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[giannola]

Originariamente inviato da giannola

lascia quella io mi riferivo a (xy - senxy) / (x^2 + y^2)

facendo il calcolo per la differenziabilità.
mi viene una moltiplicazione di limiti uno->0 e l'altro->+infinito.
una forma di indecisione.
Ti avevo pure detto che avevo provato ad usare de l'hospital sulla restrizione h=k e mi dava +/-infinito.
Tu mi hai detto che hai provato a usare i polinomi di taylor e ti veniva zero.
Allora io ho controllato le derivate parziali, che danno zero nell'origine ed esistono in tutto R^2.

mi basterebbe che qualcuno mi dicesse se sono sulla strada giusta

[giannola]

Originariamente inviato da Verro

Lo so, praticamente è una cazzata, ma non riesco a "studiare" questa funzione...non c'è qualche anima pia che mi trova Dominio, Positività, limiti, derivate, flessi, crescenza, decrescenza e asintoti della seguente funzione??

Y= (3x-1)/(x+2)

Grazie!!!

intanto guarda l'insieme di definizione.
per x=-2 la y nn è definita, se fai limite destro e limite sinistro vedrai che y tende a infinito, una volta col segno più una col segno meno.
Vuol dire che c'è un asintoto verticale.
y=0 per x=1/3 ed abbiamo trovato uno zero.
Per x-> a infinito y->3 quindi c'è anche un asintoto orizzontale.
Per x=0 y=-1/2
Facendo y' noterai che il numeratore è un numero quindi è costante ovvero la derivata è sempre crescente (nn è mai zero) ragion per cui nn ti puoi aspettare nei punti interni della funzione dei minimi, dei massimi o dei flessi.
Nei punti in cui è definita la f è strettamente crescente.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da giannola

io mi riferivo a (xy - senxy) / (x^2 + y^2)

Vista adesso per la prima volta.

facendo il calcolo per la differenziabilità.
mi viene una moltiplicazione di limiti uno->0 e l'altro->+infinito.
una forma di indecisione.
Ti avevo pure detto che avevo provato ad usare de l'hospital sulla restrizione h=k e mi dava +/-infinito.
Tu mi hai detto che hai provato a usare i polinomi di taylor e ti veniva zero.
Allora io ho controllato le derivate parziali, che danno zero nell'origine ed esistono in tutto R^2.

Allora: se esistono e sono continue le derivate parziali nel punto, allora la funzione è differenziabile nel punto.
Solo che io sono pigro, e di starmi a studiare le derivate prime non mi andava; così, ho fatto in un altro modo.

E' fuori di dubbio che, se il limite della funzione nell'origine esiste, è 0, perché la funzione si annulla sugli assi.
Passa in coordinate polari: fai presto a vedere che, per valori di theta diversi da k Pi/2, il limite per rho che tende a 0 esiste e vale 0. Fin qui, OK.
Poi: a te, per la differenziabilità nell'origine, bastano le derivate parziali prime nell'origine, le quali però non possono che essere nulle.
Allora tu hai che:

se e solo se

o, passando in coordinate polari,

e quest'ultimo limite non deve dipendere da theta.

Ora, dallo sviluppo in serie di Taylor del seno si ha che t-sin(t) va a zero come t^3: ma allora, t^2-sin(t^2) va a zero come t^6. Quindi, l'ultimo limite è 0 quale che sia theta.

[giannola]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Vista adesso per la prima volta.

Allora: se esistono e sono continue le derivate parziali nel punto, allora la funzione è differenziabile nel punto.
Solo che io sono pigro, e di starmi a studiare le derivate prime non mi andava; così, ho fatto in un altro modo.

E' fuori di dubbio che, se il limite della funzione nell'origine esiste, è 0, perché la funzione si annulla sugli assi.
Passa in coordinate polari: fai presto a vedere che, per valori di theta diversi da k Pi/2, il limite per rho che tende a 0 esiste e vale 0. Fin qui, OK.
Poi: a te, per la differenziabilità nell'origine, bastano le derivate parziali prime nell'origine, le quali però non possono che essere nulle.
Allora tu hai che:

se e solo se

o, passando in coordinate polari,

e quest'ultimo limite non deve dipendere da theta.

Ora, dallo sviluppo in serie di Taylor del seno si ha che t-sin(t) va a zero come t^3: ma allora, t^2-sin(t^2) va a zero come t^6. Quindi, l'ultimo limite è 0 quale che sia theta.

