Trasformata di Fourier, funzione porta

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Salve a tutti, è il mio primo post su questo forum anche se in passato ho già avuto modo di usufruire di utili consigli trovati qui.
Mi sono ritrovato a dover calcolare la trasformata di Fourier della funzione

p2(2t-1)

(porta di ampiezza 2 nella variabile 2t-1).
Istintivamente ho proceduto così raccogliendo il 2:

p2(2t-1) = p2(2(t-1/2))

per poi calcolare la trasformata di questa funzione applicando le proprietà di riscalamento prima e traslazione poi. Il risultato è stato

(2/w)e^((-iw)/4)*sin(w/2)

Eppure è sbagliato!
Sul mio libro di testo infatti viene svolto in maniera differente, che mi ha lasciato alquanto perplesso. Praticamente il riscalamento è stato applicato subito, senza raccogliere il 2 nella funzione iniziale, per poi calcolare la trasformata della funzione risultante:

F(p2(2t-1))(w) = (1/2)F(p2(t-1))(w/2)

Il risultato finale, che so essere corretto in seguito a una verifica di altra natura, diventa perciò

(2/w)e^((-iw)/2)*sin(w/2)

Ora mi chiedo (anzi vi chiedo): è lecita tale operazione di riscalamento? Avrei giurato di dover prima raccogliere il 2 e pormi in una situazione del tipo

p2(2u), u=t-1/2

Se riusciste a levarmi questo dubbio, ve ne sarei molto grato!

EDIT: TOPIC RIPROPOSTO NEL THREAD UFFICIALE DI MATEMATICA, LASCIAR PERDERE QUESTO GRAZIE