numeri immaginari

[Ja]{|e]

Perché su tre libri diversi di analisi non sono riuscita a trovare nulla sui numeri immaginari a parte un capitolo di cinque pagine in cui non vengono fatti neanche due esempi?

Sareste così gentili da spiegarmi come risolvere esercizi del tipo:

Dato il numero complesso w = 3^(1/2) + i
Determinare per quali z appartenenti a C, il quoziente z/w è un numero reale positivo.
Tracciare sul piano di Gauss il luogo geometrico descritto da tali numeri complessi e lappresentare tali z in forma esponenziale.



tnx

[Ja]{|e]

miiiiiiiii nessuno?

[Mixmar]

Abbozzo una soluzione... vediamo:

w = sqrt(3) + i

imponiamo che z / w sia reale e positivo...

z si può scrivere nella forma:

z = a + ib

dove a è la parte reale (positiva o negativa) e b quella immaginaria; allora scriviamo:

z / w = (a + ib) / (sqrt(3) + i)

Possiamo anche scrivere (questo è un trucco che si usa spesso):

z / w = (a + ib) * (sqrt(3) - i) / (sqrt(3) + i) * (sqrt(3) - i)

Risolvendo otteniamo:

z / w = ( (sqrt(3) * a + b) + i * (sqrt(3) * b - a) ) / 4

Allora imponiamo che il numero abbia parte immaginaria nulla (così è reale):

sqrt(3) * b - a = 0

Cioè a = sqrt(3) * b

Adesso imponiamo che sia positivo:

sqrt(3) * a + b > 0

Tenendo conto del punto precedente risulta:

7 / 4 * b > 0

Cioè b > 0; ricordando che z = a + ib, il luogo di questi punti è quello dei punti con componente immaginaria positiva, cioè il semipiano sopra l'asse delle ascisse.

Spero di non aver fatto confusione...

[Ja]{|e]

Originariamente inviato da Mixmar
Abbozzo una soluzione... vediamo:

w = sqrt(3) + i

imponiamo che z / w sia reale e positivo...

z si può scrivere nella forma:

z = a + ib

dove a è la parte reale (positiva o negativa) e b quella immaginaria; allora scriviamo:

z / w = (a + ib) / (sqrt(3) + i)

Possiamo anche scrivere (questo è un trucco che si usa spesso):

z / w = (a + ib) * (sqrt(3) - i) / (sqrt(3) + i) * (sqrt(3) - i)

Risolvendo otteniamo:

z / w = ( (sqrt(3) * a + b) + i * (sqrt(3) * b - a) ) / 4

Allora imponiamo che il numero abbia parte immaginaria nulla (così è reale):

sqrt(3) * b - a = 0

Cioè a = sqrt(3) * b

Adesso imponiamo che sia positivo:

sqrt(3) * a + b > 0

Tenendo conto del punto precedente risulta:

7 / 4 * b > 0

Cioè b > 0; ricordando che z = a + ib, il luogo di questi punti è quello dei punti con componente immaginaria positiva, cioè il semipiano sopra l'asse delle ascisse.

Spero di non aver fatto confusione...

a me facendo così mi era risultato qualcosa tipo una retta passante per y=1 non ricordo perché il foglio alla fine l'ho cestinato, ma era qualcosa di simile alla tua soluzione grazie cmq

[Mixmar]

Però rifacendola con la notazione esponenziale il risultato mi viene diverso... ummm... devo aver sbagliato qualcosa...

In questo caso, se scrivo w in forma esponenziale, ottengo:

w = 2 * (cos theta + i sin theta)

dove theta vale arctg ( sqrt(3) / 3 ); allora, siccome per dividere due numeri in notazione esponenziale si fa il rapporto tra il raggio e la differenza tra gli angoli, basta imporre che l'angolo del quoziente sia tale da annullare la componente immaginaria e rendere positiva quella reale: cioè, che sin theta = 0 e cos theta = 1; quindi che

theta_z - theta_w = 0

che implica che theta_w = arctg ( sqrt (3) / 3 )


Quindi, perchè un numero complesso appartenga a questo luogo, basta che stia sulla retta passante per l'origine con coefficente angolare pari a sqrt(3) / 3

Però, perchè i due risultati non coincidono?

