Due problemini simpatici

Bandit · 21-02-2005, 16:57

Nel triangolo ABC rettangolo in B, il cateto minore AB misura 15a e la bisettrice dell'angolo A interseca BC in D. Il punto E di AD dista 8a radice(3) da D e la perpendicolare in E ad AD interseca AC nel punto F distante 4 a da A. Dimostrare che i triangoli ABE ed ADF sono simili e determinare il perimetro dell'area del quadrilatero BDFE.

4a(4+3radice(3)); 38a^2radice(3)

------------------------------------------------------------------------------------------
Nel trapezio rettangolo ABCD la base minore AB e la diagonale maggiore AC misurano 2cm e 2radice(6). Sapendo che DC contiene il centro della circonferenza circoscritta al triangolo ABC, determinare il raggio di tale circonferenza e l'area del trapezio.

3;6radice(2)

senza usare seno e coseno (x entrambi)

grazie per l'aiuto

Bandit · 21-02-2005, 17:00

mi sono per sbaglio disiscritto

Scoperchiatore · 21-02-2005, 20:00

senza usare seno e coseno non credo che troverai mai un pazzo che li faccia.

Al massimo puoi provare a applicare Euclide fino alla morte (ma non ha senso, dato che euclide si ricava facilmente da seno e coseno)

Bandit · 21-02-2005, 22:56

è un problema di secondo liceo

**ChristinaAemiliana** · 22-02-2005, 14:32

Ti do qualche dritta per il primo e poi guardo il secondo.

Prima di leggere fatti il disegnino, sennò non ci capiamo. Non potendo disegnare qua sul forum, sono costretta a chiamare i segmenti col loro nome senza visualizzarli.

Dimostrare che i triangoli ABE e ADF sono simili è semplice. Basta osservare che i triangoli rettangoli ABD e AEF sono simili poiché hanno un angolo uguale, pari alla metà dell'angolo al vertice A del triangolo ABC. Tenendo conto di questa similitudine puoi scrivere la proporzione:

AB : AD = AE : AF

Questo completa la dimostrazione perché hai scoperto che ABE e ADF hanno due lati in proporzione e l'angolo compreso uguale per costruzione (sono le due metà dell'angolo divisi dalla bisettrice AD).

Per calcolare il resto te la cavi, noti AB, ED e AF, ponendo AE = x e ricavandolo dalla proporzione scritta prima. Infatti ricordando che il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi risulta:

AE * AD = AB * AF

da cui

x * (x + ED) = AB * AF

che è una semplice equazione di 2o grado (le lunghezze dei segmenti sono tutte note).

Da questo punto è semplice ricavare area e perimetro richiesti, usando Pitagora e giocando sulle proporzioni tra triangoli simili.

**ChristinaAemiliana** · 22-02-2005, 14:40

Il secondo è ancora più facile.

Chiamando O il centro della circonferenza circoscritta situato sulla base maggiore DC, chiami r il raggio di tale circonferenza, incognita del problema, e naturalmente hai subito che OA = OB = OC = r. Inoltre OD = 1, poiché AB = 2.

Quindi puoi dire:

AD^2 = r^2 - 1 per Pitagora

DC = r + 1 per costruzione

e quindi applicando Pitagora al triangolo rettangolo ADC:

AD^2 + DC^2 = AC^2

Sostituendo trovi una banalissima eqz di 2o grado in r che restituisce come unica slz valida r=3. Da lì calcoli senza difficoltà l'area.

**ChristinaAemiliana** · 22-02-2005, 14:41

OK, io ho dato...adesso FreeMan farà ancora di meglio e si produrrà nello spostamento di questo thread nella sezione giusta!

