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[Bandit]

Originariamente inviato da gtr84

Come si risolve questo? Io mi sono arrugginito


Int(da -inf a +inf) [ (1-cos(x t))/x^2]


ovviamente il differenziale è dx.



Ho provato a calcolarlo con il Mathematica ma
dice che la funzione non converge? Non
è vero perchè al numeratore la funzione è limitata
mentre 1/x^2 converge a zero

vado con una specie di ricordo, non è che devi provare con taylor?

[gtr84]

Originariamente inviato da Bandit

vado con una specie di ricordo, non è che devi provare con taylor?

Il problema è che gli estremi di integrazione non sono finiti

[Bandit]

per parti hai provato? mettendo ad esempio 1/x * cos()/x

[gtr84]

L'ho fatto con il Mathematica

esce 2*Pi*t. Prima non convergeva perchè non avevo posto
t come parametro

[Bandit]

Originariamente inviato da gtr84

L'ho fatto con il Mathematica

esce 2*Pi*t. Prima non convergeva perchè non avevo posto
t come parametro

ok, meno male

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da gtr84

L'ho fatto con il Mathematica

esce 2*Pi*t

Strano.
Io l'ho risolto col Teorema dei residui per t=1, e mi viene Pigreco.
Sempre per t=1 e sempre con Mathematica, integro tra 0 e +oo e mi viene 1.57 e qualche cosa, che non a caso è Pigreco-mezzi o giù di lì.

Dove sbaglio?

Nota: l'ho rifatto con Maxima per t>0 arbitrario, e mi dà Pigreco*t.
Quindi inizio a credere che ci sia un fattore 2 di troppo nella tua stima.

Altra nota: rifacendolo per t<0 (sempre con Maxima) mi sono accorto che in realtà l'integrale vale Pigreco*|t|.
Questo in realtà si capisce ricordando che il coseno è una funzione pari.

[gtr84]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Strano.
Io l'ho risolto col Teorema dei residui per t=1, e mi viene Pigreco.
Sempre per t=1 e sempre con Mathematica, integro tra 0 e +oo e mi viene 1.57 e qualche cosa, che non a caso è Pigreco-mezzi o giù di lì.

Dove sbaglio?

Nota: l'ho rifatto con Maxima per t>0 arbitrario, e mi dà Pigreco*t.
Quindi inizio a credere che ci sia un fattore 2 di troppo nella tua stima.

Altra nota: rifacendolo per t<0 (sempre con Maxima) mi sono accorto che in realtà l'integrale vale Pigreco*|t|.
Questo in realtà si capisce ricordando che il coseno è una funzione pari.

Oddio, scusa se ti ho fatto impazzire

La funzione è quella però moltiplicata per 2

[gtr84]

Un'altra cosa.. [riferito a ZioSilvio]

come hai fatto ad usare i residui? l'integrale è reale...

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da gtr84

Un'altra cosa.. [riferito a ZioSilvio]

come hai fatto ad usare i residui? l'integrale è reale...

Speravo in questa domanda

Quando si deve calcolare l'integrale esteso a IR di una funzione del tipo "cosa in seno o coseno, diviso polinomio", conviene sostituire la parte trigonometrica con un esponenziale complesso, e valutare l'integrale originario come limite della parte reale (o immaginaria, a seconda dei casi) di un'opportuna famiglia di integrali della funzione olomorfa ottenuta.

Nel nostro caso, la funzione da integrare è u(x) = (1 - cos tx)/x^2.
Fai presto a vedere che l'integrale di u, è pari a |t| volte l'integrale di v(x) = (1 - cos x)/x^2.

Sia f(z) = (1 - exp(jz))/z^2: si vede subito che f è olomorfa in C privato dell'origine, dove ha un polo semplice con residuo -j = 1/j.
Per R>0 sia Gamma(R) il circuito costituito dai seguenti quattro pezzi:
- Gamma1(R): intervallo [1/R,R];
- Gamma2(R): semicirconferenza di centro l'origine e raggio R, contenuta nel semipiano superiore;
- Gamma3(R): intervallo [-R,-1/R];
- Gamma4(R): semicirconferenza di centro l'origine e raggio 1/R, contenuta nel semipiano inferiore.
Per ogni R, l'indice di avvolgimento di Gamma(R) rispetto all'origine è 1: per il Teorema dei Residui si ha allora:

 /
 |
 |  f(z) dz  = 2 Pi j Res(f,0) Ind(Gamma(R),0) = 2 Pi
 |
/ Gamma(R)

Ma tale integrale è somma degli integrali sulle quattro componenti.
Ora, è chiaro che la somma dei contributi di Gamma1 e Gamma3, converge per R-->oo all'integrale su IRdi v(x): quindi occorre stimare gli altri due.

