[Esempi&Info] Analisi Matematica - Varie [Archivio]

JL_Picard

20-07-2005, 16:24

Sempre qui...

Esercizio 1.

f(x,y) = x^4 ? 3 * x^2 * y^2

.Determinare il piano tangente al grafico della funzione nel punto di coordinate (1, 2)

.Calcolare il minimo di f sul triangolo chiuso di vertici (0, 0), (0, 1), (1, 1).

----------

Allora, questa come si cominicia? o meglio... di cosa si tratta?

cosa c'è al posto del "?" nella formula f(x,y) = ...

In via generale tu hai una funzione nello spazio del tipo Z = f (x,y) che in via generale rappresenta una superficie.

Come nel piano ogni linea continua ammette una retta tangente,
così nello spazio ogni superficie continua ammette un piano tangente.

ogni piano nello spazio è determinato da tre coefficienti (i coseni direttori, se la memoria non mi inganna).

per cui servono tre equazioni:

Tu hai che:

- il piano e la superficie passano per il punto assegnato;
- la derivata parziale rispetto ad x del piano e della superficie sono uguali nel punto assegnato;
- la derivata parziale rispetto ad y del piano e della superficie sono uguali nel punto assegnato;

sistema di tre equazioni in tre incognite.

Per la seconda parte della domanda devi determinare i minimi relativi della funzione data, INTERNI all'intervallo dato e devi calcolare la funzione per TUTTI i punti al contorno.

il valore richiesto è il MINIMO assoluto fra tutti i valori trovati.

cagnaluia

20-07-2005, 16:30

è una -, meno.... :fagiano:

ora leggo i tuoi suggerimenti

cagnaluia

21-07-2005, 10:54

JL_Picard

21-07-2005, 13:10

quindi..

data la f(x,y) = x^4 - (3x^2 * y^2)

troverei la f(1,2) = 1 - 3*4 = -11

poi le derivate parziali:

fx(1,2) = 4 - 24 = -20
fy(1,2) = 1 - 12 = -11

e comporrei l'equazione del piano tangente: z = -20x -11x -11

così? :) :help:

Direi proprio di no.

Cominciamo dalle derivate parziali:

fx = 4 x^3 - 6 x * y^2 da cui fx(1,2) = 4 - 24 = - 20

fy = -6 x^2 * y da cui fy(1,2) = -12

Posto che un piano generico ha equazione

z= ax + by + c e che si ha

derivata parziale rispetto a x = a
derivata parziale rispetto a y = b

da queste due è immediato ricavare a = - 20 b = -12

sostituendo nell'equazione del piano ed imponendo che z(1,2) = -11

si ottiene -20 * 1 - 12 * 2 + c = - 11

da cui c = -11 + 20 + 24 = 33

cagnaluia

21-07-2005, 13:10

intanto passo ad un altro esercizio... veloce veloce

http://img226.imageshack.us/img226/7404/untitled11zt.jpg

secondo me, per ogni K... è il denominatore che comanda

cagnaluia

21-07-2005, 13:12

Direi proprio di no.

Cominciamo dalle derivate parziali:

fx = 4 x^3 - 6 x * y^2 da cui fx(1,2) = 4 - 24 = - 20

fy = -6 x^2 * y da cui fy(1,2) = -12

Posto che un piano generico ha equazione

z= ax + by + c e che si ha

derivata parziale rispetto a x = a
derivata parziale rispetto a y = b

da queste due è immediato ricavare a = - 20 b = -12

sostituendo nell'equazione del piano ed imponendo che z(1,2) = -11

si ottiene -20 * 1 - 12 * 2 + c = - 11

da cui c = -11 + 20 + 24 = 33

ah.. ok, ora è piu chiaro.. thanks :)

avevo fatto un pò il sempliciotto

cagnaluia

21-07-2005, 16:46

Direi proprio di no.