FreeMan · 22-02-2005, 14:43

>bYeZ<

Bandit · 23-02-2005, 12:04

Quote:

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
OK, io ho dato...adesso FreeMan farà ancora di meglio e si produrrà nello spostamento di questo thread nella sezione giusta!

grazie 10000, me li vedo, nel caso ci sentiamo

**ChristinaAemiliana** · 23-02-2005, 12:45

Quote:

Originariamente inviato da Bandit
grazie 10000, me li vedo, nel caso ci sentiamo

Di nulla...se ne hai altri

o hai problemi, io sono qui

Bandit · 23-02-2005, 13:00

il secondo: od come fa essere 1?perchè AOB è tri isoscele e l'altezza divide la base in 2 parti uguali. Giusto?

**ChristinaAemiliana** · 23-02-2005, 13:02

Quote:

Originariamente inviato da Bandit
il secondo: od come fa essere 1?

Perché se AB = 2 e OA e OB sono due raggi della circonferenza, O deve cadere per forza a metà della proiezione della base minore sulla maggiore!

Bandit · 23-02-2005, 13:06

non non è come ho detto io, mi sembra che quello che mi hai detto è una conseguenza di ciò che ho detto, o mi sbaglio?

**ChristinaAemiliana** · 23-02-2005, 13:41

Beh, diciamo che il ragionamento è questo: so che O, che sta su DC, è il centro di una circonferenza di cui A e B sono due punti...quindi necessariamente OA e OB sono raggi, il triangolo AOB è isoscele e O divide in due la proiezione di AB su DC.

Puoi anche vederla così: non c'è altro modo di piazzare O su DC facendo sì che OA e OB restino uguali in lunghezza...

Bandit · 23-02-2005, 16:47

Sei eccezionale

ora tutto chiaro

ciao

p.s. curiosità: che scuola/università fai?

**ChristinaAemiliana** · 23-02-2005, 20:41

Quote:

Originariamente inviato da Bandit
Sei eccezionale

ora tutto chiaro

esagerato

cmq grazie!

Quote:

ciao

p.s. curiosità: che scuola/università fai?

Eh, "fai"...magari!

Ho fatto il liceo scientifico, e dopo ing nucleare.

FreeMan · 23-02-2005, 20:43

Quote:

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Eh, "fai"...magari!

>bYeZ<

**ChristinaAemiliana** · 23-02-2005, 20:43

Quote:

Originariamente inviato da FreeMan

>bYeZ<

FreeMan · 23-02-2005, 20:50

>bYeZ<

**ChristinaAemiliana** · 23-02-2005, 21:01

Quote:

Originariamente inviato da FreeMan

>bYeZ<

Seeeehhhhh

21-02-2005, 16:57	#1
Bandit Senior Member Iscritto dal: Sep 2003 Messaggi: 9431	Due problemini simpatici Nel triangolo ABC rettangolo in B, il cateto minore AB misura 15a e la bisettrice dell'angolo A interseca BC in D. Il punto E di AD dista 8a radice(3) da D e la perpendicolare in E ad AD interseca AC nel punto F distante 4 a da A. Dimostrare che i triangoli ABE ed ADF sono simili e determinare il perimetro dell'area del quadrilatero BDFE. 4a(4+3radice(3)); 38a^2radice(3) ------------------------------------------------------------------------------------------ Nel trapezio rettangolo ABCD la base minore AB e la diagonale maggiore AC misurano 2cm e 2radice(6). Sapendo che DC contiene il centro della circonferenza circoscritta al triangolo ABC, determinare il raggio di tale circonferenza e l'area del trapezio. 3;6radice(2) senza usare seno e coseno (x entrambi) grazie per l'aiuto __________________ 1)P4 2.4-Asrock p4i65- Sapphire Hd3450 512mb agp- 2GB ddr400-Hd 80gb WD- Thermaltake Litepower 450W 2)Amd 3200-Msi K8n Neo4 Platinum - 2512 MB pc3200-Asus N6600gt- HD WD 160GB-enermax noisetacker 370. Ultima modifica di Bandit : 21-02-2005 alle 16:59.*

21-02-2005, 17:00	#2
Bandit Senior Member Iscritto dal: Sep 2003 Messaggi: 9431	mi sono per sbaglio disiscritto __________________ 1)P4 2.4-Asrock p4i65- Sapphire Hd3450 512mb agp- 2GB ddr400-Hd 80gb WD- Thermaltake Litepower 450W 2)Amd 3200-Msi K8n Neo4 Platinum - 2*512 MB pc3200-Asus N6600gt- HD WD 160GB-enermax noisetacker 370.

