Sin i , Cos i , Tan i [Archivio] - Hardware Upgrade Forum

supermario

27-05-2005, 16:52

qualcuno mi sa dare uno spunto per arrivare alla definizione di seno coseno e tangente dell'unità immaginaria??

questo sarebbe assurdo da fare in 4 scientifico ma il nostro prof pazzerello ci ha lanciato una sfida

a me nn viene in mente nulla!

ciauz :)

Goldrake_xyz

27-05-2005, 19:58

Chiaramente le funzioni trigonometriche immaginarie
sono solo delle astrazioni matematiche ;)

In realta se sen(x) con x reale si può sviluppare in serie :

link : http://mathworld.wolfram.com/MaclaurinSeries.html

la stessa serie, ma con la variabile z (numero immaginario),
viene definita come sen(z).
In questo modo si possono definire anche molte altre funzioni.

Tchuss_:)

supermario

27-05-2005, 20:05

kaioh

27-05-2005, 20:19

nn so assolutamente cosa sia uno sviluppo in serie :Prrr:

cmq con i complessi ci ho fatto tutto, rad log exp....mi manca solo una definizione "da scuola superiore" di sin tan cos i

mi sai aiutare? :)
basta estendere le definizioni di seno,coseno e tangente al campo complesso :D

sin (x) = [exp(ix)-exp(-ix)]/2
cos (x) = [exp(ix)+exp(-ix)]/2
tan (x) = [exp(ix)-exp(-ix)]/[exp(ix)+exp(-ix)]
sostituisci x (reale ) con z=x+iy e sei a posto

supermario

27-05-2005, 20:23

ma se dentro a ix sostituisco x con x+iy trovo ix - y?

kaioh

27-05-2005, 21:11

ma se dentro a ix sostituisco x con x+iy trovo ix - y?
:cool:

supermario

27-05-2005, 21:18

ok sono in linea :D

grazie ;)

Goldrake_xyz

28-05-2005, 18:27

aspetta che arriva Banus ... :D

Tchuss_:)

supermario

28-05-2005, 18:29

:eek: :eek:

cosa mi aspetta? :D

Goldrake_xyz

28-05-2005, 19:45

:eek: non lo conosci ? :wtf:

Uhm, forse sarà impegnato nei suoi studi ...Vabbè, pazienza !
altri link :
http://mathworld.wolfram.com/topics/TrigonometricFunctions.html
http://mathworld.wolfram.com/Sine.html

Ciao.

Banus

28-05-2005, 19:59

:eek: :eek:

cosa mi aspetta? :D
Ma no bastano le formule di kaioh? :p

Togli i dagli esponenti e ottieni le formule di seno/coseno iperbolici:

Sh (x) = [exp(x)-exp(-x)]/2
Ch (x) = [exp(x)+exp(-x)]/2
Th (x) = Sh(x)/Ch(x)

E vale:

sin(x) = Sh(ix)
cos(x) = Ch(ix)

Quindi ad esempio sin(i) vale:

sin(i) = Sh(-1) = [exp(-1) - exp(1)]/2 = ...

supermario

28-05-2005, 20:02

cosa intendi per sh?sinh? io nn l'ho studiate queste purtroppo :(

supermario

28-05-2005, 20:05

cmq quel sito è spettacolare! :eek:

per ora ci capisco poche formule, ma mi sembra davvero ben fatto! :eek:

Banus

28-05-2005, 21:38

cosa intendi per sh?sinh? io nn l'ho studiate queste purtroppo :(
Sh: seno iperbolico (sinh)
Ch: coseno iperbolico (cosh)

Li ho introdotti per non avere i a complicare la vita nell'esponente :p

Per sapere che cosa c'entrano gli esponenziali con seno/coseno si dovrebbe vedere la serie di Taylor già citata da Goldrake_xyz ;)

supermario

28-05-2005, 21:59

credo che mi accontenterò di avere i nell'esponenziale :D

il mio prof questo vuole vedere, spero :stordita:

cmq a che servono seno e coseno iperbolici? :fagiano:

xxxyyy

28-05-2005, 23:51

credo che mi accontenterò di avere i nell'esponenziale :D

il mio prof questo vuole vedere, spero :stordita:

cmq a che servono seno e coseno iperbolici? :fagiano:

Ad es. il ch e' la forma che assume un filo inestensibile appeso ai due estremi e lasciato penzolare...
:)

Lucrezio

29-05-2005, 00:45

Ad es. il ch e' la forma che assume un filo inestensibile appeso ai due estremi e lasciato penzolare...
:)
Chiedilo ad AlexZeta :muro:
Ha cercato di dimostrarlo per due giorni, imbrattando impietosamente la lavagna del nostro povero collegio...