Cominciamo dalle derivate parziali:

fx = 4 x^3 - 6 x * y^2 da cui fx(1,2) = 4 - 24 = - 20

fy = -6 x^2 * y da cui fy(1,2) = -12

scusa... la fy..... che fine fa x^4 ???? ... non mi dire.. che su una derivata parziale... spariscono i termini dove nn è presente in questo caso la y...!!!??? :mbe:

e poi...

z= ax + by + c e che si ha

derivata parziale rispetto a x = a
derivata parziale rispetto a y = b

da queste due è immediato ricavare a = - 20 b = -12

numble... :(

che cos'è capitato qui?
1. "c" che fine ha fatto?
2. perchè a=-20b=-12?

proprio nn ci arrivo :mc:

JL_Picard

21-07-2005, 16:49

scusa... la fy..... che fine fa x^4 ???? ... non mi dire.. che su una derivata parziale... spariscono i termini dove nn è presente in questo caso la y...!!!??? :mbe:

Esatto.

Stai derivando rispetto a y, per cui i termini solo in "x" sono da considerarsi come termini noti, e come tali hanno derivata nulla.

cagnaluia

21-07-2005, 17:07

scusa... la fy..... che fine fa x^4 ???? ... non mi dire.. che su una derivata parziale... spariscono i termini dove nn è presente in questo caso la y...!!!??? :mbe:

e poi...

numble... :(

che cos'è capitato qui?
1. "c" che fine ha fatto?
2. perchè a=-20b=-12?

proprio nn ci arrivo :mc:

...
da queste due è immediato ricavare a = - 20 b = -12
:muro:

la leggevo senza la punteggiatura....

del tipo: per un punto, martin perse la cappa....

da queste due è immediato ricavare a = - 20; b = -12

cagnaluia

21-07-2005, 19:30

intanto passo ad un altro esercizio... veloce veloce

http://img226.imageshack.us/img226/7404/untitled11zt.jpg

secondo me, per ogni K... è il denominatore che comanda

da quel che so.. per essere convergente è necessario che il limite della funzione nella sommatoria, per n->infinito risulti 0.

il problema è che pare.. per qualsiasi k, il limite sia = 0.. ma anche per k=-n..... di conseguenza anche per k>1

JL_Picard

21-07-2005, 19:42

da quel che so.. per essere convergente è necessario che il limite della funzione nella sommatoria, per n->infinito risulti 0.

il problema è che pare.. per qualsiasi k, il limite sia = 0.. ma anche per k=-n..... di conseguenza anche per k>1

Non capisco quale sia il problema.

Quando ti propone la soluzione k > 1 si intende "SOLO per k > 1"

analogamente k = -n è da intendersi "SOLO per k = -n"
per cui non c'è ambiguità.

L'unica corretta è "per ogni valore di k"

AleX_ZeTa

21-07-2005, 19:56

da quel che so.. per essere convergente è necessario che il limite della funzione nella sommatoria, per n->infinito risulti 0.

questo è falsissimo. La serie armonica (sum(1/n)) diverge. Quella è invece condizione necessaria

cagnaluia

23-07-2005, 08:44

questo è falsissimo. La serie armonica (sum(1/n)) diverge. Quella è invece condizione necessaria

ok. ora sono in confusione.. :stordita:

come faccio per capire se una serie converge o meno?

JL_Picard

23-07-2005, 10:10

ok. ora sono in confusione.. :stordita:

come faccio per capire se una serie converge o meno?

AleX_ZeTa voleva dire che la condizione da te indicata (limite della funzione per n tendente a infinito =0) è condizione necessaria, ma non sufficiente.

Un modo per dimostrare che una serie converge è quello di dimostrare che per n maggiore di un dato N, ogni termine della serie data è minore del corrispondente termine di una serie di cui si può dimostrare la convergenza.

cagnaluia

23-07-2005, 10:37

AleX_ZeTa voleva dire che la condizione da te indicata (limite della funzione per n tendente a infinito =0) è condizione necessaria, ma non sufficiente.

Un modo per dimostrare che una serie converge è quello di dimostrare che per n maggiore di un dato N, ogni termine della serie data è minore del corrispondente termine di una serie di cui si può dimostrare la convergenza.

ok, capito. allora provo a fare delle prove di comparazione tra la mia e quella armonica.. ;)

intanto aggiungo questo:

Esercizio:

Qual'è il valore dell integrale della funzione

f(x,y) = (e^(-x+1) ) * (y^2)

sull'insieme (x,y): 0<=x<=1 e 0<=y<=2

allora io ho provato ad iniziare sviluppando gli integrali parziali, ho fatto bene?

quindi:

fx(x,y) = integrale(da 0 a 1) ( (e^(-x+1) / (-x+1) ) * y^2) + C

fy(x,y) = integrale(da 0 a 2) ( (e^(-x+1) * y^3) / 3 ) + C

e da qui... risolvere gli integrali parziali..?