Ok, allora dunque sei giunto alla mia stessa conclusione.
Io lungi dall'usare lo sviluppo in serie di Taylor (che mi sta pure sui maroni) mi sono calcolato le derivate nel punto (0,0), che ovviamente sono uguali a zero.
Poi ho fatto le generiche derivate parziali e ho visto che essendo il denominatore nullo solo per (0,0) esse esistono e sono continue per tutti i valori <> (0,0).
Quindi la f è differenziabile.
Grazie ciao.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da giannola

mi sono calcolato le derivate nel punto (0,0), che ovviamente sono uguali a zero.
Poi ho fatto le generiche derivate parziali e ho visto che essendo il denominatore nullo solo per (0,0) esse esistono e sono continue per tutti i valori <> (0,0).

E però questo non ti basta: devi anche avere che il limite in (0,0) delle derivate parziali deve essere zero, altrimenti non puoi concludere che f è differenziabile in (0,0).
L'hai fatto 'sto controllo?

[giannola]

Originariamente inviato da Ziosilvio

E però questo non ti basta: devi anche avere che il limite in (0,0) delle derivate parziali deve essere zero, altrimenti non puoi concludere che f è differenziabile in (0,0).
L'hai fatto 'sto controllo?

ma se le derivate parziali calcolate in (0,0) danno zero a che mi serve calcolare il limite in (0,0) delle derivate parziali per (x,y) <> (0,0) ?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da giannola

ma se le derivate parziali calcolate in (0,0) danno zero a che mi serve calcolare il limite in (0,0) delle derivate parziali per (x,y) <> (0,0) ?

Perché una cosa è il valore della derivata parziale in un punto, e un'altra è il limite dei valori della derivata parziale.
Se queste due cose coincidono, e se questo succede per tutte le derivate parziali, allora puoi concludere che la funzione è differenziabile. Altrimenti, no.

[pietro84]

Originariamente inviato da pietro84

ok.
allora forse ho capito come si potrebbe dimostrare.
come hai detto prima posso scrivere 0 invece che f(x0).
quindi esiste un punto x0 tale che f(x)<0 se x>x0 e f(x)>0 se x<x0 in un intorno di x0.
perciò calcolando il limite per x--->x0 si ha che il limite sinistro l- è >=0 e il limite destro l+ è <=0 quindi essendo la funzione continua deve necessariamente essere l+=l-=0
così va un po meglio?!

piccolo uppino.... ZioSilviooooo ( )

[giannola]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Perché una cosa è il valore della derivata parziale in un punto, e un'altra è il limite dei valori della derivata parziale.
Se queste due cose coincidono, e se questo succede per tutte le derivate parziali, allora puoi concludere che la funzione è differenziabile. Altrimenti, no.

ho capito ma se il limite della funzione in (0,0) è già prolungato per continuità = 0 e dunque le derivate sono nulle in tale punto che bisogno ho di provare a farne il limite, visto che andrebbe in 0/0 ?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da giannola

se il limite della funzione in (0,0) è già prolungato per continuità = 0 e dunque le derivate sono nulle in tale punto

Questo è un non sequitur: il valore di una funzione in un punto non ha a priori niente a che vedere col valore di una sua derivata nello stesso punto.

che bisogno ho di provare a farne il limite, visto che andrebbe in 0/0 ?

Finora, tutto quello che puoi dire è che le derivate parziali convergono a zero lungo gli assi.
A te, invece, serve la convergenza da qualunque direzione, che è una condizione molto più severa.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da pietro84

ZioSilviooooo

Come ti ho già detto: non sono sicuro che l'avere f(a)>0 ed f(b)<0, implichi l'esistenza di un punto x0 in (a,b) tale che f(x)>0 in un suo intorno sinistro e f(x)<0 in un suo intorno destro; e ho il libro dei controesempi a svariate migliaia di chilometri di distanza.
Io faccio quello che posso, ma tu porta pazienza!

[giannola]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Questo è un non sequitur: il valore di una funzione in un punto non ha a priori niente a che vedere col valore di una sua derivata nello stesso punto.

scusa ma se una funzione è zero, la derivata di zero è zero.

Finora, tutto quello che puoi dire è che le derivate parziali convergono a zero lungo gli assi.
A te, invece, serve la convergenza da qualunque direzione, che è una condizione molto più severa.

ho fatto anche la derivata direzionale e mi da zero, per t che tende a zero.
Adesso mi basta ?


P.S. veramente io avrei scritto per chiedere un aiuto ed invece mi sono ritrovato a far tutto da solo.

