lim y (x) per x tendente a -2 (da sinistra) = - infinito

Lim y (x) per x tendente a - infinito = + infinito

y' = (-1) / (-x-2) - 1 / (x-2)^2

è possibile dimostrare che per ogni x < -2 ...y' è minore di zero

Quindi la funzione non ammette massimi/minimi relativi

Inoltre per il teorema degli zeri interseca necessariamente l'asse x

Puoi agevolmente restringere l'intervallo in cui cercare tale intersezione, rilevando che:

y (-3) = ln (1) + 1 (-3-2) = 0 - 1/5 = - 0.20

y (-4) = ln (2) + 1 / (-4-2) = ln 2 - 1/6 = 0.5265...

[svarionman]

Grazie a tutti !