[Ja]{|e]

Originariamente inviato da Mixmar
Però rifacendola con la notazione esponenziale il risultato mi viene diverso... ummm... devo aver sbagliato qualcosa...

In questo caso, se scrivo w in forma esponenziale, ottengo:

w = 2 * (cos theta + i sin theta)

dove theta vale arctg ( sqrt(3) / 3 ); allora, siccome per dividere due numeri in notazione esponenziale si fa il rapporto tra il raggio e la differenza tra gli angoli, basta imporre che l'angolo del quoziente sia tale da annullare la componente immaginaria e rendere positiva quella reale: cioè, che sin theta = 0 e cos theta = 1; quindi che

theta_z - theta_w = 0

che implica che theta_w = arctg ( sqrt (3) / 3 )


Quindi, perchè un numero complesso appartenga a questo luogo, basta che stia sulla retta passante per l'origine con coefficente angolare pari a sqrt(3) / 3

Però, perchè i due risultati non coincidono?

non lo soooooo

[Mixmar]

Che stupido! No, avevo ragione, i risultati coincidono! Infatti, nel primo caso mi ero dimenticato di imporre anche la prima condizione: dalla seconda, come ho già detto, sappiamo di dove stare nel semipiano superiore; dalla prima, abbiamo che dobbiamo stare sulla retta:

y = sqrt(3) * x

che esattamente il risultato ottenuto con l'altro metodo...

Quindi, ricapitolando, il luogo è la semiretta (dall'origine in sù) con la formula indicata...

Che confusione...

[ChristinaAemiliana]

Non dimenticate l'arctg e ricordate che arctg[(sqrt3)/(3)] è pigreco/8 e siamo a posto...

[ChristinaAemiliana]

Comunque credo sia più semplice scrivere w=2*exp(i*theta)) dove theta è appunto pigreco/8...

[Mixmar]

Hai ragione Christina... i miei numeri immaginari sono un po' esauriti... e anche la mia trigonometria!

[ChristinaAemiliana]

Originariamente inviato da Mixmar
Hai ragione Christina...

Esagerato!!!

[Mixmar]

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Esagerato!!!

Assolutissimamente no!

[ChristinaAemiliana]

Originariamente inviato da Mixmar
Assolutissimamente no!

[FreeMan]

>bYeZ<

[]Rik`[]

già che ci siete, OH SOMMI MATEMATICI, avete qualche sito dove vengono spiegate bene le derivate con numerosi esempi e/o esercizi? grazie

[Ja]{|e]

Originariamente inviato da ]Rik`[
già che ci siete, OH SOMMI MATEMATICI, avete qualche sito dove vengono spiegate bene le derivate con numerosi esempi e/o esercizi? grazie

Consiglio Bertsch-Del Passo affiancato dal Marcellini-Sbordone e vedi come le capisci bene

[PhoEniX-VooDoo]

caxxo solo a leggere il problema mi sono quasi bruciato il cervello...meno male che rafreddo @liquido

[dottorkame]

Se consulti un libro di matematica discreta puoi trovare tutto quello che vuoi sui numeri immaginari

[ChristinaAemiliana]

Cmq consiglio questo testo:

Marco Codegone, Marta Calanchi

METODI MATEMATICI PER L'INGEGNERIA - Esercizi e schemi dei lucidi

Pitagora editrice Bologna


Ci sono dei comodissimi lucidi con tutte le regolette e il primo capitolo è tutto dedicato a esercizi svolti sui numeri complessi...ci sono tutti gli esercizi tipo (che sono poi relativamente pochi). Con una decina di legalissime fotocopie (qualche pagina si può fotocopiare) si ha tutto sotto mano

[S3N]

Scusa ChristinaAemiliana, sse non erro tu sei dottore/laurenda in fisica, o sbaglio?
In tal caso mi vai a consigliare

METODI MATEMATICI PER L'INGEGNERIA































Non me ne vogliano gli ingegneri.