[Analisi Probabilistica] Somma di Variabile Aleatorie e di Medie

[luxorl]

Salve avendo questo problema:

Un sistema prevede che una CPU esegua processi allocati su 2 ready queues distinte ed indipendenti, svuotando prima l’una e poi l’altra coda (ciclicamente).

Da un monitoraggio HW risulta che: la durata media di “attività continua” della CPU sulla prima coda è pari a 40msec, mentre sulla seconda è 80msec.

Tralasciando di considerare gli intervalli di ozio forzato della CPU, si chiede di:

ricavare la funzione di distribuzione della durata del ciclo di attività della CPU.

L'esercitatore lo ha svolto utilizzando l'integrale di convoluzione, però io so che avendo la media di due variabili aleatorie X e Y e quindi conoscendo:

E[X] nel mio caso = 40ms
E[Y] nel mio caso = 80ms

La media di E[X+Y] = E[X] + E[Y]

Quindi non posso definirmi la variabile aleatoria Z che è la somma di X + Y. E trovarmi la sua media come

E[Z]=E[X]+E[Y] e quindi nel mio caso = 120ms

e di conseguenza estrarmi il parametro della distribuzione esponenziale come

u = 1 / 120ms ?

e quindi la distribuzione

Fz(t)=1-e^-ut

E' sbagliato procedere così? perché? l'unico modo è attraverso l'integrale di convoluzione perché i due parametri u (1/40 e 1/80) sono diversi?

Grazie

[Ziosilvio]

Queste domande andrebbero fatte nel thread in evidenza (ce l'ho in firma).

Comunque:
Se vuoi sapere se sia vero in generale che la somma di due variabili aleatorie esponenziali indipendenti abbia anch'essa una distribuzione esponenziale, la risposta è no.
In generale, se X e Y sono non solo esponenziali indipendenti ma anche identicamente distribuite, allora X+Y segue una distribuzione Gamma di parametri (2,1/m) dove m è il valore atteso delle due variabili.
Invece, è il minimo tra X e Y ad avere distribuzione esponenziale; in questo caso però è il parametro ad essere la somma dei parametri, e non la media ad essere la somma delle medie.
Almeno, così dice Wikipedia.

[luxorl]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Queste domande andrebbero fatte nel thread in evidenza (ce l'ho in firma).

Comunque:
Se vuoi sapere se sia vero in generale che la somma di due variabili aleatorie esponenziali indipendenti abbia anch'essa una distribuzione esponenziale, la risposta è no.
In generale, se X e Y sono non solo esponenziali indipendenti ma anche identicamente distribuite, allora X+Y segue una distribuzione Gamma di parametri (2,1/m) dove m è il valore atteso delle due variabili.
Invece, è il minimo tra X e Y ad avere distribuzione esponenziale; in questo caso però è il parametro ad essere la somma dei parametri, e non la media ad essere la somma delle medie.
Almeno, così dice Wikipedia.

Ti ringrazio per la risposta, però mi sfugge allora quando si possono applicare queste formule che mi ritrovo nella dispensa:



Forse il mio errore è concettuale, nel senso che E[X+Y] non sarà il valore atteso di una Variabile aleatoria definita come X+Y... ammetto di essere un po' confuso

[Ziosilvio]

Le formule utili valgono sempre.
Tu però supponevi anche che la somma di due variabili aleatorie con distribuzione esponenziale abbia anch'essa distribuzione esponenziale, e questo in generale non è vero.
D'altronde, non è possibile dedurre la distribuzione avendo il valore atteso come unica informazione...

[luxorl]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Le formule utili valgono sempre.
Tu però supponevi anche che la somma di due variabili aleatorie con distribuzione esponenziale abbia anch'essa distribuzione esponenziale, e questo in generale non è vero.
D'altronde, non è possibile dedurre la distribuzione avendo il valore atteso come unica informazione...

Penso di aver capito. Ti ringrazio.