View Full Version : Due problemini simpatici
Nel triangolo ABC rettangolo in B, il cateto minore AB misura 15a e la bisettrice dell'angolo A interseca BC in D. Il punto E di AD dista 8a radice(3) da D e la perpendicolare in E ad AD interseca AC nel punto F distante 4 a da A. Dimostrare che i triangoli ABE ed ADF sono simili e determinare il perimetro dell'area del quadrilatero BDFE.
4a(4+3radice(3)); 38a^2radice(3)
------------------------------------------------------------------------------------------
Nel trapezio rettangolo ABCD la base minore AB e la diagonale maggiore AC misurano 2cm e 2radice(6). Sapendo che DC contiene il centro della circonferenza circoscritta al triangolo ABC, determinare il raggio di tale circonferenza e l'area del trapezio.
3;6radice(2)
senza usare seno e coseno (x entrambi)
grazie per l'aiuto
mi sono per sbaglio disiscritto
Scoperchiatore
21-02-2005, 20:00
senza usare seno e coseno non credo che troverai mai un pazzo che li faccia.
Al massimo puoi provare a applicare Euclide fino alla morte (ma non ha senso, dato che euclide si ricava facilmente da seno e coseno)
è un problema di secondo liceo
ChristinaAemiliana
22-02-2005, 14:32
Ti do qualche dritta per il primo e poi guardo il secondo.
Prima di leggere fatti il disegnino, sennò non ci capiamo. Non potendo disegnare qua sul forum, sono costretta a chiamare i segmenti col loro nome senza visualizzarli. ;)
Dimostrare che i triangoli ABE e ADF sono simili è semplice. Basta osservare che i triangoli rettangoli ABD e AEF sono simili poiché hanno un angolo uguale, pari alla metà dell'angolo al vertice A del triangolo ABC. Tenendo conto di questa similitudine puoi scrivere la proporzione:
AB : AD = AE : AF
Questo completa la dimostrazione perché hai scoperto che ABE e ADF hanno due lati in proporzione e l'angolo compreso uguale per costruzione (sono le due metà dell'angolo divisi dalla bisettrice AD).
Per calcolare il resto te la cavi, noti AB, ED e AF, ponendo AE = x e ricavandolo dalla proporzione scritta prima. Infatti ricordando che il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi risulta:
AE * AD = AB * AF
da cui
x * (x + ED) = AB * AF
che è una semplice equazione di 2o grado (le lunghezze dei segmenti sono tutte note).
Da questo punto è semplice ricavare area e perimetro richiesti, usando Pitagora e giocando sulle proporzioni tra triangoli simili.
ChristinaAemiliana
22-02-2005, 14:40
Il secondo è ancora più facile.
Chiamando O il centro della circonferenza circoscritta situato sulla base maggiore DC, chiami r il raggio di tale circonferenza, incognita del problema, e naturalmente hai subito che OA = OB = OC = r. Inoltre OD = 1, poiché AB = 2.
Quindi puoi dire:
AD^2 = r^2 - 1 per Pitagora
DC = r + 1 per costruzione
e quindi applicando Pitagora al triangolo rettangolo ADC:
AD^2 + DC^2 = AC^2
Sostituendo trovi una banalissima eqz di 2o grado in r che restituisce come unica slz valida r=3. Da lì calcoli senza difficoltà l'area.
ChristinaAemiliana
22-02-2005, 14:41
OK, io ho dato...adesso FreeMan farà ancora di meglio e si produrrà nello spostamento di questo thread nella sezione giusta! :sofico:
Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
OK, io ho dato...adesso FreeMan farà ancora di meglio e si produrrà nello spostamento di questo thread nella sezione giusta! :sofico:
grazie 10000, me li vedo, nel caso ci sentiamo;)
ChristinaAemiliana
23-02-2005, 12:45
Originariamente inviato da Bandit
grazie 10000, me li vedo, nel caso ci sentiamo;)
Di nulla...se ne hai altri :eek: :p o hai problemi, io sono qui ;)
il secondo: od come fa essere 1?perchè AOB è tri isoscele e l'altezza divide la base in 2 parti uguali. Giusto?
ChristinaAemiliana
23-02-2005, 13:02
Originariamente inviato da Bandit
il secondo: od come fa essere 1?
Perché se AB = 2 e OA e OB sono due raggi della circonferenza, O deve cadere per forza a metà della proiezione della base minore sulla maggiore!
non non è come ho detto io, mi sembra che quello che mi hai detto è una conseguenza di ciò che ho detto, o mi sbaglio?
ChristinaAemiliana
23-02-2005, 13:41
Beh, diciamo che il ragionamento è questo: so che O, che sta su DC, è il centro di una circonferenza di cui A e B sono due punti...quindi necessariamente OA e OB sono raggi, il triangolo AOB è isoscele e O divide in due la proiezione di AB su DC.