Consideriamo l'integrale di f(z) su Gamma2(R). Ponendo z = R exp(jt) troviamo:

 /               / Pi
 |               |    1 - exp(j R exp(jt))
 |  f(z) dz  = j |    -------------------- dt
 |               |           R exp(jt)
/ Gamma2(R)     / 0

Ora, |exp(jt)| = 1, quindi vale la stima:

|  /          |      / Pi
|  |          |    1 |
|  |  f(z) dz | <= - |    |1 - exp(j R exp(jt))| dt
|  |          |    R |
| / Gamma2(R) |     / 0

Ma |exp(j R exp(jt))| = exp(-R sin t), quindi per R-->oo l'integrando converge quasi ovunque a 1; essendo inoltre continuo in R e t l'integrando e limitato l'intervallo di integrazione, la convergenza è sicuramente dominata. Allora il contributo di Gamma2(R) va a zero.

Consideriamo adesso l'integrale di f(z) su Gamma4(R). Ponendo z = exp(jt)/R troviamo:

 /             / 2 Pi
 |             |    exp(j exp(jt)/R) - 1
 |  f(z) dz  = |    -------------------- dt
 |             |         (j exp(jt)/R)
/ Gamma2(R)   / Pi

perché j = -1/j. Stavolta il valore dell'integrando converge q.o. al valore della derivata di g(z)=exp(z) nel punto z0=0, cioè a 1; ancora una volta la convergenza è dominata, per cui il contributo di Gamma4(R) converge a Pi.

Allora l'uguaglianza data dal Teorema dei Residui ha al primo membro una quantità che converge all'integrale di v(x) su IR, più Pi; e dall'altra parte 2 Pi. Quindi...

[gtr84]

Ti sei ammazzato di lavoro

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da gtr84

Ti sei ammazzato di lavoro

Io però ci sono riuscito senza usare Mathematica

[Print]

1 -Rispondendo a caso a tre domande di un test , nel quale ogni domanda ha cinque possibili risposte, di cui una e una sola corretta, qual è la probabilità di dare almeno una risposta esatta???

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da Print

Rispondendo a caso a tre domande di un test , nel quale ogni domanda ha cinque possibili risposte, di cui una e una sola corretta, qual è la probabilità di dare almeno una risposta esatta?

Ovviamente è: uno, meno quella di sbagliare a tutte e tre.
Dài, che non è difficile...

[Lucrezio]

ZioSilvio perché niente LaTeX? Tutti quegli integralacci sembrerebbero meno mostruosi...

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da Lucrezio

ZioSilvio perché niente LaTeX? Tutti quegli integralacci sembrerebbero meno mostruosi...

Perché, da quello che vedo a pagina 1, la visualizzazione delle formule LaTeX è ancora troppo dipendente dal sistema e dal browser --- mentre il testo monospaziato è universale

[Print]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Ovviamente è: uno, meno quella di sbagliare a tutte e tre.
Dài, che non è difficile...

cioè? il risultato mi dice: 61/125

[Lucrezio]

Originariamente inviato da Print

1 -Rispondendo a caso a tre domande di un test , nel quale ogni domanda ha cinque possibili risposte, di cui una e una sola corretta, qual è la probabilità di dare almeno una risposta esatta???

Beh, la probabilità di azzeccare una domanda è 1/5... quindi quella di sbagliare è 4/5.
La probabilità di sbagliarne tre di fila è 4/5*4/5*4/5=64/125
Quindi la probabilità di azzecarne almeno una andando a casaccio è 1-64/125=61/125

[Lucrezio]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Perché, da quello che vedo a pagina 1, la visualizzazione delle formule LaTeX è ancora troppo dipendente dal sistema e dal browser --- mentre il testo monospaziato è universale

Già... purtroppo questo è un problema che non si è ancora risolto...
Maledizione, certo che se Edivad ci implementasse LaTeX direttamente nel forum (come su quello delle olimpiadi di matematica)...

[Print]

Originariamente inviato da Lucrezio

Beh, la probabilità di azzeccare una domanda è 1/5... quindi quella di sbagliare è 4/5.
La probabilità di sbagliarne tre di fila è 4/5*4/5*4/5=64/125
Quindi la probabilità di azzecarne almeno una andando a casaccio è 1-64/125=61/125

ok tnx

Come si risolve questo integrale?

int lnx/x