21-02-2005, 20:00	#3
Scoperchiatore Senior Member Iscritto dal: Sep 2001 Città: Roma Messaggi: 1944	senza usare seno e coseno non credo che troverai mai un pazzo che li faccia. Al massimo puoi provare a applicare Euclide fino alla morte (ma non ha senso, dato che euclide si ricava facilmente da seno e coseno) __________________ "Oggi è una di quelle giornate in cui il sole sorge veramente per umiliarti" Chuck Palahniuk Io c'ero

21-02-2005, 22:56	#4
Bandit Senior Member Iscritto dal: Sep 2003 Messaggi: 9431	è un problema di secondo liceo __________________ 1)P4 2.4-Asrock p4i65- Sapphire Hd3450 512mb agp- 2GB ddr400-Hd 80gb WD- Thermaltake Litepower 450W 2)Amd 3200-Msi K8n Neo4 Platinum - 2*512 MB pc3200-Asus N6600gt- HD WD 160GB-enermax noisetacker 370.

22-02-2005, 14:32	#5
ChristinaAemiliana Moderatrice Iscritto dal: Nov 2001 Città: Vatican City DILIGO TE COTIDIE MAGIS «Set me as a seal on your heart, as a seal on your arm: for love is strong as death and jealousy is cruel as the grave.» Messaggi: 12394	Ti do qualche dritta per il primo e poi guardo il secondo. Prima di leggere fatti il disegnino, sennò non ci capiamo. Non potendo disegnare qua sul forum, sono costretta a chiamare i segmenti col loro nome senza visualizzarli. Dimostrare che i triangoli ABE e ADF sono simili è semplice. Basta osservare che i triangoli rettangoli ABD e AEF sono simili poiché hanno un angolo uguale, pari alla metà dell'angolo al vertice A del triangolo ABC. Tenendo conto di questa similitudine puoi scrivere la proporzione: AB : AD = AE : AF Questo completa la dimostrazione perché hai scoperto che ABE e ADF hanno due lati in proporzione e l'angolo compreso uguale per costruzione (sono le due metà dell'angolo divisi dalla bisettrice AD). Per calcolare il resto te la cavi, noti AB, ED e AF, ponendo AE = x e ricavandolo dalla proporzione scritta prima. Infatti ricordando che il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi risulta: AE * AD = AB * AF da cui x * (x + ED) = AB * AF che è una semplice equazione di 2o grado (le lunghezze dei segmenti sono tutte note). Da questo punto è semplice ricavare area e perimetro richiesti, usando Pitagora e giocando sulle proporzioni tra triangoli simili. __________________ «Il dolore guida le persone a distanze straordinarie» (W. Bishop, Fringe) How you have fallen from heaven, O star of the morning, son of the dawn! You have been cut down to the earth, You who have weakened the nations! (Isaiah 14:12)

22-02-2005, 14:40	#6
ChristinaAemiliana Moderatrice Iscritto dal: Nov 2001 Città: Vatican City DILIGO TE COTIDIE MAGIS «Set me as a seal on your heart, as a seal on your arm: for love is strong as death and jealousy is cruel as the grave.» Messaggi: 12394	Il secondo è ancora più facile. Chiamando O il centro della circonferenza circoscritta situato sulla base maggiore DC, chiami r il raggio di tale circonferenza, incognita del problema, e naturalmente hai subito che OA = OB = OC = r. Inoltre OD = 1, poiché AB = 2. Quindi puoi dire: AD^2 = r^2 - 1 per Pitagora DC = r + 1 per costruzione e quindi applicando Pitagora al triangolo rettangolo ADC: AD^2 + DC^2 = AC^2 Sostituendo trovi una banalissima eqz di 2o grado in r che restituisce come unica slz valida r=3. Da lì calcoli senza difficoltà l'area. __________________ «Il dolore guida le persone a distanze straordinarie» (W. Bishop, Fringe) How you have fallen from heaven, O star of the morning, son of the dawn! You have been cut down to the earth, You who have weakened the nations! (Isaiah 14:12)

