Funzione di dirichlet

[marcorag]

Ciao,
sapete dirmi se qst funzione è ripetitiva e se esiste un modo x dimostrarlo?

[Banus]

Originariamente inviato da marcorag

Ciao,
sapete dirmi se qst funzione è ripetitiva e se esiste un modo x dimostrarlo?

La funzione dovrebbe avere la strana proprietà di avere come periodo quasiasi numero razionale.
Infatti se x è un numero razionale lo è anche x + q, dove q è razionale (Q è chiuso rispetto alla somma). Se x è irrazionale lo è anche y = x + q, perchè se non lo fosse avremmo x = y - q, quindi x razionale.
Girando sulla rete ho letto che questa funzione ha un andamento che ricorda i frattali... ma non ho indagato ulteriormente

[marcorag]

è quello che penso anch'io, ma il prof dice che è impossibile determinare il periodo xche ci sono infiniti elementi che si susseguono senza un determinato ordine

sai dirmi dove cercare qlk dimostrazione? anche in inglese


grazie

[Banus]

Originariamente inviato da marcorag

è quello che penso anch'io, ma il prof dice che è impossibile determinare il periodo xche ci sono infiniti elementi che si susseguono senza un determinato ordine

La dimostrazione della periodicità l'ho già data (in termini non rigorosi) con il ragionamento del post precedente.
Comunque ho trovato il riferimento sul web:
http://math.feld.cvut.cz/mt/txtb/4/txe3ba4s.htm

La definizione di funzione periodica di periodo T è semplicemente:
f(x) = f(x + T) per ogni x.
Segue immediatamente che la funzione deve essere definita su tutto l'asse reale. Inoltre una funzione può avere più periodi. Se si parla di periodo al singolare in genere si considera quello minimo, ma non sempre è definito. Se la funzione ha due periodi T e T' commensurabili (mT' = nT) allora la funzione è anche periodica di periodo T/m (=T'/n), e puoi prendere questo come periodo. Ma se i due periodi non sono commensurabili, o nel caso della funzione di Dirichlet, avresti che il periodo è infinitesimo, non ha molto senso

Per vedere l'andamento della funzione è utile scalare l'altezza in base al denominatore:
http://mathworld.wolfram.com/DirichletFunction.html