analisi statistica di segnali

[serbring]

Devo fare una serie di acquisizioni di accelerazioni di un certo meccanismo così da poter ricavare le sollecitazioni gravanti su tale meccanismo. Il fenomeno, almeno sulla carta dovrebbe essere stazionario, ma non ergodico in quanto le condizioni al contorno sono molto variabili, ma non nel tempo. In questo caso, come potrei fare un'analisi statistica sui segnali acquisiti? L'output della statistica è un segnale medio con un fascia che indica la dispersione attorno al segnale medio?

[serbring]

up!

[hibone]

Originariamente inviato da serbring

up!

bella gatta da pelare anche tu con la statistica...

allora...

dato che vuoi considerare un processo stocastico, significa che i campionamenti che esegui nel tempo ti determinano una realizzazione del processo stocastico, e non il processo stocastico stesso...

quindi, almeno credo, devi fare diverse registrazioni in modo da avere più realizzazioni del processo stocastico...

presumendo che l'accelerazione non sia costante nel tempo ma sia suscettibile di variazione, se tu dividi ciascuna registrazione in "spezzoni", e li confronti, vedi che il processo stocastico sarà stazionario in senso lato se quegli spezzoni hanno pari caratteristiche statistiche... ( quindi, se non erro, il valor medio temporale e quello statistico coincidono )

i campioni acquisiti saranno valori numerici, che possono sempre essere visti come lo scostamento di una quantità dx rispetto al valor medio x...

[serbring]

Originariamente inviato da hibone

bella gatta da pelare anche tu con la statistica...

allora...

dato che vuoi considerare un processo stocastico, significa che i campionamenti che esegui nel tempo ti determinano una realizzazione del processo stocastico, e non il processo stocastico stesso...

quindi, almeno credo, devi fare diverse registrazioni in modo da avere più realizzazioni del processo stocastico...

presumendo che l'accelerazione non sia costante nel tempo ma sia suscettibile di variazione, se tu dividi ciascuna registrazione in "spezzoni", e li confronti, vedi che il processo stocastico sarà stazionario in senso lato se quegli spezzoni hanno pari caratteristiche statistiche... ( quindi, se non erro, il valor medio temporale e quello statistico coincidono )

i campioni acquisiti saranno valori numerici, che possono sempre essere visti come lo scostamento di una quantità dx rispetto al valor medio x...

quindi io ne calcolo il segnale medio campionario, calcolando la media campionaria istante per istante, e poi istante per istante nè calcolo la varianza campionaria, giusto?

Un dubbio che mi è salito adesso, ma c'è un modo che mi consente di affermare in maniera rigorosa se il segnale è deterministico o casuale? Nel caso in cui il segnale fosse deterministico posso fare l'averaging e quindi non mi servirebbe fare delle grandi considerazioni statistiche, giusto?

[hibone]

Originariamente inviato da serbring

quindi io ne calcolo il segnale medio campionario, calcolando la media campionaria istante per istante, e poi istante per istante nè calcolo la varianza campionaria, giusto?

credo di no...
la sequenza di campioni è una manifestazione ( o realizzazione ) di un processo stocastico discreto...

la media campionaria è quindi la media statistica e, se non sbaglio, si calcola su una sequenza di campioni come somma dei campioni diviso il numero dei campioni, ottenendo un valore x'

la varianza a questo punto si definisce come la media delle differenze al quadrato tra i campioni e il valor medio, ovvero come somma delle quantità

(1/N)*(x'-x(i))^2

per i che va da 1 ad N dove N è il numero dei campioni...

la radice quadrata della varianza è la deviazione standard

Un dubbio che mi è salito adesso, ma c'è un modo che mi consente di affermare in maniera rigorosa se il segnale è deterministico o casuale? Nel caso in cui il segnale fosse deterministico posso fare l'averaging e quindi non mi servirebbe fare delle grandi considerazioni statistiche, giusto?

visto e considerato che stai parlando di segnali reali, a causa del rumore elettrico sul segnale, quelli che hai per le mani sono sempre, a rigore dei segnali statistici...

un segnale si indica come deterministico se è descritto da una legge matematica nota, quindi a rigore, e qui abbiamo l'apoteosi dell'assurdo, un segnale deterministico, essendo descritto da una legge nota, non trasporta informazione, quindi a rigore non è un segnale...

