limite, dove sbaglio?

[Guts]

sto cercando di capire dove sbaglio in questo limite ma proprio nn ci riesco mi date una mano pls?

lim (x->+inf) x(arctanx-(pi x + 2)/(2x+1))

io ho fatto così:
denominatore comune e viene

x/(2x+1) * arctanx(2x+1)-(pi x +2)

essendo 2x+1 asintotico a 2x all'infinito diventa

x/2x *( pi/2 (2x+1) - pi x -2)

1/2 * (pi x + pi/2 - pi x -2)

lim (x->+inf) f(x)= pi/4 -1

e invece deve venire pi/4 -2 confermato anche da derive.
cosa sbaglio?
grazie

[Banus]

Originariamente inviato da Guts

essendo 2x+1 asintotico a 2x all'infinito diventa

x/2x *( pi/2 (2x+1) - pi x -2)

[...]

cosa sbaglio?
grazie

Il punto che ho lasciato quotato. Hai due infiniti che si elidono (pi x - pi x), e quindi una forma di indecisione.

[Guts]

e quindi cosa ci devo fare?
nn ne ho proprio idea

[Guts]

anche questo arrivo alla fine che ho un 1/2 di troppo! sarà la stessa cosa?

                    
                            
     x^2 ·COS(x) + 1 - ê^(x^2)   
lim —————————————————————
x˜0                    
          x^2 ·(SIN(x))^2

cosx asintotico a 1
e^(x^2) sviluppato con mclaurin viene 1+x^2+x^4/2+o(x^4)
(sinx)^2 asintotico a x^2

  
                                      
                                   
     x^2  + 1 - 1 - x^2  - x^4/2 - o(x^4)  
                                          
lim ———————————————————————————————
x˜0                 4              
                   x

         4         
        x           4 
     - —— - o·x  
        2        
lim —————————
x˜0         4      
            x

e quindi come risultato mi viene -1/2
invece dovrebbe venire -1!

[Banus]

Originariamente inviato da Guts

e quindi cosa ci devo fare?
nn ne ho proprio idea

Prova a cercare l'asintotico di:

arctan(x) - pi/2

trovato quello, esce. La risposta è -1/x, ma devi spiegare perchè

anche questo arrivo alla fine che ho un 1/2 di troppo! sarà la stessa cosa?

Hai dimenticato un termine del coseno.
Hai:

x^2 * (1 - 1/2 x^2) = x^2 - 1/2 x^4

e sommando i due x^4 che ti ritrovi ottieni il limite giusto.

Quando usi gli sviluppi di Taylor devi assicurarti di portare avanti lo sviluppo fino a una potenza che non viene cancellata nel limite, altrimenti rischi di dimenticare dei termini utili

[Guts]

ok per il secondo avevo sbagliato a sviluppare cosx, per il primo proprio nn riesco a capire! come trovo l'asintotico all'infinito di arctan x - pi/2?

[Banus]

Originariamente inviato da Guts

ok per il secondo avevo sbagliato a sviluppare cosx, per il primo proprio nn riesco a capire! come trovo l'asintotico all'infinito di arctan x - pi/2?

Due modi.

De l'Hopital:
Lim f(x)/g(x) = f'(x)/g'(x)

f(x) = arctan x - pi/2
f'(x) = 1/(1 + x^2)

g'(x) = 1/x^2
=> g(x) = -1/x

arctan(x) - pi/2 ~ -1/x

Sviluppo di Taylor per 1/x = t -> 0 di arctan(1/t) (complicato):

f(0) = pi/2

f'(t) = 1/(1 + 1/t^2) * (-1/t^2) (derivata di funzioni composte)
= -1/(1 + t^2)
f'(0) = -1

f(t) = pi/2 - t + o(t^2)
f(x) = pi/2 - 1/x + o(1/x^2)

arctan(x) - pi/2 ~ -1/x

[Guts]

Originariamente inviato da Banus

De l'Hopital:
Lim f(x)/g(x) = f'(x)/g'(x)

f(x) = arctan x - pi/2
f'(x) = 1/(1 + x^2)

g'(x) = 1/x^2
=> g(x) = -1/x

arctan(x) - pi/2 ~ -1/x

quell'1/x^2 che ho evidenziato da dove esce?

[Banus]

Originariamente inviato da Guts

quell'1/x^2 che ho evidenziato da dove esce?

Visto che cerchiamo l'asintotico, ci importa avere limite 1.

f'(x) = 1/(1 + x^2)

e va a +oo come 1/x^2. Il modo più semplice per avere il limite di f'(x)/g'(x) = 1 è scegliere quindi:

g'(x) = 1/x^2