Puoi anche vederla così: non c'è altro modo di piazzare O su DC facendo sì che OA e OB restino uguali in lunghezza...:p
Sei eccezionale ;) ora tutto chiaro
ciao
;)
p.s. curiosità: che scuola/università fai?
ChristinaAemiliana
23-02-2005, 20:41
Originariamente inviato da Bandit
Sei eccezionale ;) ora tutto chiaro
:eek: esagerato :flower: cmq grazie! :p
ciao
;)
p.s. curiosità: che scuola/università fai?
Eh, "fai"...magari! :p
Ho fatto il liceo scientifico, e dopo ing nucleare. ;)
Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Eh, "fai"...magari! :p
:old:
:asd:
>bYeZ<
ChristinaAemiliana
23-02-2005, 20:43
Originariamente inviato da FreeMan
:old:
:asd:
>bYeZ<
:fuck:
:asd:
ChristinaAemiliana
23-02-2005, 21:01
Originariamente inviato da FreeMan
:eekk:
:banned:
>bYeZ<
Seeeehhhhh :D
Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Eh, "fai"...magari! :p
Ho fatto il liceo scientifico, e dopo ing nucleare. ;)
:eek: Non ti facevo tanto grande , cmq che si fa in Italia studiando ing nucleare? un mio amico la voleva fare poi ponendosi il mio stesso quesito (a causa del quale non ho mai preso in considerazione la cosa) ha tralasciato.
Originariamente inviato da Bandit
:eek: Non ti facevo tanto grande
Christina, qua in sicilia vedo un macigno di qualche tonnellata in volo...credo stia venendo da te...:D:D:D
Originariamente inviato da Sirio
Christina, qua in sicilia vedo un macigno di qualche tonnellata in volo...credo stia venendo da te...:D:D:D
che vuol dire?che ci sono delle catapulte mega giganti in Sicilia?:D
Originariamente inviato da Sirio
Christina, qua in sicilia vedo un macigno di qualche tonnellata in volo...credo stia venendo da te...:D:D:D
:wtf:
>bYeZ<
ok...fase avvilente delle battute...spiegarle.....:(
Intendevo che sentirsi dire "non ti facevo tanto grande" potrebbe essere come un macigno sulla testa...ok...? Cioè si...dai...vabbè...ignoratemi....:(
Dato un quadrilatero ABCD inscritto in una circonferenza, si sa che AB =cm 20, BC=8cm, CD=5,AD=13. Detto E il punto comune alle rette AD e BC, determinare la lunghezza dei segmenti DE e EC. [3;4]
toh, una dimostrazione.
ti fanno impazzire :asd:
ps: raga avete rotto le palle con la trigonometria... non potete pensare di risolvere tutto con la trigo... a scuola te la insegnano solo in terza o quarta, quindi tutte le cose che si fanno prima sono fatte senza la trigo, spesso con tecniche incasinatissime.. :asd:
Originariamente inviato da Bandit
Dato un quadrilatero ABCD inscritto in una circonferenza, si sa che AB =cm 20, BC=8cm, CD=5,AD=13. Detto E il punto comune alle rette AD e BC, determinare la lunghezza dei segmenti DE e EC. [3;4]
vuoi un consiglio? studiati bene le regole. quando le ho studiate li riuscivo a fare senza problemi questi esercizi.
poi sono caduto in depressione, non ho + studiato e incominciarono a piovere i 3.
quindi o studi le regole oppure preparati a ricevere dei simpatici 3 nelle prossime verifiche :asd:
la geometria devi studiarla altrimenti non riesci a fare questi problemi.
nota: in questo caso vai a ripassare le figure inscritte e circoscritte ecc.
ChristinaAemiliana
06-03-2005, 18:53
Questa volta è un po' complicato da spiegare senza disegno. Quindi prima di leggere fa' il disegno! :D
Attento a verificare che nel tuo disegno AB sia effettivamente più grande di CD: tutta la costruzione si può fare anche nel caso opposto, ma i nomi dei segmenti non sarebbero più quelli (il punto E verrebbe dall'altra parte). Quindi nel tuo disegno deve esserci AB > CD e sulla retta AD troverai in fila i punti A, D e E, mentre sulla BC avrai in successione B, C e E.
Notazione: per "angolo BAE" intenderò l'angolo in A compreso tra le semirette AB e AE.
E ora partiamo, è più semplice a farsi che a dirsi, basta avere un po' d'occhio. :D
Poiché il quadrilatero è inscritto in una circonferenza tu sai che la somma degli angoli opposti è 180°:
BAD + BCD = 180°
ADC + ABC = 180°
ma del resto è anche ovvio che sia 180° la somma degli angoli adiacenti:
BCD + DCE = 180°
ADC + CDE = 180°
e quindi scopri che
BAD = DCE
ABC = CDE
Ma questo in pratica cosa vuol dire? Semplicemente che i triangoli ABE e DCE sono simili, hanno gli stessi angoli, soltanto che per visualizzare bene la similitudine dovresti immaginare uno dei due ribaltato specularmente.
