Esercizi statistica & probabilità

[Fabietto206]

Sperando ke sia la sezione giusta x parlare di qst argomento, vi propongo i seguenti esercizi:

Es 1

Gli acquirenti di un concessionario di auto possono decidere fra 3 possibili cilindrate: 1000, 1400, 2000. Fra tutte le auto di quel modello vendute dal concessionario, solo il 10% delle auto con cilindrata 1000 nn supera il test sulle emissioni a 2 anni dalla vendita, di quelle con cilindrata 1400 la percentuale è 12%, mentre per le 2000 è di 15%. Un cliente nel decidere l'auto, lancia a caso un dado: se esce 1,2,3 sceglie il 1000, se esce 4 o 5 opta x la 1400, se esce 6 per la 2000.
1 - Qual'è la probabilità che la sua auto non supererà il test sulle emissioni a 2 anni dalla vendita?
2 - Qual'è la probabilità che, non avendo superato il test sulle emissioni la sua auto abbia un motore di 1000?

Es2

Una moneta è stata lanciata 3000 volte in modo indipendente. Esce 1430 volte testa e 1570 croce. Costruire un intervallo di confidenza per campioni numerosi a livello di confidenza 99% per la probabilità p che esca testa. Esprimere il risultato in termini degli opportuni quantili

Es3

Il numero di auto che transitano dal casello di Milano è mediamente di 20 ogni ora. Supponiamo che X sia poissoniana e che il numero di macchine che transitano da quel casello in intervalli di tempo disgiunti siano indipendenti.
1 - Calcolare la probabilità che in 2 ore arrivino almeno 20 auto.
2 - Sapendo che dalle 8 alle 10 di una certa mattina non sono transitate auto, calcolare la probabilità che durante quella stessa mattina, dalle 8 alle 12, di auto ne siano transitate esattamente 5
3 - Guidando su quella autostrada una data mattina, transitate dal casello e vi arrestate immediatamente dopo x aspettare la prossima auto. Calcolare la probabilità che la prossima auto che transita dal casello dopo di voi non arrivi prima di 6 minuti.

Es4

Si tracci il grafico della seguente funzione di distribuzione cumulativa di una variabile X:
FX(x) = (2x^2 +2x +1/2) I {-1/2,0} + (-2x^2 +2x +1/2) I {0,1/2} + I {1/2,+inf}
1 - Determinare la corrispondente funzione di densità fX(x)
2 - Calcolare la media di X

Ecco quello a cui ho pensato io:

Es1
P(1,2,3) = 1/2 = P (sceglie cilindrata 1000)
P(4,5) = 1/3 = P (sceglie cilindrata 1400)
P(6) = 1/6 = P (sceglie cilindrata 2000)
1 - P(non supera il test) =
2 - P(non supera il test e auto 1000) = uso la prob. condizionata, P(nn supera il test | P(1,2,3)) * 1/2

Es2
Non saprei proprio come risolverlo

Es3
X è distribuita come Poisson(20).
1 - In 2 ore mediamente passano 40 auto. P(X >= 20) = uso formula distr. poisson
2 - P(X = 5)
3 - Non saprei

Es4
Se disegno la funzione ottengo 2 parabole e una retta giusto? Ecco, poi non saprei come andare avanti.


Qualcuno sa darmi una mano x favore? Magari anche dandomi semplicemente una traccia della possibile soluzione...

[Fabietto206]

Nessuno sa darmi una mano? Mi basta anke solo un idea x risolverli...

[Dumah Brazorf]

Il 4°:
La FX(x) è una funzione monotona crescente (quindi non decresce mai) che assume valori da 0 a 1 (mai sopra mai sotto). Se disegni il grafico seguendo gli intervalli vedrai che parte da -infinito a 0, sale in modo monotono fino a 1 e vi resta all'infinito per cui rispetta la definizione.
La funzione densità di probabilità fX(x) è la derivata di FX(x). L'integrale di fX(x) (quindi l'area sottesa al suo grafico) in tutto R sarà pari a 1 e la funzione non ammette valori negativi (è palese considerando la funziona dalla quale deriva!)
La media si ottiene integrando in R [x*fX(x)]dx