[serbring]

Originariamente inviato da hibone

credo di no...
la sequenza di campioni è una manifestazione ( o realizzazione ) di un processo stocastico discreto...

la media campionaria è quindi la media statistica e, se non sbaglio, si calcola su una sequenza di campioni come somma dei campioni diviso il numero dei campioni, ottenendo un valore x'

la varianza a questo punto si definisce come la media delle differenze al quadrato tra i campioni e il valor medio, ovvero come somma delle quantità

(1/N)*(x'-x(i))^2

per i che va da 1 ad N dove N è il numero dei campioni...

la radice quadrata della varianza è la deviazione standard

scusami non ho capito, cosa cambia da quello che ho detto?

visto e considerato che stai parlando di segnali reali, a causa del rumore elettrico sul segnale, quelli che hai per le mani sono sempre, a rigore dei segnali statistici...

quindi devo fare sempre un'analisi statistica su quello che ho acquisito giusto?

un segnale si indica come deterministico se è descritto da una legge matematica nota, quindi a rigore, e qui abbiamo l'apoteosi dell'assurdo, un segnale deterministico, essendo descritto da una legge nota, non trasporta informazione, quindi a rigore non è un segnale...

mica l'ho capita questa tua affermazione.

[hibone]

Originariamente inviato da serbring

scusami non ho capito, cosa cambia da quello che ho detto?

hai scritto che la media la calcoli istante per istante, io ho capito che la media la calcolo "per ciascun istante", il che non mi è parso corretto: a rigore la media la calcoli per una sequenza, o no?

( stesso discorso per la varianza )

quindi devo fare sempre un'analisi statistica su quello che ho acquisito giusto?

ni... se ad esempio riesci ad individuare, per il valor medio dei campioni, un andamento noto, dovresti poter assumere, almeno in forma approssimata, che la legge in esame sia la dinamica del sistema...

mica l'ho capita questa tua affermazione.

niente di che, era giusto uno sclero, una divagazione...

Il senso è questo:
Se uno ti telefona mentre sei in casa, per dirti che fuori piove, ti è utile, è un'informazione... Se lo stesso tizio ti telefona e ti dice che fuori piove, mentre sei sotto un acquazzone non ti è utile, non è un'informazione...
In tal senso un'informazione è tale finchè non ne sei a conoscenza. Nel momento in cui la acquisisci non è più informazione.

allo stesso modo un segnale è tale perché trasporta informazione, sotto forma di variazione della grandezza elettrica nel tempo.

ma come abbiamo detto l'informazione è tale finchè non la conosci, nel momento in cui la conosci, conosci l'andamento del segnale nel tempo, e quindi a tale andamento non corrisponde più alcuna informazione.

Quindi se un segnale fosse deterministico, sapresti già come si comporta prima ancora di riceverlo, quindi potresti fare anche a meno di riceverlo...

[serbring]

Originariamente inviato da Antonio23

qualsiasi segnale che studi in vita tua è stocastico, dato che appunto lo studi per vedere "l'informazione" che porta (che tu non sai). detto questo, essendo non ergodico, non ha senso fare medie e varianze temporali... credo che tu debba acquisire un numero significativo di realizzazione e fare le tue considerazioni su quell'insieme (non so quanto siano attendibili però)

Ma se del segnale posso determinarne l'ampiezza, ad esempio se misuro l'accelerazione di una massa che oscilla che è collegata ad un telaio attraverso una molla, posso dire che il segnale dell'accelerazione ha un andamento deterministico, anche se poi non lo è con precisione essendoci del rumore nella misura?

Io non ho mai parlato di medie temporali, ma di medie d'insieme, calando per ciascun istante di ogni realizzazione la media campionaria ed anche la varianza campionaria. E' corretto agire così?

