rango di matrici con variabili

[DarkSiDE]

ho una matrice 3x4 che contiene h, variabile reale, devo calcolare per quali
valori di h la matrice assume rango massimo. Mi sono calcolato il
determinante di una sottomatrice 3x3 e l'ho posto diverso da zero,
presuppongo sia giusto.

La matrice è questa:

|2 2h+3 h 2h-3|
|-2 -1 1 3|
|2 h+2 -1 h|


bene, se scelgo 1 2 3 colonna otterrò h diverso da -1, se scelgo 1 3 4
colonna otterrò h diverso da -3 e -1. Dove sbaglio? Posso sapere a priori
quale combinazione di colonne (righe) mi conviene scegliere?

grazie :-)

[Ziosilvio]

se scelgo 1 2 3 colonna otterrò h diverso da -1, se scelgo 1 3 4 colonna otterrò h diverso da -3 e -1. Dove sbaglio?
Nel fatto che non consideri anche le altre due sottomatrici quadrate di ordine 3, ossia quella in cui prendi le colonne 1, 2, e 4, e quella in cui prendi le colonne 2, 3 e 4.
Infatti finora sai solo che se h=-1 allora due sottomatrici di ordine 3 hanno determinante nullo, mentre se h=-3 allora una di queste due sottomatrici ha determinante nullo e l'altra no. Quindi, l'unico valore possibile di h per cui la matrice ha rango inferiore a 3, è h=-1: ma per esserne certo, devi calcolare anche i determinanti delle altre due sottomatrici.
Posso sapere a priori quale combinazione di colonne (righe) mi conviene scegliere?
No.
Però puoi usare il Teorema di Kronecker per effettuare una ricerca "bottom-up" di una sottomatrice quadrata non singolare di ordine massimo.

[DarkSiDE]

Nel fatto che non consideri anche le altre due sottomatrici quadrate di ordine 3, ossia quella in cui prendi le colonne 1, 2, e 4, e quella in cui prendi le colonne 2, 3 e 4.
Infatti finora sai solo che se h=-1 allora due sottomatrici di ordine 3 hanno determinante nullo, mentre se h=-3 allora una di queste due sottomatrici ha determinante nullo e l'altra no. Quindi, l'unico valore possibile di h per cui la matrice ha rango inferiore a 3, è h=-1: ma per esserne certo, devi calcolare anche i determinanti delle altre due sottomatrici.

No.
Però puoi usare il Teorema di Kronecker per effettuare una ricerca "bottom-up" di una sottomatrice quadrata non singolare di ordine massimo.


perfetto, quindi deduco sia più conveniente applicare la fattorizzazione per calcolarmi il rango, un ultimo dubbio: trovare una sottomatrice quadrata di dimensione 3 non è sufficiente per stabilire che la matrice ha rango 3?

grazie mille

ps insegni, vero?

[Ziosilvio]

perfetto, quindi deduco sia più conveniente applicare la fattorizzazione per calcolarmi il rango
Non ne sono sicurissimo, ma credo che in realtà anche questo dipenda dal rango e dalla dimensione della matrice.
(Però dovrei calcolare una complessità asintotica, e non mi va.)
trovare una sottomatrice quadrata di dimensione 3 non è sufficiente per stabilire che la matrice ha rango 3?
Trovare una sottomatrice quadrata di dimensione 3 con determinante diverso da zero è sufficiente per stabilire che la matrice ha rango maggiore o uguale a 3.
insegni, vero?
Anche.

[DarkSiDE]

Non ne sono sicurissimo, ma credo che in realtà anche questo dipenda dal rango e dalla dimensione della matrice.
(Però dovrei calcolare una complessità asintotica, e non mi va.)

Trovare una sottomatrice quadrata di dimensione 3 con determinante diverso da zero è sufficiente per stabilire che la matrice ha rango maggiore o uguale a 3.

Anche.


si, che cretino che sono, ho dimenticato "con determinante diverso da zero" ;)