[algebra] sistemi lineari

[Isomarcus]

ciao a tutti

martedì ho l'esame di algebra lineare e da due giorni ormai sto perdendo tempo appresso ad una stupidaggine. in pratica mi si chiede di esprimere una condizione sui termini a,b,c in modo che il sistema ammetta: 1) nessuna soluzione 2) un'unica soluzione 3) infinite soluzioni.


il sistema è il seguente (dato che non so come fare gli indici uso gli apici per distinguere le incognite)


2x' - 3x''- 3x''' = a
-x' + x'' +2x''' = b
x' - 3x'' = c

allora da quanto ho capito il sistema non può ammettere un'unica soluzione, in quanto rappresenta due piani e una retta. perciò se ammette soluzioni può ammettere infinite soluzioni (dato che l'intersezione tra i due piani deve combaciare con la retta della 3° equazione) oppure non ammette nessuna soluzione (nel caso i due piani e la retta non si intersechino)

però non ho capito come faccio a stabilire quando il sistema ammette o non ammette soluzioni basandomi su a,b e c

allo stesso modo in questo esercizio preso da uno degli appelli precedenti:

sia dato il seguente sistema lineare

x' - x'' + x''' = -k
x' + x'' + kx''' = 1
x' + kx'' + kx''' = 0

determinare per quali valori del parametro k il sistema ammette una, nessuna, infinite soluzioni.


non so come mettere in relazione k con le soluzioni del sistema


se qualcuno mi può aiutare... gliene sarò grato... sono sicuro che è una stupidaggine ma proprio mi sfugge il passaggio (sarà che ormai da inizio mese spendo la mia vita su sto libro di algebra )

grazie

[AleX_ZeTa]

hai fatto Rouché-Capelli?

[Isomarcus]

sì, almeno nella teoria

[AleX_ZeTa]

e allora basta applicare quello: calcola il rango della matrice dei coefficienti e della matrice completa. Se sono uguali il sistema ha soluzioni, altrimenti è impossibile. Se ha soluzioni la dimensione dello spazio delle soluzioni è la differenza fra la dimensione dello spazio vettoriale in cui lavori e il rango delle due matrici.

[Isomarcus]

dunque (scusa ma ho il cervello in pappa)


viene fuori un rango diverso. quindi questo sistema non ha soluzioni. allora quando mi chiedono di "esprimere una condizione sui termini a,b,c in modo che il sistema accetti una, nessuna, infinte soluzioni" in questo caso posso dire che per qualsiasi valore di a, b e c, e per qualsiasi condizione si applichi loro il sistema non ha soluzioni giusto?

se avesse accettato soluzioni invece, è giusto dire che non può accettarne una singola, dato che le soluzioni sono rappresentate dalla retta di intersezione tra i due piani, che coincide con la retta della terza equazione?


(mi scuso per la banalità delle domande, sono in imbarazzo pure io ma è da stamattina che sto studiando ininterrottamente sta roba, se non passo sto esame mi tocca abbandonare gli studi )

[Isomarcus]

ho verificato anche l'altro esercizio e pare ammetta soluzioni visto che le due matrici ridotte hanno rango uguale.

adesso però sono nuovamente bloccato...

allora la matrice completa è

1       -1        1       -k

1        1        k         1

1        k        k         0

come faccio a dirgli per quali valori di k il sistema ammette una, nessuna, infinite soluzioni? devo risolvere il sistema rispetto a k?

[AleX_ZeTa]

calcola il rango in funzione di k... direi con la riduzione a scala di Gauss...

[Isomarcus]

ok grazie


posso fare un'altra domanda? (mi blocco sempre sulle stupidaggini )


allora nel calcolo degli autovettori di una matrice, io arrivo alla fine ad avere una matrice a scala per righe ridotta dopo la riduzione gaussiana. a questo punto, quale passaggio mi permette di arrivare alla forma X = t [x1 x2 x3] (trasposta) ?

mi spiego meglio. nel calcolo degli autovalori e autovettori della matrice

1    1   1
0    2  -1
0   -3   0

trovo come autovalori 1, 3 e -1

ora, devo trovare l'autovettore in funzione del primo autovalore L1 = 1

arrivo ad avere, dopo la riduzione gaussiana, una matrice a scala per righe ridotta così composta

0   1   0   0
0   0   1   0
0   0   0   0

come faccio da questa matrice ad arrivare all'autovettore X = t [ x1 x2 x3] (trasposta) ?


grazie ancora

[Lucrezio]

Originariamente inviato da AleX_ZeTa

calcola il rango in funzione di k... direi con la riduzione a scala di Gauss...

Sbanfiamo il nostro 28 di geometria (e il 30 di G2) eh?
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