Spiegatemi cosa sono gli assi principali d'inerzia

[blackhawk]

Come da post vorrei saperne qualcosa di più

[AleX_ZeTa]

Prendi il tensore d'inerzia: hai una matrice 3x3 simmetrica (un tensore 2-0 simmetrico) che ha gli elementi I_ij definiti come integrali di qualcosa sul volume del solido (credo che tu sappia che integrali sono... altrimenti dimmelo che te li scrivo^^). Il tensore non è, in generale, diagonale... e fuori dalla diagonali compaiono i cosiddetti "prodotti d'inerzia". Però sai che è simmetrico. Allora adesso definisci una metrica su R^3, direi la metrica canonica indotta dal prodotto scalare euclideo. Per il T. Spettrale sai che ogni endomorfismo autoaggiunto (ogni matrice simmetrica in parole povere) si può diagonalizzare in una base ortonormale per il prodotto scalare (in questo caso in modo che la sua matrice rimanga uguale all'identità - altrimenti puoi avere dei -1 o degli 0 sulla diagonale). Quindi tu diagonalizzi il tuo tensore d'inerzia e ottieni una matrice diagonale con gli autovalori sulla diagonale. Ecco, gli assi principali d'inerzia sono le direzioni dei 3 vettori ortogonali della base che diagonalizza il tensore. Sono gli assi rispetto ai quali il tensore d'inerzia è diagonale... le rotazioni attorno agli assi principali sono quindi indipendenti (il momento angolare rimane parallelo all'asse di rotazione, e quindi per conservare la rotazione non è necessario applicare momenti. Un esercizio standard in merito: hai una sbarretta lunga 2l con un perno al centro, la inclini rispetto ad un asse verticale e la fai ruotare attorno a questo asse. Due domande: senza applicare momenti come evolve - qualitativamente - il moto? Se voglio mantenere la rotazione attorno all'asse verticale, che forze devo applicare alla sbarretta, e come?)

[blackhawk]

Originariamente inviato da AleX_ZeTa

Prendi il tensore d'inerzia: hai una matrice 3x3 simmetrica (un tensore 2-0 simmetrico) che ha gli elementi I_ij definiti come integrali di qualcosa sul volume del solido (credo che tu sappia che integrali sono... altrimenti dimmelo che te li scrivo^^). Il tensore non è, in generale, diagonale... e fuori dalla diagonali compaiono i cosiddetti "prodotti d'inerzia". Però sai che è simmetrico. Allora adesso definisci una metrica su R^3, direi la metrica canonica indotta dal prodotto scalare euclideo. Per il T. Spettrale sai che ogni endomorfismo autoaggiunto (ogni matrice simmetrica in parole povere) si può diagonalizzare in una base ortonormale per il prodotto scalare (in questo caso in modo che la sua matrice rimanga uguale all'identità - altrimenti puoi avere dei -1 o degli 0 sulla diagonale). Quindi tu diagonalizzi il tuo tensore d'inerzia e ottieni una matrice diagonale con gli autovalori sulla diagonale. Ecco, gli assi principali d'inerzia sono le direzioni dei 3 vettori ortogonali della base che diagonalizza il tensore. Sono gli assi rispetto ai quali il tensore d'inerzia è diagonale... le rotazioni attorno agli assi principali sono quindi indipendenti (il momento angolare rimane parallelo all'asse di rotazione, e quindi per conservare la rotazione non è necessario applicare momenti. Un esercizio standard in merito: hai una sbarretta lunga 2l con un perno al centro, la inclini rispetto ad un asse verticale e la fai ruotare attorno a questo asse. Due domande: senza applicare momenti come evolve - qualitativamente - il moto? Se voglio mantenere la rotazione attorno all'asse verticale, che forze devo applicare alla sbarretta, e come?)

Ti ringrazio della risposta ma mi bastava un qualcosa di più comprensibile.
Quelli di cui mi parli sono concetti di geometria a me interessava qualcosa di più pratico.

Ad esempio nel seguente disegno:


Cosa significa che la velocità angolare del disco è parallela ad un asse principale d'inerzia del disco?
Quando è che posso affermare una cosa del genere?

Per quanto riguarda il tuo quesito non saprei risponderti..

[Thunder82]

Originariamente inviato da blackhawk

Ti ringrazio della risposta ma mi bastava un qualcosa di più comprensibile.
Quelli di cui mi parli sono concetti di geometria a me interessava qualcosa di più pratico.

Ad esempio nel seguente disegno:


Cosa significa che la velocità angolare del disco è parallela ad un asse principale d'inerzia del disco?
Quando è che posso affermare una cosa del genere?

Per quanto riguarda il tuo quesito non saprei risponderti..

Esame di Meccanica Razionale? in bocca al lupo

Nella tua figura, la frase che hai detto significa che il vettore "omega" (velocità angolare) passa per il punto C ed è perpendicolare al foglio (perpendicolare agli assi x e y)

[ChristinaAemiliana]

Guarda, a questi livelli credo ti sia sufficiente sapere che in genere gli assi principali d'inerzia coincidono con gli assi di simmetria...nei problemi di meccanica razionale solitamente si parla di un asse principale d'inerzia che è anche asse di simmetria.

[fabio80]

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana

Guarda, a questi livelli credo ti sia sufficiente sapere che in genere gli assi principali d'inerzia coincidono con gli assi di simmetria...nei problemi di meccanica razionale solitamente si parla di un asse principale d'inerzia che è anche asse di simmetria.

... e per alcuni solidi base c'è la formuletta già pronta che evita di calcolare il fastidioso integrale doppio o triplo, il che non guasta