JL_Picard

23-07-2005, 12:24

ok, capito. allora provo a fare delle prove di comparazione tra la mia e quella armonica.. ;)

No. Devi trovare una funzione convergente che massimizzi la tua funzione.

Anche se dimostrassi che da un dato n in poi i termini della tua funzione sono minori dei corrispondenti termin9i della serie armonica, non avresti ancora dimostrato la convergenza della tua serie.

Per gli integrali doppi, mi dispiace sono troppo "arrugginito" e non ho con me i miei fidi manuali...

cagnaluia

24-07-2005, 15:46

http://img148.imageshack.us/img148/848/d43xb.jpg

io dico: lim a|n = 0

cagnaluia

24-07-2005, 15:58

http://img309.imageshack.us/img309/6776/d59ag.gif

nessun valore di a.. ?

cagnaluia

25-07-2005, 12:15

uppino... poi vado a far l esame :D

cagnaluia

25-07-2005, 12:39

:confused:

stavo facendo qualche esercizietto sui limiti con de l'hopital...

e ho trovato questa:

lim (x->0) di (cosx-1)/x^2

allora.. faccio le derivate del numeratore e del denominatore:

-sinx / 2x

ma questa è ancora una forma indeterminata! eppure il risultato è -1/2 ?? :confused: :mbe:

JL_Picard

25-07-2005, 16:08

cagnaluia

25-07-2005, 17:28

Prova ad applicare nuovamente de l'Hopital...

ottieni -cosx / 2 = -1/2...

uh. lo posso riapplicare.. mille e mille volte.. che bello :D

tènks...

daresti un occhio agli ultimi 2 esercizi che ho lasciato dietro.. :help: ;)

JL_Picard

25-07-2005, 18:34

Le risposte alle domande 4 e 5 mi sembrano corrette
(spero anche il ragionamento che hai fatto ad esse).

PS: che studi stai facendo?

cagnaluia

25-07-2005, 18:37

Le risposte alle domande 4 e 5 mi sembrano corrette
(spero anche il ragionamento che hai fatto ad esse).

PS: che studi stai facendo?

il ragionamento è basato sulla pura e semplice intuizione... poco di più.

iscritto a scienze matematiche :D .. davvero..

ma specializzazione informatica!

insomma.. la matematica può anche piacermi ma nn ne vengo fuori, per il resto tutto bene... :)

JL_Picard

25-07-2005, 18:50

Attenzione...

A volte l'intuito ti frega.. e alcuni docenti non accettano soluzioni "intuitive".

Se a volte nn ne vieni fuori, hai scelto proprio la facoltà che fa per te...

Io Liceo scientifico + Ingegneria Civile...

(per inciso ho sempre preferito gli esercizi alla teoria)

cagnaluia

26-07-2005, 18:31

AHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
AHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHAHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHAHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
AHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHAHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
AHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
AHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
AHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH

ho fatto l'esame oggi! e per un pelo mi tocca fare l'orale, domani! domani! nooooooooOOOOOOOOOO!!!!!

uff.. che balle.. e io che gli racconto????

e oltretutto... che balle mi tocca fare altri >100KM di strada... DA SOLO...!!! hmmmmmmmmmmmmm

e in più: sono 3 giorni CHE NN VADO A LAVORO..!!!!! uhauhauhauhuha... mi uccidono!!!

serve aiuto...
io posto parte dell'esame.. ma qualcuno mi deve dare una mano.. sisisisiisisiis

mamamananniannaaoaooannoaonaonmanoi
manoi mano
òòòùùù mano

poi pago da bere.. è... sisisiisisi venite a trovarmi a trento e apro le botti!

:cincin: :mano: :burp: :help: :help: :help: :help: :help: :help:

cagnaluia

26-07-2005, 18:40

posto qualche esercizio.. li ho fatti.. ma ignoro quali siano quelli giusti e quelli sbagliati..