[gugoXX]

Usa l'analisi tecnica.
In quanto a sistema per l'analisi di processi casuali, non e' seconda a nessuno.

[serbring]

Originariamente inviato da hibone

hai scritto che la media la calcoli istante per istante, io ho capito che la media la calcolo "per ciascun istante", il che non mi è parso corretto: a rigore la media la calcoli per una sequenza, o no?

( stesso discorso per la varianza )

la media istante per istante di tutte le realizzazioni la intendo come:

xm(ti)=somma[xj(ti)]/n

dove xj è la j_esima realizzazione, mentre ti è l'istante i_esimo di cui ho calcolato il valore medio.

In tal modo non riesco a calcolare l'andamento medio?

stessa cosa per la varianza

ni... se ad esempio riesci ad individuare, per il valor medio dei campioni, un andamento noto, dovresti poter assumere, almeno in forma approssimata, che la legge in esame sia la dinamica del sistema...

l'andamento medio lo posso ricavare ad esempio facendo l'averanging così da poter sopprimere il rumore?

niente di che, era giusto uno sclero, una divagazione...

Il senso è questo:
Se uno ti telefona mentre sei in casa, per dirti che fuori piove, ti è utile, è un'informazione... Se lo stesso tizio ti telefona e ti dice che fuori piove, mentre sei sotto un acquazzone non ti è utile, non è un'informazione...
In tal senso un'informazione è tale finchè non ne sei a conoscenza. Nel momento in cui la acquisisci non è più informazione.

allo stesso modo un segnale è tale perché trasporta informazione, sotto forma di variazione della grandezza elettrica nel tempo.

ma come abbiamo detto l'informazione è tale finchè non la conosci, nel momento in cui la conosci, conosci l'andamento del segnale nel tempo, e quindi a tale andamento non corrisponde più alcuna informazione.

Quindi se un segnale fosse deterministico, sapresti già come si comporta prima ancora di riceverlo, quindi potresti fare anche a meno di riceverlo...

ho capito il tuo concetto, se io conosco tutto del mio sistema, conosco la risposta e quindi non serve far prove. Supponendo invece di avare un sistema vibrante ad 1 gdl di cui devo trovare il k della molla. In tal caso se vado a misurare l'accelerazione della massa ottengo un valore inaspettato, ma cmq potrei esprimere la risposta del sistema con una equazione, no?

[serbring]

Originariamente inviato da Antonio23

no, non puoi dirlo. quella è solo una realizzazione di un processo stocastico. se ripeti la misura ottieni un andamento diverso.


le medie d'insieme hanno senso quando l'insieme contiene un numero significativo di realizzazioni. di più non ti so dire, mai lavorato su processi non ergodici.

io posso fare tutte le prove possibili...

[hibone]

Originariamente inviato da serbring

la media istante per istante di tutte le realizzazioni la intendo come:

xm(ti)=somma[xj(ti)]/n

dove xj è la j_esima realizzazione, mentre ti è l'istante i_esimo di cui ho calcolato il valore medio.

In tal modo non riesco a calcolare l'andamento medio?

stessa cosa per la varianza

ah, in quel senso si...
non avevo capito che ti stessi riferendo a più realizzazioni...

l'andamento medio lo posso ricavare ad esempio facendo l'averanging così da poter sopprimere il rumore?

si, credo di si...
dato che confronti più realizzazioni ottieni una media statistica, quindi ha significato...

ho capito il tuo concetto, se io conosco tutto del mio sistema, conosco la risposta e quindi non serve far prove. Supponendo invece di avare un sistema vibrante ad 1 gdl di cui devo trovare il k della molla. In tal caso se vado a misurare l'accelerazione della massa ottengo un valore inaspettato, ma cmq potrei esprimere la risposta del sistema con una equazione, no

?

beh il ragionamento era più astratto che pratico, riguardo alla tua domanda si, per un sistema ad un grado di libertà hai sempre la legge caratteristica di un oscillatore armonico smorzato, e le relazioni che ne derivano, ma va da se che quelle relazioni non trasportano informazionedi per se stesse... sennò non sarebbero note...

l'informazione è data dai coefficienti delle leggi. che sono quelli che ti mancano...

infatti tu potresti benissimo partire dalla legge caratteristica, che esprime l'accelerazione in funzione di elongazione smorzamento ed elasticità e invertirla, in modo da esprimere i diversi parametri in funzione dell'accelerazione.. ad esempio...

non so...