AleX_ZeTa

29-05-2005, 01:11

O_o

ehm, fil guarda che quello era simone non io^^

mi sono sempre ben guardato dal cercare (anche se ora so come si fa) una soluzione "variazionale" di quel problema, quindi senza usare le forze... non sono così tanto masochista :p

Ziosilvio

29-05-2005, 12:26

qualcuno mi sa dare uno spunto per arrivare alla definizione di seno coseno e tangente dell'unità immaginaria??
Potresti fare tutto definendo l'esponenziale di un numero complesso: per questo, temo serva come minimo la formula di Eulero exp(ix)=cos(x) + i sin(x).
In alternativa, puoi considerare l'espansione di seno e coseno in serie di Taylor in un intorno dell'origine, come ha suggerito Goldrake_xyz.

supermario

29-05-2005, 13:21

come già detto nn dovete parlarmi così difficile xk faccio ancora il 4° superiore ed è già molto che abbia affrontato questo problema :D:D

supermario

29-05-2005, 14:01

cavolo nn sto riuscendo a scrivere sotto forma di frazione tra radicali

sqrt 2 * cos 165°

dovrebbe uscire -[(sqrt 3 + 1)/2]

:muro: :muro:

flapane

01-06-2005, 13:09

questo sarebbe assurdo da fare in 4 scientifico ma il nostro prof pazzerello ci ha lanciato una sfida

ciauz :)

scusa ma a che vale farle in 4a liceo, quando al MAASSSIMO inizierai a sentir parlare di "i" in Fisica2, con i circuiti in alternata

AleX_ZeTa

01-06-2005, 13:16

O_o

ehm veramente io in 4a avevo fatto sia i complessi che lo sviluppo in serie di Taylor... e all'uni i complessi ce li hanno fatti nelle prime 2 settimane, come argomenti di introduzione all'analisi e alla geometria

e credo sia anche nel programma ministeriale: alla maturità PNI dell'anno scorso c'era il problema sulla Gaussiana... beh, se non conosci i complessi come giustifichi che l'integrale da -\infty a +\infty di e^(-x^2) è radice di pigreco? (o quello che è... frose c'è un fratto due...)
e nella stessa maturità mi pare ci fosse da usare anche Taylor... o forse Simpson per approssimare un integrale, non ricordo bene

flapane

01-06-2005, 13:20

Taylor l'ho fatto in analisi1 e i complessi in Analisi2 , idem taylor per approssimare un integrale.
Avrai fatto una scuola speciale(beato te), recentemente purtroppo ti avverto che il livello medio al liceo è molto calato, ma tanto tanto tanto tanto tanto (come dice un cantante):muro:

supermario

01-06-2005, 14:44

bah il mio prof è laureato col massimo dei voti alla normale in fisica e matematica

quindi tiene alta la media :D

ChristinaAemiliana

03-06-2005, 00:32

Potresti fare tutto definendo l'esponenziale di un numero complesso: per questo, temo serva come minimo la formula di Eulero exp(ix)=cos(x) + i sin(x).

Sì, anche io sceglierei questa strada...mi sembra che sia, oltre che autoconsistente, la più semplice.

Facciamo così...prendiamo la formula di Eulero che anche al liceo si definisce per x reale

exp(ix) = cos(x) + i sin(x)

exp(-ix) = cos(x) - i sin(x)

sommando membro a membro si ottiene:

cos(x) = [exp(ix) + exp(-ix)]/2

mentre sottraendo membro a membro si arriva a:

sin(x) = [exp(ix) - exp(-ix)]/2i

Queste espressioni del seno e del coseno valgono per x reale, ma si possono estendere al campo complesso perché exp(iz) resta cmq un esponenziale complesso, che è definito (e quindi si sa benissimo che oggetto sia).

Allora possiamo prendere quelle due lì come definizioni di seno e coseno complessi:

cos(z) = [exp(iz) + exp(-iz)]/2

sin(z) = [exp(iz) - exp(-iz)]/2i

Ziosilvio

03-06-2005, 14:58

Queste espressioni del seno e del coseno valgono per x reale, ma si possono estendere al campo complesso perché exp(iz) resta cmq un esponenziale complesso, che è definito (e quindi si sa benissimo che oggetto sia).
Più che altro, se ammettiamo che anche l'esponenziale complesso della somma sia il prodotto degli esponenziali complessi, allora la definizione viene subito da lì e dalla formula di Eulero, perché in questo caso:
z x+iy x
e = e = e (cos y + i sin y)
che peraltro è anche l'unica funzione olomorfa in tutto il piano complesso, uguale alla propria derivata in ogni punto, e che assume il valore 1 nell'origine --- che è il modo classico di definire exp(z).