ESERCIZIO 1.

Determinare esplicitamente la soluzione dell equazione differenziale y'= (e^(2y))*(x+3) tale che y(1)=0.

Per quali valori di x è definita la soluzione?

----------------------------------------------------------------------------------------

ESERCIZIO 4.

La popolazione mondiale di una certa specie animale decresce sotto l'influsso della caccia con legge esponenziale del 4% l'anno.
Supponendo che attualmente tale popolazione conti 600 000 individui:

1. Ponendo = 0 l'anno attuale, scrivere la legge che descrive la popolazione nell anno n.

2. Dopo quanti anni la popolazione sarà di 100 000 individui ?

// questa l'ho scritta a parole.. italiano contro matematica !!!
-------------------------------------------------------------------------------------

ESERCIZIO 5

Calcolare l'integrale della funzione f(x,y)=2x/y sul triangolo di vertici (0,0), (0,1), (1,1).

-------------------------------------------------------------------------------------

cagnaluia

26-07-2005, 18:50

e qualche domanda:

DOMANDA 2

Qual'è lo sviluppo di taylor, con punto iniziale x=0 della funzione f(x)= x*arctan(2x) ?

a. f(x) = 2x^2 + R2(x)
b. f(x) = x/(1+x^2) + R2(x)
c. f(x) = x+x^2+R2(x)
d. f(x) = x^2/2 + R2(x)

//io ho messo l'ultima.. ma nn so il pke...:fagiano:

-------------------------------------------------------------------------------------

DOMANDA 4

Qual' è il valore della somma della serie SOMMATORIA da n=2 a infinito di 1/5^n ?

a. +infinito
b. 1/20
c. 1+ 1/5
d. 4/5

// ho segnato 1/20

-------------------------------------------------------------------------------------

DOMANDA 5

Qual è il valore del limite seguente: LIMITE di x-->+infinito di: ( log2x + x ) / (radice(2x^2+1) ) ?

a. 1/radice(2)
b. 1/2
c. 0
d. +infinito

// mi pare di aver segnato +infinito

-------------------------------------------------------------------------------------

DOMANDA 6

La funzione f soddisfa la seguente proprietà: per ogni epsilon > 0 esiste h>0 tale che se 0 < |x-e| < h allora |f(x) - 1|<epsilon.
con e = nepero.
Questa è la definizione di:

a. limite x-->e f(x)=e
b. limite x-->e f(x)=1
c. limite x-->+1 f(x)=e
d. sup [e-teta, e+teta] f(x)=1

//sup nn ho idea di cosa sia!

JL_Picard

27-07-2005, 08:43

ESERCIZIO 4

P = P0 (1+i)^n

dove P0 = Popolazione iniziale = 600.000

i = tasso di crescita o di decrescita = - 0.04

n = anno di calcolo

P = 600.000 (1 - 0.04) ^ n

ponendo 600.000 (1-0.04) ^ n = 100.000

0.96 ^ n = 1/6

passando ai logaritmi

n * ln (0.96) = ln (1/6)

n= ln (1/6) / (ln 0.96) = 43.89

43 anni 10 mesi e 21 giorni...

JL_Picard

27-07-2005, 09:24

DOMANDA 2

Sviluppo in serie di Taylor di una funzione:

f(x) = F(x0) + f' (x0) (x-x0) + f" (x0) (x-x0)ì2/2! + ....

che per x0 = 0 diventa uno sviluppo di McLaurin

f(x) = f(0) + f'(0) * x + f"(0) * x^2/2! + R2(x)

data la funzione

y = x * arctan (2x)

y' = 1 * arct tan (2x) + x * 2 / (1 + 4x^2)

y" = 2 / (1 + 4x^2) + 2 / (1 + 4x^2) - 2x * 8x / (1 + 4x^2)^2

y(0) = 0

y'(0) = 0

y"(0) = 4

per cui, sostituendo nella formula in grassetto

f(x) = 0 + 0 + 4 * x^2/2! + R2(x) = 2* x^2 + R2(x)

quindi la risposta giusta è la prima.

