[Esempi&Info] Equazioni Differenziali

[cagnaluia]

Lo so.. è caldo, la scuola è finita e nessuno vuol più sentir parlare di matematica e affini.


Facciamo qualcosa di leggero allora: Equazioni Differenziali (primo ordine). :D


Esempio:

| y' = (x+1)y x appartiene ad R
|
| y(2) = -1

Bene.


1. Dividiamo l'equazione per y:

y'/y = (x+1)


2. Mettiamo l'integrale

integrale (y'(x)/y(x))dx = integrale (x+1)dx + C


3.0. Risolviamo e troviamo le primitive

ln|y(x)| = 1/2(x+1)^2 + C


3.1. Quindi

y(x) = +/- ( e^C )* ( e^( (1/2)(x+1)^2 ) )


4.0. Poniamo

A = +/- e^C


4.1. Quindi

y(x) = Ae^( (1/2)(x+1)^2 )


5.0. Imponendo la condizione y(2) = -1 determiniamo A

Ae^( (1/2)(2+1)^2 ) = -1


5.1. Quindi

A = -e^(-9/2)

e

y(x) = -e^( (1/2)((x+1)^2-9) )




Bene... questa sopra dovrebbe essere la soluzione!


Ho un info da chiedere:

Sulla 3.1. come fa la y(x) a diventare una moltiplicazione fra due valori "e" di nepero?

:D :) :confused:

[verde_acqua]

per trovare l argomento della funzione logaritmo applica la sua funzione inversa a dex e a six dell uguaglianza.
cioe fai
e alla ln|y(x)| che fa y(x) a six

e e alla 1/2(x+1)^2 + C che puoi scrivere anke come e^(1/2(x+1)^2) *e^ C

ok?

[cagnaluia]

limpido!


grazie :)



un altra cosa:

Esempio 2

|
| y' = (sinx+1)/y^2
| y(0) = 1
|


Se procedo come prima... moltiplicherei a dx e a sx per y^2 e uscirebbe:

y'y^2 = sinx+1

quindi

integrale y'(x)y^2(x) = integrale sinx+1

ecco qui mi ingarbuglio... dovrei trovare la una primitiva della funzione di sx... ma chi è ? e perchè?

[verde_acqua]

scusa nn voglio assulutamente essere polemico con questa domanda, è una semplice curiosita. sei una ragazzo tra i 17 e i 19 (che usa la gentoo! ankio sei una grande) che magari fa l 'itis informatico e sei legista?

[cagnaluia]

scusa nn voglio assulutamente essere polemico con questa domanda, è una semplice curiosita. sei una ragazzo tra i 17 e i 19 (che usa la gentoo! ankio sei una grande) che magari fa l 'itis informatico e sei legista?

Ho il pistolino.

l'itis informatica lho finito ancora nel 2001.... :D

è si gentù...mai amato tanto linux

beh.. tra il peggio e il leggerissimamente meno peggio... Lega.. :stordita:

ciau

[BananaFlanders]

Esempio 2

|
| y' = (sinx+1)/y^2
| y(0) = 1
|


Se procedo come prima... moltiplicherei a dx e a sx per y^2 e uscirebbe:

y'y^2 = sinx+1

quindi

integrale y'(x)y^2(x) = integrale sinx+1

ecco qui mi ingarbuglio... dovrei trovare la una primitiva della funzione di sx... ma chi è ? e perchè?


1/3 y^3 = -cosx + x + c

Poi concludi il problema di Cauchy: c = 4/3

Credo si faccia così. :stordita:

[cagnaluia]

1/3 y^3 = -cosx + x + c

Poi concludi il problema di Cauchy: c = 4/3

Credo si faccia così. :stordita:


scusami ancora.


ma come recupero adesso y(x)

dalla: (y(x))^3/3 = - cos x + x + C

///// dovrei moltiplicare per 3 ambo i membri di DX e SX, e mettere sotto radice cubica il mebro di DX?


e ancora: perchè C=4/3 ???


:confused:

[BananaFlanders]

scusami ancora.


ma come recupero adesso y(x)

dalla: (y(x))^3/3 = - cos x + x + C

///// dovrei moltiplicare per 3 ambo i membri di DX e SX, e mettere sotto radice cubica il mebro di DX?

Sì.


e ancora: perchè C=4/3 ???

:confused:

Come condizione iniziale hai anche y(0)=1, perciò sai che quando x = 0 y = 1.

Li sostituisci dentro la primitiva trovata e calcoli c, che individua l'equazione che ti serve (questo si chiama problema di Cauchy se non ricordo male).


Se qualcuno passa di qui e vede che ho sbagliato mi corregga, non si sa mai. :p

[cagnaluia]

e ancora: perchè C=4/3 ???


:confused:


ok.. quindi se x=0 e y=0

abbiamo:

(1^3)/3 = -cos0 + 0 + C

da cui:

C = 1/3 +1 = 3/4


bene, si, ottimo





----


una sottigliezza...

a DX il membro ha il fattore di moltiplicazione 3, dentro o fuori radice cubica?
Io lho messo fuori.

[cagnaluia]

totale:

il risultato è:


y(x) = 3 * radicecubica (-cos x + x + 3/4)


-----------

esiste il limite per x-->+infinito, della soluzione? in caso affermativo quanto vale?

....il limite nn esiste se la soluzione è quella sopra! pke va tutto all infinito.

[BananaFlanders]

totale:

il risultato è:


y(x) = 3 * radicecubica (-cos x + x + 3/4)


-----------

esiste il limite per x-->+infinito, della soluzione? in caso affermativo quanto vale?

....il limite nn esiste se la soluzione è quella sopra! pke va tutto all infinito.

Anche il 3 deve entrare nella radice cubica. :)

IMHO non esiste il limite per x --> infinito, dato che cosx ha come intervallo di esistenza [0,2pi greco]

[cagnaluia]

:)



bueno