supermario

03-06-2005, 15:11

wow io mi sn perso :D

flapane

03-06-2005, 15:13

giustamente hai ragione, a posta secondo me non ha questa grande utilità fare i numeri complessi al liceo, guardando i programmi del 4o e 5o anno :cool:

Topomoto

03-06-2005, 15:32

bah il mio prof è laureato col massimo dei voti alla normale in fisica e matematica

quindi tiene alta la media :D
Guarda, questo dato (da solo) non ne fa assolutamente un buon professore.
Tra l'essere preparatissimi (o "geni") e il saper spiegare le cose, capire CHE COSA dei ragazzi del liceo possono arrivare a fare, c'è di mezzo il mare :D

ChristinaAemiliana

03-06-2005, 21:38

Più che altro, se ammettiamo che anche l'esponenziale complesso della somma sia il prodotto degli esponenziali complessi, allora la definizione viene subito da lì e dalla formula di Eulero, perché in questo caso:
z x+iy x
e = e = e (cos y + i sin y)
che peraltro è anche l'unica funzione olomorfa in tutto il piano complesso, uguale alla propria derivata in ogni punto, e che assume il valore 1 nell'origine --- che è il modo classico di definire exp(z).

Vero, hai ragione! ;)

Devo confessare che mi ero dimenticata la deduzione logica della definizione di exp(z)... :doh: è passato troppo tempo! :stordita: (Scusa gettonatissima :D)

ChristinaAemiliana

03-06-2005, 21:40

Guarda, questo dato (da solo) non ne fa assolutamente un buon professore.
Tra l'essere preparatissimi (o "geni") e il saper spiegare le cose, capire CHE COSA dei ragazzi del liceo possono arrivare a fare, c'è di mezzo il mare :D

Ah, questo è sicuro...;)

Anzi, spesso accade addirittura il contrario...più si è preparati, più è facile dimenticarsi quali erano le difficoltà sulle quali ci si è rotti le corna...:D

kaioh

04-06-2005, 02:39

Ah, questo è sicuro...;)

Anzi, spesso accade addirittura il contrario...più si è preparati, più è facile dimenticarsi quali erano le difficoltà sulle quali ci si è rotti le corna...:D
basta vedere il professori universitari , molto preparati ma molti di loro non sanno far capire le cose che spiegano

flapane

04-06-2005, 10:09

lasciamo stare :muro: :muro: :muro: :muro:

Mixmar

04-06-2005, 10:23

Mi sono ricordato di un altro utilizzo pratico (l'unico che ho incontrato nei miei studi) delle funzioni iperboliche!

Aspettate che recupero i miei appunti... eccoli qua!

Si dimostra infatti che, nel caso di un aletta per la dissipazione del calore (tipo quelle montate sui dissipatori dei processori), in regime stazionario, qualora l'aletta abbia una punta adiabatica e una lunghezza finita allora la resa (nel dissipare il calore) è pari a:

eta = Th(m L) / m L

dove L è la lunghezza della aletta e

m^2 = h P / k Ac

e Ac è la superficie della punta della lametta, P la sua profondità, h dipende dalla capacità del fluido in cui l'aletta è immersa di "sottrarre" calore, k dalla conducibilità termica del solido di cui è composta l'aletta stessa.

Ho sbagliato qualcosa? :stordita:

ChristinaAemiliana

04-06-2005, 14:14

basta vedere il professori universitari , molto preparati ma molti di loro non sanno far capire le cose che spiegano

Purtroppo è proprio così...:boh:

ChristinaAemiliana

04-06-2005, 14:16

Mi sono ricordato di un altro utilizzo pratico (l'unico che ho incontrato nei miei studi) delle funzioni iperboliche!

Le funzioni iperboliche si usano come il pane...anche in fisica dei reattori, ad esempio...:p

Mixmar

04-06-2005, 15:14

Le funzioni iperboliche si usano come il pane...anche in fisica dei reattori, ad esempio...:p

Non ne dubito ma... io ho fatto Ingegneria Informatica... :p

ChristinaAemiliana

04-06-2005, 15:51

Non ne dubito ma... io ho fatto Ingegneria Informatica... :p

Sì sì! Era per integrare, mica per dire che dovevi averle fatte anche tu! :p

Queste sono applicazioni molto settoriali, è già tanto che le insegnino a noi nucleari e a qualche fisico! :D

Ne ho fatto cenno solo perché in generale (anche a ingegneria, spesso) si ha l'impressione che le funzioni iperboliche servano a poco e che siano una fantasia da matematici...invece non è così, hai fatto molto bene IMHO a farlo notare con l'esempio della termotecnica, perché per chi studia la matematica in facoltà tecniche ha uno spirito piuttosto pratico e quindi informazioni del tipo "guarda che questo argomento poi ti serve in questa interessante applicazione" sono utilissime. ;)

supermario

04-06-2005, 16:50

wow :fagiano:

flapane

04-06-2005, 17:27

sarà strano ma... io non le ho fatte ad aerospaziale in Analisi1..
scelta del prof o cosa?