[serbring]

Originariamente inviato da Antonio23

eh ok, ma non le puoi fare tutte ... per quello non so l'attendibilità di una analisi... al limite forse, se fai un campione veramente numeroso, magari ha senso...

certo non le posso fare tutte statisticamente parlando, ma posso farle una grande quantità di prove dal punto di vista pratico.

Te hai parlato di segnale ergodico. Ho letto in un libro che affinchè un segnale sia ergodico è necessario che la media temporale della realizzazione tenda a zero per t che tende all'infinito. Ora dal punto di vista pratico come si traduce tale condizione?

[blindwrite]

Non ho mai avuto a che fare con segnali non ergodici, ma credo che in tale caso per definizione un'analisi statistica non abbia senso.
L'analisi di una realizzazione non fornisce media e varianza del processo. Ripetendo l'analisi su un'altra realizzazione, continui a non avere informazioni sul processo

Se un processo è ergodico è possibile:
Calcolare le medie di insieme in forma di medie temporali a partire da una singola realizzazione oppure
Ottenere le medie temporali di una qualunque realizzazione a partire dalle medie di insieme, disponendo della statistica p(X)

Ho trovato questo spero che possa essere utile

Il nostro obiettivo è quello di trovare un'uguaglianza fra i due tipi di medie (statistiche e temporali), ovvero trovare una famiglia di processi aleatori per cui sia possibile effettuare statistiche sul comportamento del processo prima dell'osservazione, note semplicemente le densità di probabilità.

Definiamo quindi la famiglia dei processi stazionari. Un processo si dice stazionario quando la generica densità di probabilità di ordine n, pn, è indipendente dagli istanti di osservazione t, ovvero una traslazione rigida degli istanti di osservazione non modifica la descrizione statistica del processo. In tali condizioni quindi si modifica anche la definizione di media statistica del processo, non più dipendente da t:





Definiamo ora un processo a memoria finita, come un processo stazionario per cui esiste un valore τm tale che, se si è osservato il comportamento del processo fino all'istante t, non è possibile effettuare alcuna previsione statistica che tenga conto di tale conoscenza per istanti successivi a t+τm. τm è anche detto durata della memoria.

Ora, un processo che sia stazionario e a memoria finita è definito come processo ergodico. In particolare, in un processo ergodico ogni rilevazione campione è caratteristica con probabilità 1 dell'intero processo, ovvero il risultato della rilevazione su un generico campione del processo coincide con il risultato della rilevazione su un qualsiasi altro campione dell'insieme. Per i processi ergodici vale una proprietà molto interessante, le medie statistiche e quelle temporali si equivalgono, ovvero una media statistica calcolata a priori nota una densità di probabilità coincide con la corrispondente media temporale del processo una volta che si è manifestato un certo andamento. Questa proprietà è molto interessante, in quanto mi consente di descrivere statisticamente un intero processo aleatorio noto il comportamento di un solo suo campione, ed è per questo che i processi ergodici sono di grande interesse in fisica e in particolare nel campo dell'elettronica e delle telecomunicazioni. Si dimostra infatti che anche il rumore in un circuito non è altro che un processo ergodico, e quindi descritto statisticamente noto il comportamento in un'osservazione.