[pietro84]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Come ti ho già detto: non sono sicuro che l'avere f(a)>0 ed f(b)<0, implichi l'esistenza di un punto x0 in (a,b) tale che f(x)>0 in un suo intorno sinistro e f(x)<0 in un suo intorno destro; e ho il libro dei controesempi a svariate migliaia di chilometri di distanza.
Io faccio quello che posso, ma tu porta pazienza!

ah ok, pensavo che non avessi visto il post.....

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da giannola

se una funzione è zero, la derivata di zero è zero.

Qui però hai una funzione che è zero lungo gli assi e in qualche altro punto, ma non su tutto il piano.

ho fatto anche la derivata direzionale e mi da zero, per t che tende a zero.
Adesso mi basta ?

Purtroppo no: esistono funzioni che hanno la derivata direzionale in tutte le direzioni, ma che non sono nemmeno continue!

[giannola]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Qui però hai una funzione che è zero lungo gli assi e in qualche altro punto, ma non su tutto il piano.

Purtroppo no: esistono funzioni che hanno la derivata direzionale in tutte le direzioni, ma che non sono nemmeno continue!

bene così invece di chiarire ho solo più confusione.
Invece di risolvere il problema si è solo complicato.


Come caspita si dovrebbe risolvere allora ?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da giannola

Invece di risolvere il problema si è solo complicato.

Il problema ha una "complicatezza" di suo, contro la quale non si può fare niente.

Come caspita si dovrebbe risolvere allora ?

Il metodo che ho usato io è uno di quelli possibili.
Dopotutto, a te interessa solo che esistano due costanti, a e b, per le quali

Tu, poi sai che, se a e b esistono, allora f ammette derivate parziali nell'origine e:

C'è poi il teorema che dice che, se f ammette derivate parziali in un intorno dell'origine e se tali derivate parziali sono continue nell'origine, allora il limite di prima esiste e vale effettivamente zero.
Non c'è, invece, nessun risultato che ti dica che, se la funzione ammette derivate parziali in tutte le direzioni, allora è differenziabile; e l'errore nel tuo procedimento sta proprio qui. E dopotutto, se ci pensi, (x,y) non è obbligato a tendere a (0,0) rimanendo su una retta, che è la cosa che supponi quando fai il limite delle derivate parziali: potrebbe seguire una sinusoide, una parabola, o quant'altro.

[giannola]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Il problema ha una "complicatezza" di suo, contro la quale non si può fare niente.

Il metodo che ho usato io è uno di quelli possibili.

quale metodo ? il polinomio di taylor ?
ma quello nn dava zero come risultato indipendentemente da theta ?

Originariamente inviato da Ziosilvio

Dopotutto, a te interessa solo che esistano due costanti, a e b, per le quali

Tu, poi sai che, se a e b esistono, allora f ammette derivate parziali nell'origine e:

C'è poi il teorema che dice che, se f ammette derivate parziali in un intorno dell'origine e se tali derivate parziali sono continue nell'origine, allora il limite di prima esiste e vale effettivamente zero.
Non c'è, invece, nessun risultato che ti dica che, se la funzione ammette derivate parziali in tutte le direzioni, allora è differenziabile; e l'errore nel tuo procedimento sta proprio qui. E dopotutto, se ci pensi, (x,y) non è obbligato a tendere a (0,0) rimanendo su una retta, che è la cosa che supponi quando fai il limite delle derivate parziali: potrebbe seguire una sinusoide, una parabola, o quant'altro.

e io alla prof che dico che il problema è insolubile?
che nn si può dire se è differenziabile o meno perchè il problema ha una "complicatezza" di suo ?

[8310]

Originariamente inviato da giannola

Mi riferivo al nome del docente...non fai imgegneria a Pa?

[giannola]

Originariamente inviato da 8310

Mi riferivo al nome del docente...non fai imgegneria a Pa?

si ma io frequento l'albanese.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da giannola

quale metodo ? il polinomio di taylor ?

E tutto quello che viene prima, ossia:
- verifichi che f è infinitesima nell'origine;
- osservi che f ha derivati parziali nell'origine, e che tali derivate sono nulle;
- deduci che la differenziabilità di f nell'origine si riconduce all'essere nullo un certo limite;
- passi in coordinate polari;
- usi lo sviluppo di Taylor di una opportuna funzione di rho per dimostrare che il limite per rho-->0 è zero.

ma quello nn dava zero come risultato indipendentemente da theta ?

Certo: ed è proprio quello che serve a te.