22-02-2005, 14:41	#7
ChristinaAemiliana Moderatrice Iscritto dal: Nov 2001 Città: Vatican City DILIGO TE COTIDIE MAGIS «Set me as a seal on your heart, as a seal on your arm: for love is strong as death and jealousy is cruel as the grave.» Messaggi: 12394	OK, io ho dato...adesso FreeMan farà ancora di meglio e si produrrà nello spostamento di questo thread nella sezione giusta! __________________ «Il dolore guida le persone a distanze straordinarie» (W. Bishop, Fringe) How you have fallen from heaven, O star of the morning, son of the dawn! You have been cut down to the earth, You who have weakened the nations! (Isaiah 14:12)

22-02-2005, 14:43	#8
FreeMan Senior Member Iscritto dal: Jul 1999 Città: Black Mesa Messaggi: 72456	>bYeZ< __________________ REGOLAMENTO & update1/update2 \| IO C'ERO \| Realme X3 SZ 12/256 - History \| GTi is BACK "Non sorridete.......gli spari sopra.....sono per VOI!"

23-02-2005, 13:00	#11
Bandit Senior Member Iscritto dal: Sep 2003 Messaggi: 9431	il secondo: od come fa essere 1?perchè AOB è tri isoscele e l'altezza divide la base in 2 parti uguali. Giusto? __________________ 1)P4 2.4-Asrock p4i65- Sapphire Hd3450 512mb agp- 2GB ddr400-Hd 80gb WD- Thermaltake Litepower 450W 2)Amd 3200-Msi K8n Neo4 Platinum - 2512 MB pc3200-Asus N6600gt- HD WD 160GB-enermax noisetacker 370. Ultima modifica di Bandit : 23-02-2005 alle 13:02.*

23-02-2005, 13:06	#13
Bandit Senior Member Iscritto dal: Sep 2003 Messaggi: 9431	non non è come ho detto io, mi sembra che quello che mi hai detto è una conseguenza di ciò che ho detto, o mi sbaglio? __________________ 1)P4 2.4-Asrock p4i65- Sapphire Hd3450 512mb agp- 2GB ddr400-Hd 80gb WD- Thermaltake Litepower 450W 2)Amd 3200-Msi K8n Neo4 Platinum - 2512 MB pc3200-Asus N6600gt- HD WD 160GB-enermax noisetacker 370. Ultima modifica di Bandit : 23-02-2005 alle 13:11.*

23-02-2005, 13:41	#14
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23-02-2005, 16:47	#15
Bandit Senior Member Iscritto dal: Sep 2003 Messaggi: 9431	Sei eccezionale ora tutto chiaro ciao p.s. curiosità: che scuola/università fai? __________________ 1)P4 2.4-Asrock p4i65- Sapphire Hd3450 512mb agp- 2GB ddr400-Hd 80gb WD- Thermaltake Litepower 450W 2)Amd 3200-Msi K8n Neo4 Platinum - 2512 MB pc3200-Asus N6600gt- HD WD 160GB-enermax noisetacker 370. Ultima modifica di Bandit : 23-02-2005 alle 16:49.*

23-02-2005, 20:50	#19
FreeMan Senior Member Iscritto dal: Jul 1999 Città: Black Mesa Messaggi: 72456	>bYeZ< __________________ REGOLAMENTO & update1/update2 \| IO C'ERO \| Realme X3 SZ 12/256 - History \| GTi is BACK "Non sorridete.......gli spari sopra.....sono per VOI!"

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