Ciò significa che vale la proporzione tra i lati:
AB : CD = AE : EC = EB : DE
Imponendo:
DE = x
EC = y
rimane:
AE = AD + x = 13 + x
EB = BC + y = 8 + y
AB/CD = 4
Quindi ti ritrovi con un semplicissimo sistema di 2 equazioni di 1o grado in 2 incognite:
4 = (13+x)/y
4 = (8+y)/x
ossia in forma un po' più decente
x-4y+13=0
4x-y-8=0
che risolvi come ti pare ricavando La soluzione:
x = 3
y = 4
Tutto chiaro spero :D
ChristinaAemiliana
06-03-2005, 19:00
Originariamente inviato da Bandit
:eek: Non ti facevo tanto grande , cmq che si fa in Italia studiando ing nucleare? un mio amico la voleva fare poi ponendosi il mio stesso quesito (a causa del quale non ho mai preso in considerazione la cosa) ha tralasciato.
Mi ero persa questo :D
Beh, in Italia con nucleare fai l'ing meccanico (c'è cmq molta affinità :p) o ti occupi di energetica (l'ing nucleare, sapendo gestire le centrali nucleari, a maggior ragione sa maneggiare quelle tradizionali!) o di analisi di sicurezza (è un problema attualissimo) oppure, naturalmente, puoi fare ricerca in diversi settori applicati o teorici. :)
Grazie del complimento, sono contenta di sembrare più giovane! :yeah: ;)
ChristinaAemiliana
06-03-2005, 19:02
Originariamente inviato da Sirio
ok...fase avvilente delle battute...spiegarle.....:(
Intendevo che sentirsi dire "non ti facevo tanto grande" potrebbe essere come un macigno sulla testa...ok...? Cioè si...dai...vabbè...ignoratemi....:(
LOL :D
Ma no, anzi...dopo una certa età fa pure piacere sentirselo dire! :D
Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Tutto chiaro spero :D
Eccezionale come sempre:D ;) , tutto chiaro, sei braviiiiiiisssssimiiissssimmmmaaaaa
ciao
ciao:D
Sia D il punto medio dell'altezza relativa alla base AC del tri. isosc. ABC. Detto E il punto comune ad AB e alla retta CD, dimostrare che AE è doppio di EB e che CD è il triplo di DE.
ho dimostrato la 2nda cosa.
ciao
ChristinaAemiliana
31-03-2005, 21:30
Ciao :D
Scusa il ritardo, ma questi due giorni sono stati pienissimi! :D
Allora, ecco come farei io. :p
http://img128.exs.cx/img128/3641/exer4bt.jpg
Tu devi dimostrare due cose che coinvolgono ED e EB, che sono due lati del triangolo EDB. Quindi è comodo pensare a qualche trucco che mi consenta di trovare una similitudine tra questo triangolo e uno di proporzioni note. ;)
Allora, visto che questo triangolo simile non c'è, me lo costruisco: sarà AFB. Naturalmente ho fatto così perché so già che il triangolino giallo è simile a AHB. :)
Ma se AFB l'ho costruito in modo che sia simile a EDB, il triangolino verde sarà simile a AHF. Ma il triangolino verde è simile già a HCD, per ovvie ragioni. Quindi sappiamo che, essendo simili allo stesso triangolo, AHF e HCD sono simili tra loro. Ma se guardiamo bene notiamo che non si limitano a essere simili: sono propio uguali, perché hanno un lato uguale: AH infatti è uguale a HC perché il triangolo di partenza è isoscele. Quindi HD = HF. Ma sappiamo anche che l'altezza BH è divisa in due dal punto D, perciò è anche HD = BD. :p
Allora abbiamo finito perché abbiamo ottenuto che BF = 3BD e da qui il rapporto tra i lati dei due triangoli simili:
AB = 3EB ---> AE = AB - EB = 2EB c.v.d.
AF = 3ED ---> DC = AF = 3ED c.v.d.
