[Matematica] Base ortogonale

[sangueimpazzito]

Buongiorno a tutti.
Ho un problema con le basi ortogonali.
Vi propongo il testo dell'esercizio:

"Siano u, v una base ortogonale di E² e w un terzo vettore.
Sapendo che <u,w>=4, <v,w>=2, <u,u>=1 e <v,v>=9 si scriva w come combinazione lineare di u e v e si calcoli la lunghezza di w."

Il mio problema sta nel trovare la base.
Sono partito dalla base canonica
|1 0|
|0 1|
e l'ho modificata un po' secondo le esigenze impostemi dai prodotti scalari <u,u> e <v,v>.

Quindi diventa
|1 0|
|0 3|

Trovata la base il resto dell'esercizio lo si risolve in scioltezza.
Il fatto è che tutto questo l'ho fatto a occhio, senza seguire un metodo scientifico.
Mi domandavo quindi come andasse risolto questo esercizio e se il metodo che ho usato io fosse quello giusto.
Grazie a tutti per la disponibilità.

[a2000.1]

non è necessario determinare le componenti della base ortogonale u, v (peraltro indeterminate):

w = au +bv

w·u = au·u +bv·u
4 = a

w·v = au·v +bv·v
2 = b * 9 ........ b=2/9

w·w = au·w +bv·w
w² = 4*4 + 2/9*2 = 16 + 4/9

[sangueimpazzito]

Originariamente inviato da a2000.1
non è necessario determinare le componenti della base ortogonale u, v (peraltro indeterminate):

w = au +bv

w·u = au·u +bv·u
4 = a

w·v = au·v +bv·v
2 = b * 9 ........ b=2/9

w·w = au·w +bv·w
w² = 4*4 + 2/9*2 = 16 + 4/9

Grazie della risposta.

[a2000.1]

io penso che tu ci sia arrivato per altra via, tramite la determinazione (arbitraria ma legittima) di una base ammissibile:

u={1, 0}
v={0, 3}

d'altra parte, per definizione deve essere:
ux*ux + uy*uy = 1
vx*vx + vy*vy = 9
ux*vx + uy*vy = 0

che è un sistema di 3 equazioni in quattro incognite che ammette infinite soluzioni.
queste soluzioni sono la rappresentazione della base in un qualunque sistema di riferimento ruotato di un angolo t.

e infatti tutte le basi possono essere rappresentate come:

u={cos(t), sen(t)}
v={-3*sen(t), 3*cos(t)}

tu hai scelto t = 0

[sangueimpazzito]

Originariamente inviato da a2000.1
io penso che tu ci sia arrivato per altra via, tramite la determinazione (arbitraria ma legittima) di una base ammissibile:

u={1, 0}
v={0, 3}

d'altra parte, per definizione deve essere:
ux*ux + uy*uy = 1
vx*vx + vy*vy = 9
ux*vx + uy*vy = 0

che è un sistema di 3 equazioni in quattro incognite che ammette infinite soluzioni.
queste soluzioni sono la rappresentazione della base in un qualunque sistema di riferimento ruotato di un angolo t.

e infatti tutte le basi possono essere rappresentate come:

u={cos(t), sen(t)}
v={-3*sen(t), 3*cos(t)}

tu hai scelto t = 0

Sì, ecco. Però preferisco di gran lunga il tuo metodo.