Problemino: Determinare i numeri reali x>0 tali che:

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Determinare i numeri reali x>0 tali che:

1 + x - x^2 >= x^x



qual è la procedura per risolverlo?

grazie

[Lucrezio]

Originariamente inviato da Print

Determinare i numeri reali x>0 tali che:

1 + x - x^2 >= x^x

qual è la procedura per risolverlo?

grazie

Innanzitutto la funzione x^x, per x>0, si può scrivere come

La funzione tende a uno per x che tende a zero; ha derivato

Quindi ammette minimo nel punto 1/e. Ovviamente tende a infinito (velocemente) per x che tende a infinito: ora hai un'idea di come è fatta.
La funzione 1+x-x^2/2 è una parabola con la concavità verso il basso; passa per (0,1), ha vertice in (1,3/2), taglia l'asse delle x in 1+-sqrt(3).
Le due funzioni si intersecano in (0,1) e in un punto con ascissa compresa fra 1 e 2.
Puoi provare a trovare una soluzione approssimata per bisezione o con il metodo delle tangenti di newton, ad esempio

[fsdfdsddijsdfsdfo]

la soluzione è x=1 (determinata graficamente cercando un intervallo in cui applicare newton)

è importante scegliere bene l'intervallo di applicazione perchè la formula è:

X=x-(x^x+x^2-x-1)/(2x-1-x^x(ln(x)+1))

c'è un ln(x), per intervalli molto grossi è facile che oscillando diventi negativa e quindi non converga... (o magari converge nei complessi... boh non so)

l'intervallo in cui applicare è facile da scegliere, disegnandole si capisce che la soluzione è compresa tra il vertice della parabola (1/2, f(1/2)>0) e la seconda radice del polinomio (x-p+, f(b)<0)

Mi stavo scimmiando per trovare una soluzione

Alcune forme equivalenti

x-(1+sqrt5)/2=p+

x-(-1+sqrt5)/2=p-

(p-)(p+)=x^x

la funzione nella forma base non è definita solo per x=0

forme equivalenti che però non ammettono la soluzione come risultato (!!! com'è possibile ???!!!):

log(p+,x)/x-log(p-,x)/x=0 (la piu promettente, sono quasi sicuro di averla vista da qualche parte)

...

x=((p+)(p-))^(1/x)

[Lucrezio]

Sicuro?
A me viene più grande di 1...

[stbarlet]

Originariamente inviato da Lucrezio

Sicuro?
A me viene più grande di 1...

ma sostituendo la soluzione è 1

[Lucrezio]

Originariamente inviato da stbarlet

ma sostituendo la soluzione è 1

Uff... per qualche ragione io ho studiato la parobola y=1+x-x^2/2...
sorry

[fsdfdsddijsdfsdfo]

mi spiegate come mai forme equivalenti non ammettono soluzione?


e come mai a volte oscilla sittanto da non ammettere soluzione?