Et voilà...alla prossima! :D
per la seconda parte, senza costruire nulla avevo da D tracciato la parallela alla base che incontra il lato del tri isoscele in un punto L, in modo da ottenere, con una proporzione che DL=1/2AH. Poi faccio la proporzione tra il tri ACE ed DLE:ottenevo che ED/EC=1/4. Il problema era la prima parte.
grazie, ma non importa + di tanto la rapidità della risposta, quanto la risoluzione in quanto da la possibilità di veder casi nuovi e strani.
mi dici come hai fatto il disegno?con che prog?;)
ChristinaAemiliana
31-03-2005, 22:16
Originariamente inviato da Bandit
per la seconda parte, senza costruire nulla avevo da D tracciato la parallela alla base che incontra il lato del tri isoscele in un punto L, in modo da ottenere, con una proporzione che DL=1/2AH. Poi faccio la proporzione tra il tri ACE ed DLE:ottenevo che ED/EC=1/4. Il problema era la prima parte.
grazie, ma non importa + di tanto la rapidità della risposta, quanto la risoluzione in quanto da la possibilità di veder casi nuovi e strani.
mi dici come hai fatto il disegno?con che prog?;)
Sì, anche a me era saltata all'occhio quella strada, ma alla fine ho scelto questa che mi sembrava più elegante perché faceva tutto insieme! :D
Il disegno l'ho fatto con paint, a mano e a occhio, in 30"...casualmente è riuscito bene...:p
Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Il disegno l'ho fatto con paint, a mano e a occhio, in 30"...casualmente è riuscito bene...:p
Con paint???:eekk:
complimenti;)
stasera ci deve essere qualcosa di strano (=ho sbagliato ancora):muro: :muro:
ChristinaAemiliana
31-03-2005, 22:25
Originariamente inviato da Bandit
Con paint???:eekk:
complimenti;)
Mah, non so nemmeno io come ho fatto...sarà che con lo zoom è più facile...tra l'altro è la prima volta, credo, che disegno una roba del genere con paint...:D
Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Mah, non so nemmeno io come ho fatto...
ah ecco.. eri in trance.. vista la tua idiosincrasia con il disegno.. :p
:vicini:
cmq brava, come sempre ;)
>bYeZ<
Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Mah, non so nemmeno io come ho fatto...sarà che con lo zoom è più facile...tra l'altro è la prima volta, credo, che disegno una roba del genere con paint...:D
non so nemmeno io come hai fatto, visto che ci sto tentando in vari modi, ma i lati mi vengono ondulanti enon certo "rettilinei" come i tuoi :confused:
ChristinaAemiliana
31-03-2005, 23:01
Originariamente inviato da Bandit
non so nemmeno io come hai fatto, visto che ci sto tentando in vari modi, ma i lati mi vengono ondulanti enon certo "rettilinei" come i tuoi :confused:
Beh, rilasciavo il tasto solo quando i lati mi sembravano dritti...:D
ChristinaAemiliana
31-03-2005, 23:10
http://img87.exs.cx/img87/7097/exer23it.jpg
Questo ad esempio evidenzia come l'hai risolto tu...:p
Uffa!!!!!!!!!:mad: :mad: :incazzed: :incazzed: :incazzed: :incazzed:
Perdo un sacco di tempo ed alla fine non riesco a farli: ma a cosa servono problemi simili , quando si rincontreranno?:confused: :incazzed: ho lasciato questa roba da ormai 4 anni e non l'ho + rincontrata: a che serve? Tu mi dirai come: "per migliorarsi sempre +", e questo lo so anche io, però......:confused:
Nel tri. ABC retto in B, sia AH la proiezione del cateto minore Ab su AC. La retta della mediana relativa ad AC interseca in P la parallela a BC condotta da H. Sapendo che PH=2BH, determinare il rapporto di AC ad AB. [1+ radical3]
p.s. non è urgente, però mi in.....:incazzed: nel non riuscirlo a far da me
ChristinaAemiliana
06-04-2005, 23:38
Per capire subito bene la geometria con cui hai a che fare ti conviene immaginare il tuo triangolo come la metà di un rettangolo. Ecco allora che ti salta immediatamente all'occhio che la mediana che devi considerare è semplicemente "l'altra" diagonale del rettangolo...ovviamente la seconda diagonale è l'ipotenusa del triangolo.
In questa configurazione simmetrica è immediato vedere come il punto medio M di PH e la retta per M perpendicolare a PH e passante per il punto medio di AC individui il triangolino verde che è uguale al triangolo ABH. Infatti i due triangoli in questione sono entrambi simili ad ABC (è banale dimostrarlo) e inoltre hanno il cateto maggiore uguale: HM = PH/2 = BH.
Ecco, da qui puoi provare a cercare qualche relazione che ti permetta di risolvere senza troppi passaggi. A occhio io lavorerei sulle similitudini:
AC/AB = AB/AH
AH = AC/2 - AB
o qualcosa del genere. Naturalmente è meglio fare in modo che l'incognita sia già AC/AB.
Quindi:
AC/AB = x
AB/AC = AH/AB (l'ho capovolta per comodità) ---> AB/AC = (AC/2)/AB - 1 ---> 1/x = (1/2)x -1 ---> x^2 - 2x - 2 = 0
Il risultato è appunto x = 1 + sqrt(3), unica radice positiva. ;)
http://img154.exs.cx/img154/2084/exe5tb.jpg
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