Mixmar

05-06-2005, 10:41

Sì sì! Era per integrare, mica per dire che dovevi averle fatte anche tu! :p

In effetti volevo solo dire che purtroppo non mi hanno insegnato altri utilizzi "pratici" di queste funzioni matematiche: quello è stato proprio l'unico!

Ho sottolineato il fatto che io provengo dalle schiere degli informatici, perchè noi di solito trattiamo altri aspetti della matematica più approfonditamente, tipo teoria dei grafi, teoria delle code, e magari trascuriamo un po', dopo i primi anni, alcuni aspetti "analitici"... questa almeno è sempre stata la mia impressione. Banus sei libero di contraddirmi! :p

Nonostante questo, anche noi abbiamo visto un'applicazione di Th(x), segno che il suo uso è, come dici tu, abbastanza pervasivo, al di là delle apparenze.

Banus

05-06-2005, 10:55

Nonostante questo, anche noi abbiamo visto un'applicazione di Th(x), segno che il suo uso è, come dici tu, abbastanza pervasivo, al di là delle apparenze.
Infatti le applicazioni delle funzioni trigonometriche iperboliche le ho viste solo in fisica tecnica e in Analisi II, ma perchè abbiamo visto qualcosa delle equazioni alle derivate parziali (equazione del telegrafo :D).
Tutte le volte che nella soluzione di una equazione differenziale si trova una somma di esponenziali del tipo:

C*(e^ax + e^-ax)

Si scrive in maniera più compatta:

2C*Ch(ax)

Soluzioni di questo tipo sono frequenti con equazioni vincolate da condizioni al contorno. Esempio:

y'' = k*y
y'(-1) = -y'(1) = c

flapane

05-06-2005, 12:43

C*(e^ax + e^-ax)

Si scrive in maniera più compatta:

2C*Ch(ax)

non ho ancora utilizzato questa forma più compatta, che vantaggio avrebbe?

ChristinaAemiliana

05-06-2005, 12:48

Ho sottolineato il fatto che io provengo dalle schiere degli informatici, perchè noi di solito trattiamo altri aspetti della matematica più approfonditamente, tipo teoria dei grafi, teoria delle code, e magari trascuriamo un po', dopo i primi anni, alcuni aspetti "analitici"... questa almeno è sempre stata la mia impressione. Banus sei libero di contraddirmi! :p

Ecco, e noi invece non facciamo queste parti della matematica! :p

Un po' di teoria dei grafi l'ho vista a meccanica statistica, ma appena appena...invece per voi è basilare...

ChristinaAemiliana

05-06-2005, 12:52

Infatti le applicazioni delle funzioni trigonometriche iperboliche le ho viste solo in fisica tecnica e in Analisi II, ma perchè abbiamo visto qualcosa delle equazioni alle derivate parziali (equazione del telegrafo :D).
Tutte le volte che nella soluzione di una equazione differenziale si trova una somma di esponenziali del tipo:

C*(e^ax + e^-ax)

Si scrive in maniera più compatta:

2C*Ch(ax)

Soluzioni di questo tipo sono frequenti con equazioni vincolate da condizioni al contorno. Esempio:

y'' = k*y
y'(-1) = -y'(1) = c

Sì, anche noi incontriamo spesso l'equazione del telegrafista...:p

E anche noi usiamo sh e ch volentieri al posto degli exp...è comodo per le c.c. e anche per evidenziare subito la parità o disparità della soluzione...;)

kaioh

05-06-2005, 22:29

io,ad ingengeria elettronica VO , le funzioni trigonometriche iperboliche le ho fatte in analisi 1 e metodi matematici oltre ad averle usate in fisica tecnica per studiare la dissipazione termica delle alette e degli scambiatori di calore ( se non mi sbaglio)

l'equazione del telegrafista non mi suona nuova, credo di averla fatta ma non mi ricordo più che cosa fosse :stordita:

d@vid

27-06-2005, 11:13