DOMANDA 4

In generale la somma dei primi n termini (da zero a "n") di a^n, con a < 1

è uguale a (1 - a^(n+1)) / (1-a)

il cui limite per n= infinito è 1 / (1-a)

nel tuo caso il limite della serie completa vale 5/4

Poichè ti chiede di calcolare la sommatoria da n=2 in poi, devi togliere i primi due termini, devi togliere i valori

per n= 0 e n=1, ovvero, rispettivamente, 1 e 1/5 = 6/5

per cui la soluzione è 5/4 - 6/5 = 25/20 - 24/20 = 1/20

DOMANDA 5

Raccogli x al numeratore e x^2 sotto radice e portando x "fuori radice"

l'espressione si riscrive come

y= [x * (1+ (log2x)/x)] / [x * radice (2 + (1/x^2))]

a questo punto puoi semplificare x, ottenendo

y= [(1+ (log2x)/x)] / [radice (2 + (1/x^2))]

per x --> infinito,

il numeratore tende a 1 (il secondo termine ha limite =0, come è facile dimostrare applicando de l'hopital)

il denominatore tende a radice (2) (il secondo termine ha anch'esso limite =0)

per cui in definitiva hai

lim x--> infinito di y(x) = 1/ radice (2) quindi la risposta è la a.

DOMANDA 6

il quesito è una formulazione alternativa della definizione di limite.

per cui la risposta corretta è la b.

cagnaluia

27-07-2005, 10:00

cavolo.. ma sei un genio!!!

ma come fai?? a sapere tutte ste robe.... :)

ieri ho scritto questo al professore di analisi.. e mi ha risposto:

>sempre su registrazione esame 26072005.
>
>Io proporrei questo: (potrebbe andare bene ad ambedue le parti...)
>
>1. faccio l'appello di settembre
>2. se l'appello di settembre vedo che va male, mi ritiro.
>3. se l'appello di settembre va bene, continuo con questo.
>
>4. nel caso la 2. Vengo a farmi crocifiggere all'orale.
>
>
>E' un idea. Con tono scherzoso, per evitare di venire su a trento domani
>27072005.
>
>
>Certo di una pronta risposta, porgo Distinti saluti: Martignago Fabio.

se capisco bene, mi sta chiedendo di tenerle
buono questo scritto nel caso si ritiri da quello
di settembre.
non sarebbe nelle regole, ma va bene piuttosto che fare un orale impreperato.

saluti

JL_Picard

27-07-2005, 10:13

cagnaluia

27-07-2005, 10:20

No. solo uno che con i numeri se la cava più che bene.
(allo scritto di analisi due ho preso 29... può bastare?)

E poi, per gli argomenti che non ricordo bene, c'è sempre il mio fido
Manuale dell'Ingegnere (82^a edizione Hoepli ed.)

All'epoca non c'era Internet e le calcolatrici programmabili erano agli albori.
I manualetti ce li facevamo in casa.

Tutta quella "ginnastica mentale" sarà pure servita a qualcosa.

lo so.. ho un vago ricordo di quei tempi... come languore.
Pensa che razza di ingegneri usciranno dalle università avanti così!
Per non parlare delle scuole superiori... dove tra poco credo, basterà pagare il bollettino di iscrizione per essere automaticamente promossi all anno successivo.
Peccato.

JL_Picard

27-07-2005, 10:27

lo so.. ho un vago ricordo di quei tempi... come languore.
Pensa che razza di ingegneri usciranno dalle università avanti così!
Per non parlare delle scuole superiori... dove tra poco credo, basterà pagare il bollettino di iscrizione per essere automaticamente promossi all anno successivo.Peccato.

Parlando con delle amiche di mia moglie, che insegnano alle superiori, mi dicevano che la selezione, anzichè farla all'inizio del 1° anno, come accadeva ai miei tempi (prima metà degli anni 80) ora, con la storia dell'obbligo fino a 16 anni, la fanno alla fine del 2° anno (quando finisce l'obbligo) col risultato che fanno perdere due anni ai "brocchi" e rallentano la preparazione di quelli capaci, per non parlare dell'aumento delle materie (a parità di ore) per cui a volr far tutto, lo si fa MOLTO male.