Algebra Lineare e Geometria

[luxorl]

Si considerino i seguenti sottoinsieme di R^3

U= {(x,y,z) t.c. 3x-2+z=0},
V= {(x,y,z) t.c. x+y^2 -z+2=0},
W= {(x,y,z) t.c. 2x+3y-z=0},

1)si decida quali fra essi realizzano la struttura di sottospazio vettoriale;

2)si determinino basi degli eventuali sottospazi;

3)si determinino le dimensioni degli eventuali sottospazi.


Raga qualcuno mi apre gli occhi su come procedere??

[Thunder82]

Originariamente inviato da luxorl
Si considerino i seguenti sottoinsieme di R^3

U= {(x,y,z) t.c. 3x-2+z=0},
V= {(x,y,z) t.c. x+y^2 -z+2=0},
W= {(x,y,z) t.c. 2x+3y-z=0},

1)si decida quali fra essi realizzano la struttura di sottospazio vettoriale;

2)si determinino basi degli eventuali sottospazi;

3)si determinino le dimensioni degli eventuali sottospazi.


Raga qualcuno mi apre gli occhi su come procedere??

1) devi prendere 2 elementi per ogni insieme, e devi vedere se la loro somma appartiene ancora all'insieme (chiusura rispetto alla somma) e se un elemento moltiplicato per uno scalare appartiene ancora all'insieme (chiusura rispetto al prodotto per scalari). Se queste 2 condizioni sono soddisfatte l'insieme è uno spazio vettoriale

2) trovi dei vettori linearmente indipendenti che generano lo spazio vettoriale

3) la dimensione dello spazio vettoriale è il numero dei vettori di una base, quindi una volta fatto il punto 2, il punto 3 è immediato

[Thunder82]

Ti dico già che W è uno spazio vettoriale di dimensione 2:

W = <(-(3/2) , 1 , 0) , (1/2 , 0 , 1)>

[luxorl]

Mi spieghi bene come ci sei arrivato?
Thanks dell'interessamento

[digital_brain]

ma come fate a ricordarvelo???Io l'ho fatto l'altr'anno e non mi ricordo nulla...c'ho pure preso 27...

[luxorl]

Io ho fatto il fatale errore din nn darmelo subito dopo i corsi.. ed ora a distanza di 4 mesi nn mi ricordo un tubo!!

[Thunder82]

Per W:

-La verifica che è uno spazio vettoriale (è semplicissima)

a=(2a,3b,-c),b=(2a',3b',-c')

a+b=(2*(a+a'),3*(b+b'),-1*(c+c')) => a+b appartiene a W

(alfa)*a appartiene a W

-calcolo della base

Il sottospazio ha dimensione 2, perchè sono 3 variabili e 1 sola equazione (3-1=2)

Prendi l'equazione ed espliciti la x:

x=-(3/2)y + (1/2)z

Ora imponi z=a (non c'entra niente il vettore a del punto1); y=b (anche qua non c'entra niente col punto 1, sono solo 2 variabili fittizie)

Quindi hai il sistema:

z=a
y=b
x=-(3/2)b+(1/2)a

Quindi un qualsiasi vettore di W si scrive:

[-(3/2)b+(1/2)a , b , a]

Raccogli a e b e ti viene:

a* [(1/2) , 0 , 1] + b * [-(3/2) , 1 , 0]

Ora come vedi hai espresso tutti i vettori di W come combinazione lineare di 2 vettori, che sono generatori e linearmente indipendenti. Quindi la base (UNA base) di W è quella che ho scritto nel post precedente.


Fai TANTI esercizi, è l'unico modo per passare matematica 2 (io ho preso 30 )

[luxorl]

Originariamente inviato da Thunder82
1) devi prendere 2 elementi per ogni insieme, e devi vedere se la loro somma appartiene ancora all'insieme (chiusura rispetto alla somma) e se un elemento moltiplicato per uno scalare appartiene ancora all'insieme (chiusura rispetto al prodotto per scalari). Se queste 2 condizioni sono soddisfatte l'insieme è uno spazio vettoriale

del punto uno, non ho ben chiaro cosa intendi per: "devi prendere 2 elementi".. come li prendo? poi ne faccio la somma, e come verifico se sta ancora nell'insieme? ...poi per provare: chiuso rispetto al prodotto per scalari, posso prendere un numero qls e mpltiplicarlo per l'elemento scelto prima? e poi come controllo anche qui se il risultato sta nell'insieme?

[luxorl]

aspè
abb postato insieme!! mo leggo...

[Thunder82]

Cmq in mate2 ci sono sempre moltissimi modi per arrivare sempre allo stesso risultato, trovati quello con cui ti trovi meglio e usa sempre quello

[canturio]

Se ti può essere utile, guarda questo link http://kenno.altervista.org/index2.htm , è di un sito che raccogli un bel po' di esercizi di Algebra Linare e Geometria Analitica.
A me è servito un po' (ho fatto questo esame a inizio Febbraio)

[luxorl]

f(x,y,z)=(x-y, 2y+z, 2x+z)

come determino una matrice associata ad f?

[luxorl]

Originariamente inviato da canturio
Se ti può essere utile, guarda questo link http://kenno.altervista.org/index2.htm , è di un sito che raccogli un bel po' di esercizi di Algebra Linare e Geometria Analitica.
A me è servito un po' (ho fatto questo esame a inizio Febbraio)

Ti ringrazio.. adesso gli do uno sguardo!!

[Thunder82]

Originariamente inviato da luxorl
f(x,y,z)=(x-y, 2y+z, 2x+z)

come determino una matrice associata ad f?

Stesso procedimento... raccogli x,y,z e metti i vettori in riga mi pare

x*(1,0,2)+y*(-1,2,0)+z*(0,1,1)

A=

|1 , 0 , 2|
|-1 , 2 , 0|
|0 , 1 , 1|

[luxorl]

Originariamente inviato da Thunder82
Stesso procedimento... raccogli x,y,z e metti i vettori in riga mi pare

x*(1,0,2)+y*(-1,2,0)+z*(0,1,1)

A=

[1 , 0 , 2]
[-1 , 2 , 0]
[0 , 1 , 1]

ok, facile..

[Thunder82]

Però non mi ricordo se vanno messi in riga o in colonna

[luxorl]

A me sembra in colonna.. :\

[Thunder82]

boh

controlla sul libro di mate

[Thunder82]

Cmq aspetta di arrivare alle sottovarietà lineari (intersezioni di rette, piani, ecc...), li sì che c'è da sbattere la testa sul muro!

[Thunder82]

devi metterli in colonna, prva a moltiplicare per

|X|
|Y|
|Z|

e te ne accorgi