[hibone]

http://it.wikipedia.org/wiki/Ergodicità

In teoria dei segnali, un processo stocastico si dice ergodico quando le medie statistiche convergono quasi ovunque alle medie temporali. Condizione necessaria all'ergodicità, è quindi la stazionarietà, in senso lato, fino all'ordine per cui si desidera che sia verificata la proprietà di ergodicità. In particolare, si parla di ergodicità nella media quando la media temporale e la media statistica coincidono; si parla di ergodicità nella correlazione quando la autocorrelazione statistica e la autocorrelazione temporale coincidono.

nel caso di un sistema ad un gdl, il segnale rappresenta l'accelerazione, e quindi avrà un andamento simile ad una sinusoide (eventualmente smorzata)...

quindi le medie statistiche convergono alla sinusoide; d'altra parte le medie temporali convergono alla media temporale della sinusoide ( che ha valor medio nullo ) quindi lo specifico processo stocastico sembrerebbe, in prima analisi, non ergodico...

tuttavia se come processo stocastico non prendi la sinusoide ma K ( la costante di elasticità ) e zetagreco ( lo smorzamento ), questi potrebbero essere ergodici...

[blindwrite]

Cerca informazioni sul variogram adesso che ci penso potrebbe essere la soluzione.

[serbring]

Originariamente inviato da blindwrite

Non ho mai avuto a che fare con segnali non ergodici, ma credo che in tale caso per definizione un'analisi statistica non abbia senso.
L'analisi di una realizzazione non fornisce media e varianza del processo. Ripetendo l'analisi su un'altra realizzazione, continui a non avere informazioni sul processo

Ho trovato questo spero che possa essere utile

Ma per media d'insieme s'intende la media delle medie temporali di tutte le realizzazioni? Perchè se fosse una funzione data da ogni istante risulta costituita dai valori medi dei valori assunti da ciascuna realizzazione nel medesimo istante, come faccio a dire che converge alla media temporale di una realizzazione se fosse un processo ergodico?

come faccio ad avere informazioni sul processo?

Ancora non ho ben capito come faccio a dire che un segnale è ergodico avendo diverse realizzazioni

[serbring]

Originariamente inviato da Antonio23

per il teorema di wiener - kinchine in un processo ergodico le medie temporali coincidono con quelle d'insieme.


se è ergodico o meno? dipende dalla natura del processo in sè. tu stesso hai detto che non è ergodico, come fai a dirlo?

non lo dici a posteriori osservando le realizzazioni, ma lo sai a priori, per la natura del processo. la definizione più generale di processo casuale ergodico
è un processo che passa in ogni sua realizzazione attraverso tutti i suoi possibili stati. Che te ne fai di questa definizione? penso nulla... ma tant'è.

diciamo che a livello teorico ho capito le cose, ma poi mi manca lo spunto per passare dalla teoria alla pratica. Io ho supposto che il processo non sia ergodico perchè le condizioni al contorno sono un po' variabili e quindi una prova può essere diversa dall'altra, visto che questo meccanismo funziona su una superficie non soda.

[serbring]

Originariamente inviato da Antonio23

ma non fai prima a farne un analisi supponendolo ergodico e poi vedi quanto la realtà si discosta dai risultati che ottieni in ipotesi di ergodicità?

infatti a questo punto credo che mi toccherà fare così. il problema che non sto capendo è come analizzare un segnale non ergodico. Non capisco se devo fare l'averaging o se fare altro.

[serbring]

Originariamente inviato da hibone

http://it.wikipedia.org/wiki/Ergodicità



nel caso di un sistema ad un gdl, il segnale rappresenta l'accelerazione, e quindi avrà un andamento simile ad una sinusoide (eventualmente smorzata)...

quindi le medie statistiche convergono alla sinusoide; d'altra parte le medie temporali convergono alla media temporale della sinusoide ( che ha valor medio nullo ) quindi lo specifico processo stocastico sembrerebbe, in prima analisi, non ergodico...

tuttavia se come processo stocastico non prendi la sinusoide ma K ( la costante di elasticità ) e zetagreco ( lo smorzamento ), questi potrebbero essere ergodici...

Però mi sembra strana una cosa. Se io avessi un processo stocastico che si sviluppa sempre nel medesimo modo, come magari un sistema vibran nte ad un gdl, in questo caso non mi basterebbe una sola realizzazione per descrivere in maniera coretta il mio sistema e quindi sarebbe possibile affermare che il mio processo è ergodico?